2019-2020學年湖南省常德市高三(上)期末數(shù)學試卷(文科)

1、第1頁（共 20 頁）2019-2020學年湖南省常德市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的2. （5 分）若復數(shù) z 滿足（1 i）z | 3 i |，則 zA. 2iC. 25.（ 5 分）某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為隨機分配為 3.50 元，4.75 元，5.37 元，1.38 元，其 4 份，甲、乙、丙、丁 4 人參與搶紅包,1. （ 5 分）已知集合 A3 , 4, 5, 6, 7 , Bx|4 x 10 , xN，貝 U AIB ()A . 5

2、 , 6, 7B . 4 , 5, 6, 7C. x |4 x7D. x|7 x 10C.2x3 .（5 分）雙曲線 C:弋a(chǎn)則雙曲線 C 的方程為（1(a0,b0） 的一條漸近線方程為x，且 C 經(jīng)過點 A（2, . 3）,4.（ 5 分）等差數(shù)列an前n項和為 Sn,17 , S8S。，則公差15 元，被每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于8 元的概率為（C.AB2CD ,D .-4u3uju uurB . - AB AD43 uui-AB41 iur-AD23 uuiD . -AB21 iur-AD27 （ 5 分）若將函數(shù)f(x)3sinx cosx 的圖象向右平移個單位，

3、所得圖象關于原點對稱,6. （ 5分）如x 2x第2頁（共 20 頁）則的最小正值是第3頁（共 20 頁）分）九章算術中方田章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積弧田是由圓?。ê喎Q為弧田的?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（簡稱（弧田的弦）圍成的田的弦的距離之差現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于 3，其弧所在圓為圓 0,若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為今，則 AOB （）9.( 51（弦乘矢平面圖形，公“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到&( )x 2x第4頁（共 20 頁）若 1,m,l /, m/ ，貝 U /;若 1，則

4、l /或 1;若 1,m,l ,m是異面直線，那么m與一疋相交;若1m , l /, l / ，則 1 /m .其中所有正確命題的編號是（）A .B .C.D .11. （5 分）已知 x 3，且 logsx log5y log7z，則下列不等式關系中正確的是（）357753735537A .B .C.D .xyzzyxzxyyxz2 212. （5 分）已知橢圓 c：冷爲 1（a b 0）的左頂點為A,右焦點為F,以A點為圓心,a bAF長為半徑的圓與橢圓C 相交于點M,|AM | 2|MF|，則橢圓 C 的離心率為（)A2r 345A .-B.-C.-D.-7777二、填空題（本大題共4

5、小題，每小題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）x y3, 013. （5 分）若實數(shù)x,y滿足約束條件，則z 3x y 的最大值為.x y 2, 014._（5 分） 曲線y xsinx 1 In （x1）在 x 0 處的切線方程為 _ .15. （5 分）某圓柱的高為 2,體積為 2 ，其底面圓周均在同一個球面上，則此球的表面積為_.116. （ 5 分）已知 ABC 的內(nèi)角A ,B,C 的對邊長a,b,c成等比數(shù)列，cos（A C） cosB -（1 ）貝卩 B _.（2）若延長BA至D使得BD 4，當 ACD 面積的最大值為時，則 a _ .三、解答題：共 70 分.解答應寫出

6、文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答17 （ 12 分）由國家統(tǒng)計局提供的數(shù)據(jù)可知，2012 年至 2018 年中國居民人均可支配收入y（單 位：10. （5 分）已知 I ,m是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，給出下列命題:第5頁（共 20 頁）萬元）的數(shù)據(jù)如表：年份2012201320142015201620172018年份代號12345672第6頁(共 20 頁)x人均可支配收入y1.651.832.012.192.382.592.82(1 )求y關于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)(2)利用(1

7、)中的回歸方程，分析 2012 年至 2018 年中國居民人均可支配收入的變化情況,并預測 2019 年中國居民人均可支配收入.77附注：參考數(shù)據(jù)：yj15.47 , xy 67.28 .i 1i 1參考公式：回歸直線方程? 伎?的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：nx y nxyk? 一，？y 政-2_2Xinxi 118.( 12 分)設數(shù)列 的前n項和為 Sn，已知 a?4 , a. 13S.1 , n N .(1 )求an通項公式；(2)求ann 1的前n項和 Tn.19. (12 分)如圖，在三角形 ABC 中， 所在的平面垂直，點M為半圓弧上異于(1)求證：CM BN ;(2 )

8、求三棱錐 M BCN 體積的最大值.ABC 90 , AB BC 2 ,平面 ABC 與半圓弧?CB、C 的動點，N 為AM的中點.20. (12 分)已知拋物線 C:x2py(p 0) ,P、Q 是 C 上兩點，且兩點橫坐標之和為4,2第7頁(共 20 頁)直線 PQ 的斜率為 2.第8頁(共 20 頁)(1) 求曲線 C 的方程；uuun uuun(2) 設M是曲線 C 上一點，曲線 C 在M點處的切線與直線 PQ 平行，且 PM gQM 25 , 求直線 PQ的方程.221.(12 分)已知函數(shù) f(x) alnx x .(1) 討論 f (x)的單調性；(2) 求證：當 a 0 時，f

9、 (x), (a sin x)x2ax .請考生在第 22, 23 題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的 第一個題目計分選修 4-4:坐標系與參數(shù)方程x a 2t22.(10 分)在直角坐標系 xOy中，直線 I 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù))，以坐標原點y t為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C 的極坐標方程為212才.3 sin(1 )若 a 2，求曲線 C 與 I 的交點坐標；(2)過曲線 C 上任一點P作與 I 夾角為 30 的直線，交 I 于點A,且|PA|的最大值為25 , 求a的值.選修 4-5:不等式選講23.已知 a 0, b 0，函數(shù) f(x)

10、 |x a| |x b|.(1 )當 a 1 , b 2 時，求不等式 f(x)5 的解集；(2)當 f(x)的最小值為 4 時，證明：1丄 2 月2 .aba b第9頁（共 20 頁）2019-2020學年湖南省常德市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的【解答】解：由（1 i）z故選：C .【解答】解：由雙曲線C 的一條漸近線方程為則雙曲線為等軸雙曲線，即a b,雙曲線 C : x2 * 4b2a2,將 A（2,.3），代入雙曲線，解得所以雙曲線的標準方程故選：A.4.（ 5 分）等差數(shù)列

11、an前n項和為& , a,17 , S8S。，則公差 d （）C. 2【解答】解：因為 a 17 , S8So,、選擇題：本大題共1. （ 5 分）已知集合 A3 , 4, 5, 6, 7 , B x|4 x 10 , xN，貝 U AIB ()A . 5 , 6, 7B . 4 , 5, 6, 7C. x|4 x7D. x|7 x 10【解答】解：集合A 3 , 4, 5, 6,7 , Bx|4x 10,N 5 , 6, 7, 8, 9,則 A|B 5 , 6,7,故選：A.2. （ 5 分）若復數(shù) z 滿足（1 i）z | 3i I，則A. 2iB. 2iC.2x3. （5 分）雙曲線 C

12、: pa則雙曲線 C 的方程為（2y_2b 1(a0,b0） 的一條漸近線方程為x，且 C 經(jīng)過點 A（2,.3）,第10頁（共 20 頁）所以 a9aw0 ,第11頁（共 20 頁）即 2 17 17d0 ,解可得 d 2 .故選：B.5.（ 5 分）某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為隨機分配為 3.50 元，4.75 元，5.37 元，1.38 元，其 4 份，甲、乙、丙、丁 4 人參與搶紅包,共 4 份, 供甲、乙等 4 人搶，每人只能搶一次, 基本事件總數(shù) n 其中金額之和不低于 8 有的可能情況有: (4.75,3.5)， (5.37,3.5)， (4.75

13、,5.37)共有 3 種,甲、乙二人搶到的金額之和不低于8 元的概率 P故選：B.故選：C .則的最小正值是15 元，被每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于8 元的概率為（【解答】解：所發(fā)紅包的總金額為 15 元，被隨機分配為3.50 元，4.75 元，5.37 元, 1.38 元,AB2CD ,UUUE為BC3 uuB . - AB4LULTADC.3UUU-AB1 ULlT-AD3UUUD. - AB21 ULlT-AD如圖，梯形ABCD 中,AB/CD ,AB2CD ,E為 BC 中點,UUUUUTAC AE2uuABluirADUUITUUUDC AB2UUT 1 UJUA

14、D - AB22UUl3 UUU-AB41 UJIT-AD ,27.（5 分）若將函數(shù)f(x)3sin xcosx 的圖象向右平移 個單位，所得圖象關于原點對稱,6.（ 5分）如B【解答】解:A. 2AB第 8 頁(共 20 頁)C.3【解答】解：f (x) 3sin x cosx 2si n(x -)的圖象向右平移 個單位可得 6g(x) 2sin(x6因為所得 g(x)圖象關于原點對稱，即g(x)為奇函數(shù),則的最小正值根據(jù)奇函數(shù)的性質可知,g(ox-的圖象大致為(& ( 5 分)函數(shù)2exe f(x)第13頁（共 20 頁）X 時，f （x） ，排除 C 故選：D9. （ 5 分）九章算術

15、中方田章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積丄（弦乘矢 矢乘矢），2弧田是由圓弧（簡稱為弧田的?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（簡稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于 2 3，其弧所在圓為圓 0，若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為23 1，貝UAOB ()U/、I一七、A -B 32C 2【解答】 解:如圖，由題意可得：AB 2 3 ,弧田面積 S丄（弦矢矢2）丄(2 .3 矢矢2)2 3 12 22解得矢1,或矢 1

16、 2 3，（舍）,設半徑為 r，圓心到弧田弦的距離為 d ,r d 1則r2d 12，解得 d 1 ,r 2,r23 d2d icos AOD，可得 AOD ,0 排除Ax函數(shù) f（x）為非奇非偶函數(shù)，排除B第14頁（共 20 頁）r 232AOB3故選：D第15頁（共 20 頁）若 1,m,I /, m/ ，貝 U /;若 1，則 I /或 1;若 1,m,I ,m是異面直線，那么m與一疋相交;若1m , I /, I / ，則 1 /m .其中所有正確命題的編號是（）A .B .m為相交直線，可得 / / ，故錯;,由面面垂直和線面垂直的定義，結合線面的位置關系， 可得 I /或 I ，故

17、對；對于，若 I , m , I ,m是異面直線，那么m與 可能平行或相交，故 錯;對于，I/ ，由線面平行的性質定理可得過I 的平面 與平面 的交線 a/l ,由 I / / ,由線面平行的性質定理可得過I 的平面 與平面 的交線 b/I ,可得 a/b ,由線面平行的判定定理可得 a/,若|m，由線面平行的性質定理可得l/m 故對.是兩個不同的平面，給出下列命題:C.D.【解答】解：對于，若 I,I /, m/ ，貝 U / 或相交，只有 I ,對于，若 I第16頁（共 20 頁）故選：D.11. (5 分) 已知X 3 ,且 Iogax Iog5y Iog7z，則下列不等式關系中正確的是

18、（35 77 53735537A .-B .C.-D.xy zz yxz xyy x z【解答】解x3，設 Iogsx Iog5ylog7Zk 1 ,則 x 3k,ky 5,z7k.5k57 55 37y 5z7 貳5g7k7()575 0同理可得：77z yy x第17頁（共 20 頁）故選：C .x y 3, 013. （5 分）若實數(shù)x,y滿足約束條件，則 z 3x y 的最大值為 4x y 2, 0【解答】 解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖：由 z 3x y，得 y 3x z,平移直線 y 3x z，由圖象可知當直線 y 3x z，經(jīng)過點A時，直線 y 3x z 的截距最大，12. （

19、5 分）已知橢圓0）的左頂點為A,右焦點為F,以A點為圓心,AF長為半徑的圓與橢圓| AM | 2 |MF |，則橢圓 C 的離心率為（【解答】解：橢圓B . 3721（a b 0）的左頂點為A,右焦點為bC.-7F，若點M為曲線 C 上左焦點F ( c,0)且以A點為圓心,AF長為半徑的圓與橢圓C 相交于點M，可得|AM | | AF | a|AM | 2|MF | ,1可得|MF|尹c),所以|F M |3a2cos MFA1| MF |2_|AF |所以,3a12 22c) 4c1-(a c)241 122 2c尹c)4，解得7e3e 40,解得二、填空題（本大題共 4 小題，每小題5

20、分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）第18頁（共 20 頁）此時 z 最大.由 Xy 30 得 A(1,5)x y 20221y si nx xcosxx 1y |x o1，又當 x 0 時，y 1 ,曲線 y xs in x 1 ln(x 1)在 x 即 x y 10.故答案為：x y 10 .15.（ 5 分）某圓柱的高為 2,體積為 2 ，其底面圓周均在同一個球面上，則此球的表面積 為8 .【解答】 解：根據(jù)題意，畫圖如下：Q 圓柱的高為 2,體積為 2 , 2g22 r 1 ;則 OA R, O A r 1 , 00h1 ,2故在 Rt 00 A 中，OA 002O A22 ,R

21、2 ,S求4 R24814. (5 分)曲線 y xsinx 1 In (x【解答】 解：由 y xs in x 1 ln(x1）在 x 0 處的切線方程為x y 101），得0 處的切線方程為 y x 1 ,4 .第19頁（共 20 頁）故答案為：8第20頁（共 20 頁）116.（ 5 分）已知 ABC 的內(nèi)角 A ,B ,C 的對邊長a,b ,c 成等比數(shù)列，cos（A C） cosB ,(1 )則 B【解答】解:（1）在 ABC 中，A BC，則 A CB，由 cos(A C)1 加 cos B知2cos(A C)1cos(A C)cosAcosCsin Asi nCcosAcosC1

22、sin Asin C -，2cosAcosC1，4由a， b，c成等比數(shù)列知 b2ac，由正弦定理邊化角得：sin2B sin AsinC，（2）若延長BA至D使得BD 4，當ACD 面積的最大值為.3 時，則acosAcosC sin AsinC cos(A C)得：si n2B4cosB，21 sin B 一cosB4又 Qsin Bcos B 1 ，2cosB cosB30，4解得：cos B-或 cosB3（舍去），22B -；3(2 )由(1)中得：sin2B4Acos(A C) (r 1，42cosAcosC sin AsinC cos(A C)，故 ABC 為正三角形，如圖所示:

23、第 15 頁（共 20 頁）rtr1則 SACD AC AD sin DAC2三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答17.（ 12分）由國家統(tǒng)計局提供的數(shù)據(jù)可知，2012 年至 2018 年中國居民人均可支配收入y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：年份2012201320142015201620172018年份代號X1234567人均可支配收入y1.651.832.012.192.382.592.82（1 ）求y關于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（2）利用（1）中的回歸方程，分

24、析 2012 年至 2018 年中國居民人均可支配收入的變化情況,并預測 2019 年中國居民人均可支配收入.77附注：參考數(shù)據(jù)：yj15.47 ,67.28 .i 1i 1ACF43AD2a)SACD取最大值，最大值為.3 ,3a，當 a42 時,故答案為：_ , 2.第22頁（共 20 頁）參考公式：回歸直線方程? bX?的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：第 15 頁（共 20 頁）Tna1a2an42n41n 1-3n(n 1)2x y nxyk?厶1, ? y bx.2_2Xinxi 1【解答】解：（1） 由題可4 , y 空 2.21 ；77x yinxyb亠2 2Xinxi 1

25、67.28 71404 2.215.47 16280.19 ,y bx 2.210.19 41.45.故所求線性回0.19x1.45 ;（2 ）由（1）中的回歸方程的斜率k 0.190 可知，2012 年至2018 年中國居民人均可支配收入逐年增加.令 x 8 得: ? 0.19 8 1.452.97 ,預測 2019 年中國居民人均可支配收入為2.97 萬元.18. （12 分）設數(shù)列aj 的前n項和為 ,已知 a24 , an 1（1 ） 求 an 通項公式;（2）求ann 1的前n項和人.【解答】解：（1） Q an 13Sn1,na23S1 3a114 ,a11 ,an13Si1, n

26、1an3S11,n 2則：an 1an3(SiS. 1)3anan 14an,n從而知 ann 2a2g4n 14,n2 ,又當n 1 時，a1也符合,故n 1*an4 ,n N ；(2) Q ann 1n 14n1 ,2 .第24頁（共 20 頁）19. （12 分）如圖，在三角形 ABC 中， ABC 90 , AB BC 2 ,平面 ABC 與半圓弧?C 所在的平面垂直，點M為半圓弧上異于B、C 的動點，N 為AM的中點.（1）求證：CM BN ;（2）求三棱錐 M BCN 體積的最大值.【解答】 解：（1）證明：因為平面 ABC 與半圓所在的平面垂直，交線為 BC ,又 ABC 90，

27、即 AB BC，所以AB垂直于半圓所在平面，而 CM 在半圓平面內(nèi)，故 CM AB ,又 BC 為直徑，點M為半圓弧上一點，故 CM BM ,且 AB| BM B，因此 CM 平面ABM,又 BN 平面ABM，所以 CM BN ;（2）由題意知，點 N 為AM的中點，所以點 N 到半圓面的距離是點A到半圓面距離的一半，1 11 11 1因此 VMBCNVA BCM%sBCMgAB呂 BM gCM gAB BM gCM ,而 BM gCM BCgh （其中 h 為點M到 BC 的距離），當點M為 BC 半圓弧的中點時，h 最大,且最大值為 1,因此 BM gDM 的最大值為 2,故三棱錐 M B

28、CN 體積的最大值為-.3第25頁(共 20 頁)20. (12 分)已知拋物線 C：x22py(p 0) ,P、Q 是 C 上兩點，且兩點橫坐標之和為4,直線 PQ 的斜率為 2.(1)求曲線 C 的方程;(2)設M是曲線 C 上一點，曲線 C 在M點處的切線與直線 PQ 平行，且uuuu uuuuPM gQM 25 ,求直線 PQ 的方程.【解答】 解：(1)設直線 PQ 方程為:2x b ,P(xi, yi),Q(X2, y2)2則 X2py y 2Xb4px 2pb 0則XX24 p所以曲線方程為2y ；(2)設 M(X。,2y)，曲線 C :X2y曲線 C 在點M處的切線與直線 PQ

29、 平行可得：ky lxX0X02 y2 , 所以 M(2,2),2y2Xb4X2b 0,16 8bX24XX22b2% b2( XX2)2b 8 2b ,乂花(x)22g24uuu uuuub2PM g2M (2y?)(2 x)(2 X2)(2 y)(2 y?) 42(人卷)X1X,4 2(y y2) yy?b26b 16uuu mumQ PMgQM25,b26b 9第26頁(共 20 頁)第27頁(共 20 頁)所以直線 PQ 方程為：y 2x 3.21. (12 分)已知函數(shù) f(x) alnx(1)討論 f (x)的單調性;0 時,(1,)時，g (x)0 , g(x)單調遞減;g(x)

30、, g (1)0 ,即 Inx x x2, 0 ；2所以當 a 0 時，f(x), (a sin x)x ax .第一個題目計分選修 4-4:坐標系與參數(shù)方程只須證：a(l nxx x2)(sin x1)x2, 0 ,而(sin x1)x2, 0，因此，只要證:lnx x x2, 0設 g(x)lnx x2x,則 g (x)1.(x 1)(2x嘰 c、12xQx 0)(2)要證當ax，當 xa 0 時，f(x), (a sinx)x2xx(0,1)時，g (x)0 , g(x)單調遞增;22. (10 分)在直角坐標系 xOy 中，直線 I 的參數(shù)方程為(2)求證：當 a 0 時，f(x), (asin x)x2ax .【解答】 解：(1)函數(shù) f (x) alnxx2，定義域為(0,所以當 a,af (x) 2xx2a 2xx0 , f (x)在(0,)單調遞減;(x) 0，2x2(x) 0，則a