
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文檔簡介
1、分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)摘要Abstract第一章前言11.1 什么是分類討論思想11.2 中學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)分類討論思想.1第二章簡述分類討論思想11.1 分類討論思想的要求及其原那么11.2 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)31.3 分類討論思想的常規(guī)方法32. 3.1根據(jù)概念的屬性分類3. 3.2根據(jù)定理法那么的適用范圍分類44. 3.3根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類55. 3.4依據(jù)某些數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分類62.3.5依據(jù)位:2. 3.6依據(jù)參數(shù)變化進(jìn)行分類73. 3.7根據(jù)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類8第三章分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用93.1 分類思想在集合中的應(yīng)用93.2 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用10
2、3. 2.1分段函數(shù)中的分類討論104. 2.2函數(shù)中含參數(shù)的分類討論.4.1 分類討論思想在不等式中的應(yīng)用,3. 3.1涉及運(yùn)算要求的分類討論.4. 3.2含參數(shù)不等式的分類討論.3.53.63.73.84.2 分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用.分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用第四章分類思想的延伸4.1絕對值平方法5. 2別離變量法.1112121213141516171818194.3換元法204.4方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化法204.5換元法21總結(jié)22參考文獻(xiàn)23致謝24分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)生:XXX指
3、導(dǎo)教師:XXX摘要本文主要研究了分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,首先提出了分類討論思想的概念并強(qiáng)調(diào)了分類討論思想的要求、原那么以及標(biāo)準(zhǔn);然后舉例說明分類討論思想解題的常規(guī)方法以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用;最后,基于某些問題進(jìn)行分類討論時(shí)情況過多,探討了幾類預(yù)防分類討論的方法.在解數(shù)學(xué)問題時(shí),應(yīng)用分類討論思想,通過正確分類,可以使復(fù)雜的問題得到清楚,完整,嚴(yán)密的解答.分類討論的思想在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí),其解決過程包括多種情形,需要根據(jù)所研究的對象存在的差異,按一定標(biāo)準(zhǔn)把原問題分為幾個(gè)不同的種類,并對每一類逐一地加以分析和討論,再把每一類結(jié)果和結(jié)論進(jìn)行匯總,最終使得整個(gè)問題在總體上得到解決.關(guān)鍵詞:正確
4、分類;應(yīng)用;分類討論思想;標(biāo)準(zhǔn)分類討論思想在中學(xué)效學(xué)中的應(yīng)用TheApplicationofCategorizedDiscussioninSecondarySchoolMathematicsStudent:XXXXSupervisor:XXXAbstractThispapermainlystudiesthethoughtinthemiddleschoolmathematicsapplicationclassificationdiscussion,firstlyputsforwardtheconceptofclassificationtodiscussideasandtoemphasizethe
5、requirementclassificationtodiscussIdeas,principlesandstandards;Thendiscussthethoughtoftheproblemsolvingillustratesclassificationroutinemethodandapplicationinmiddleschoolmathematics;Finally,basedonsomeproblemsinclassificationtoomuchdiscussionaboutthesituation,discussesthecategoriestoavoidclassificati
6、onmethodofthediscussion.Insolvingmathematicalproblems,discussapplicationofideas,throughthecorrectclassification,canmakethecomplicatedproblemisclear,complete,rigoroussolutions.Classificationdiscussedthoughtswhensolvesomemathproblems,thesolutionprocessincludesavarietyofcircumstances,needaccordingtothe
7、differentbetweentheobjectofstudy,accordingtoacertainstandardoftheoriginalproblemisdividedintoseveraldifferentcategories,andforeachtypeofanalysisanddiscussiontoonebyone,theneverykindofresultsandconclusiontocarryonthesummary,eventuallymakingthewholeIssueresolvedingeneral.Keywords:properclassification;
8、apply;categorizeddiscussionmethod;standards人的年齡在一定程度的時(shí)候,思維的練習(xí)就變得尤為重要,中學(xué)數(shù)學(xué)的各種概念、原那么和法那么不是雜亂無章的組合成的,而是在邏輯體系下展開的,這一數(shù)學(xué)特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具有較強(qiáng)的邏輯推理水平,因此為了學(xué)生能建立起一個(gè)完善的數(shù)學(xué)思維體系和應(yīng)對中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù),掌握分類思想是非常必要的.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),對于由于存在一些不確定因素?zé)o法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題,我們往往將問題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分為假設(shè)干類或假設(shè)干個(gè)局部問題來解決,通過正確的分類,能夠克服思維的片面性,可以使復(fù)雜的問題得到清楚,完整,嚴(yán)密的解答
9、.第二章簡述分類討論思想2.1分類討論的要求及其原那么目前分類討論的要求:正確應(yīng)用分類討論思想,是完整解題的根底.應(yīng)用分類討論思想解決問題,必須保證分類科學(xué),統(tǒng)一,不重復(fù),不遺漏,在此根底上減少分類,簡化分類討論過程.為了分類的正確性,分類討論必需遵循一定的原那么進(jìn)行,在中學(xué)階段,我們經(jīng)常用到的有以下幾大原那么:(1)同一性原那么在分類討論過程中,每次劃分的標(biāo)準(zhǔn)必須同一,也就是說每一次分類只能有一個(gè)依據(jù),不能交叉使用幾個(gè)不同的劃分標(biāo)準(zhǔn).因此,在每次分類欠,應(yīng)當(dāng)從分類對象的屬性中,選只取一個(gè)屬即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根性作分類標(biāo)準(zhǔn),即:分類應(yīng)根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,據(jù).可以通過集合的思想來
10、解釋,如果把研究對象看作全集/,4是/的子集并以此分類,且A2A25.UA=/f那么稱這種分類(詞符合同一性原那么.它有兩層含義:一是概念應(yīng)該放在哪一類的衡量尺度;二是兩個(gè)不同的概念要用同一把尺度來衡量,不然就會(huì)出現(xiàn)分類的結(jié)果重復(fù)或遺漏,使得我們的分類結(jié)果混淆不清.互斥性原那么分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容,即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排斥,分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng),又屬于另一個(gè)子項(xiàng).即對于研究對象/,A(i=l,2,)是/的子集,且作為分類的標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)AcAj=i,j=.n,ij9那么稱這種分類符合互斥性原那么.相稱性原那么分類應(yīng)當(dāng)相稱,即劃分后子項(xiàng)外延的總和并集,應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等.4層次性
11、原那么分類有一次分類和屢次分類之分,一次分類是對被討論對象只分類一次;屢次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng),再次進(jìn)行分類,直到滿足需要為止.5合理性原那么劃分后的各個(gè)概念的外延總和,應(yīng)當(dāng)與被劃分概念的外延相等UA,=/,稱為完備性,劃分后各個(gè)概念之間不能重疊,他們之間的關(guān)系應(yīng)當(dāng)是互不相容的即4為空集,且,不等于簡稱為互斥性,通常也把這個(gè)原那么叫做不重復(fù)不遺漏.6逐級性原那么在一些問題光靠一次分類處理是不夠的,需對/中的4再次分類處理,那么稱為A的二級分類,由此類推稱為三級分類,四級分類等.比方一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),可以先按女.和k.分成兩類進(jìn)行討論,然后每一類又y=kx+b(kO,)可以細(xì)分
12、為人.、k.、入0三種情況分別加以討論.在同級分類分類標(biāo)準(zhǔn)中必須統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn),但不要求同級用同一把尺子.2. 2分類討論的標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)問題或事物要分類就必須具備三要素:母項(xiàng)、子項(xiàng)和根據(jù).母項(xiàng)就是被劃分的種概念,子項(xiàng)是被劃分過后所得的類概念,劃分的依據(jù)就是借以劃分的標(biāo)準(zhǔn).一個(gè)問題進(jìn)行分類處理時(shí),必須有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).即必須根據(jù)對象本身的某種屬性或關(guān)系來進(jìn)行劃分,由于客觀事物有很多方面的屬性,事物之間有很多方面的聯(lián)系,所以分類的標(biāo)準(zhǔn)也是很多方面的,可以根據(jù)不同的方面對事物進(jìn)行分類.但同一次分類都應(yīng)該根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,所以我們分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)服從于研究的目的或觀察問題的角度.2.3分類討論思想的常規(guī)方法2.1 根
13、據(jù)概念的屬性分類有些數(shù)學(xué)概念本身就是分類定義的,比方絕對值的化簡,直線與平面所成的角,所以對于這些概念問題是就可以分類討論如求實(shí)數(shù)的絕對值,用一句話來概括比擬困難,如果將這個(gè)數(shù),按實(shí)數(shù)的分類正數(shù)、零、負(fù)數(shù)逐一解決,就容易多了.即>0)同=<0(a=0)-a(a<0)在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中,也用到了分類思想,比方兩數(shù)相加、兩數(shù)相乘的法那么,都是按同號(hào)、異號(hào)分別加以表達(dá)的.例2.1化簡|-2|一|3一4.分析:了解了絕對值得分類標(biāo)準(zhǔn),為了去掉絕對值號(hào),可將實(shí)數(shù)分為三種情況<2;2«3;心3;分別加以討論.(1)(2)(3)當(dāng)<2時(shí);原式=(2-.)-(3一.)=一1
14、當(dāng)2«3時(shí);14=(a-2)(3a)=2a5留神3時(shí);原式例2.2有理數(shù)一2到有理數(shù)-1的距離是3,有理數(shù)y+1到3的距離是5,且x>y,求x+y和x-y的分析:在數(shù)軸上,到有理數(shù)-1的距離是3的有理數(shù)有兩個(gè),一個(gè)是-4,另一個(gè)是2,即工_2=汽或工_2=2;到3的距離是5的數(shù)也有兩個(gè),一個(gè)是-2,另一個(gè)是8,即>'+1=-2或y+l=8解:依題意得x-2=-4x-2=2解得由于所以y+l=-2或y+l=8x=-2x=4y=-3或y=7x>y所以y的值為-5或I,x.y的值為I或7.2.3.2根據(jù)定理法那么的適用范圍分類有些數(shù)學(xué)公式本身就是分類形式給出的,比
15、如等比數(shù)列前項(xiàng)和和公式、有理數(shù)乘法法那么等.運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式S<q(lT)先要判別其公比,能否為I進(jìn)行判定,以等比數(shù)列公比q作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類研究.許多法那么、定理都有其分類討論,如被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù).例2.3解方程x-2Xx+3=4x2分析:常見這種問題會(huì)想到同時(shí)在兩邊乘以無一2,將原方程化簡為x+3=4;而無視了x-2是否等于.可以根據(jù)2或x,2兩種情況.解:1當(dāng)時(shí);x=20xx+3=0x4即當(dāng)“2時(shí);同時(shí)兩邊除以.田有x+3=4x=所以原方程的解為E或2.3.3根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類數(shù)形結(jié)合思想刻畫了數(shù)量關(guān)系與圖形運(yùn)動(dòng)的相互依存的關(guān)系,因圖形位置不能確定或形狀的變化,形狀直觀為我
16、們提供分類討論的方法,如求集合的交集、并集、補(bǔ)集時(shí),可以用數(shù)軸來表述;以及一元二次方程的實(shí)數(shù)根分布借用二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)情況進(jìn)行討論.例2.4如圖2-1中,分別以直線,上的點(diǎn)人B、八D、E、尸為端點(diǎn)的線段共有多少條?IIIABCDEF圖2-1分析:線段相與船是同一條直線,如依字母排列順序表示線段,那么一條線段就對應(yīng)一個(gè)左端點(diǎn),不妨以線段的左端點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計(jì)算.1以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD、AE、AF共5條;2以B左為左端點(diǎn)的線段有BC、BD、BE、8尸共4條;3以c為端點(diǎn)的線段有.、CE、CF共3條;4以.為左端點(diǎn)的線段有DE、DF共2條;5以E為左端點(diǎn)的線段僅有EF共1條.所以
17、,共有5+4+3+2+1=15條線段.2.3.4依據(jù)某些數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分類數(shù)學(xué)研究對象往往具備一定性質(zhì),如歐偶次方根的性質(zhì);二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì);反三角函數(shù)的定義域、值域等,再利用這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題時(shí),就需要根據(jù)這些性質(zhì)成立的相關(guān)條件進(jìn)行分類討論處理.例2.5如用分類方法來討論正比例函數(shù)y=k.x(k*0)的圖像與性質(zhì):(1)留神.時(shí),圖像經(jīng)過第一、三象限,y隨的增大而增大;(2)當(dāng)攵時(shí),圖像經(jīng)過第二、四象限,)隨的增大而減小.例2.6用分類方法討論一元二次方程ax2+bx+c=0(a工.)的根的情況:當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí),方程有2個(gè)相異實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)-4
18、171;c=0時(shí),方程有2個(gè)相等實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)=Z?2-4cvO時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.2.3.5依據(jù)位置關(guān)系進(jìn)行分類在幾何問題中點(diǎn)與點(diǎn),點(diǎn)與線,點(diǎn)與面,線與線,線與面等的位置關(guān)系是分類的依據(jù),如異面直線上兩點(diǎn)的距離;在排列組合問題中,有限制條件時(shí),應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮特殊元素的位置關(guān)系來分類處理.例2.7八B、c是平面a外的三點(diǎn),他們到平面a的距離分別為6.6.3,求的重心G到平面a的距離.分析:如圖2-2,由于點(diǎn)A、B、C在平面a外,且到平面a的距離為663,而他們可能在平面°的同側(cè),也可能在異側(cè),因此要進(jìn)行分類討論.解:'=>CA平面a同側(cè)時(shí),重心G到平面a的距離八&quo
19、t;35(2)當(dāng)八8在平面a同側(cè),C在另一側(cè)時(shí),6+6-3=3(3)當(dāng)A、c在平面a同側(cè),8在另一側(cè)時(shí),公6+3-63=1所以,MBC的重心G到平面a的距離是1,3,52.3.6依據(jù)參數(shù)變化進(jìn)行分類某些含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題,由于所含參數(shù)取值的不唯一,會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同,或者由于對不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的推演方法,這時(shí)就可以根據(jù)參數(shù)的不同取值情況進(jìn)行分類討論,比方在考慮正比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像相關(guān)性質(zhì)問題時(shí),都會(huì)根據(jù)參數(shù)取值范圍進(jìn)行分類處理.例2.8直線/的方程為xcos6+ysinS+l=0(04夕v乃),求直線,的斜率與傾斜角.分析:這個(gè)問題用到直線斜率與傾斜角的得概念,這些概念都是分段定義
20、的.6是變量,導(dǎo)致sinacose都是會(huì)隨6的改變而改變,因此在解這類問題時(shí)需要分類討論.解:(1)當(dāng).時(shí),由于直線方程為E,所以直線,的斜率k不存在,傾斜角"萬.(2)當(dāng)0<6萬時(shí),由于k=cot0tan(y+6),因此,當(dāng)0<6><-時(shí),傾斜角a=當(dāng)時(shí),傾斜角"畀心萬"后根據(jù)直線斜率的定義:當(dāng)傾斜角時(shí),k=tana;當(dāng)傾斜角時(shí),A不存在.所以18=0時(shí),"=5,/的斜率攵不存在;2.“行時(shí),a杉+6,/的斜率A為tana;3?"'時(shí),/的斜率攵為??;注意,在應(yīng)用直線斜率概念時(shí),特別是直線運(yùn)動(dòng)時(shí),要十分注意斜率
21、是否可能不存在,否那么會(huì)出現(xiàn)無解現(xiàn)象.2.3.7根據(jù)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類有些數(shù)學(xué)問題中,涉及到有關(guān)整數(shù)的問題,可以根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)分為兩大類,其實(shí)這就是二分法的主要形式之一.所謂的二分法就是按概念的對象有無某一性質(zhì)進(jìn)行分類處理.例2.9數(shù)列%的前和為s.,滿足關(guān)系式S3+U,且3>0,假設(shè)a=-iS,求求S“及其數(shù)列口的通項(xiàng)公式.2數(shù)列0的前項(xiàng)的和乙.解:當(dāng),1時(shí),由留神2時(shí),由得十冊-1X%一-2)=.%>0,.%-%=2,即.“是首項(xiàng)為I,公差為2的等差數(shù)列,從而S=/,a=(l)"S=(1)2(2)當(dāng)=2而£曠),即偶數(shù)時(shí),=-12+22-32+42-.-2
22、/zj-11+J=22-12+42-32+.+2ah2-2/h-122in2m+1_nn+1.22'當(dāng)=2m-tnwN,即奇數(shù)時(shí),綜上所述小)巫/人叔)第三章分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1分類思想在集合中的應(yīng)用在集合運(yùn)算中也常常需結(jié)合元素與集合,集合與集合之間的關(guān)系分類討論,尤其是對一些含參數(shù)的集合問題,常需要進(jìn)行分類討論求解.例3.1設(shè)4-2<x<a,B=yy=2x+3,xeA,C=zz=x2,xA且CqB9求實(shí)數(shù).的取值范圍.分析:當(dāng)一2«1時(shí)產(chǎn)的范圍與實(shí)數(shù).取值的正負(fù)號(hào),回與2的大小均有關(guān)系,因此需針對分情況討論研究,從而求出集合.,再依據(jù).二8,計(jì)算
23、出的取值范圍.解:*/A=x-2<x<a,B=yy=2x+3,xeA)=y|-1<y<2a+3(1)當(dāng)-2«a«0時(shí),C=za2<z<4>由于所以4<2«+39解得與一2«440矛盾.(2)當(dāng)0<4«2時(shí),C=zla2<z<4)9由于CqB,所以442.+39解得a>92故<a<22當(dāng)時(shí),C=zQ<z<cr9由于CcB9所以a2<2a+3f2<a<3綜上可得3.2分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用3.2.1分段函數(shù)中的分類討論例3.2函數(shù),
24、一作函數(shù)/的圖像./x=|x-3|+|x+l|分析:"X為分段函數(shù),沒有固定統(tǒng)一的表達(dá)式,所以同安零點(diǎn)分區(qū)間研究.解:當(dāng)皿時(shí),fx=3-x-x-=-2x+2;(2)當(dāng)7X3時(shí),f(x)=3-x+x+l=4;(3)當(dāng)“3時(shí),/(x)=x-3+x+l=2x-2;2x+2,xW1/M=<4,-1<x<32x-29x>3故/用的函數(shù)圖像為如圖3T所示:圖3-13. 2.2函數(shù)中含參數(shù)的分類討論例3.3函數(shù)/(.2x2ax+3在區(qū)間卜川上有最小值,記作那么),求g的函數(shù)表達(dá)式.解:原式配方得y=2(x)-+322其對稱軸方程為aA29當(dāng)自一1時(shí),即心2時(shí)一在加上遞增,在
25、x=1時(shí),g(a)=2a+5;(2)當(dāng)時(shí),即一2<2時(shí),在處有最小值,8(")=3-?;(3)當(dāng)衿即,讓2時(shí),在卜川上單調(diào)遞減,在工=10,g(a)=5-2a;綜上所述可得2a+5,(aK2)2g0=«3-彳,(_2<<2)5-2d(之2)3.3 分類討論思想在不等式中的應(yīng)用3 .3.1涉及運(yùn)算要求的分類討論我們在不等式的解題過程中,常常將式子進(jìn)行變形或者轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)式子來解題和運(yùn)算,許多變形與運(yùn)算都是受相關(guān)條件限制的,比方解不等式當(dāng)兩邊同時(shí)乘(除)以一個(gè)代數(shù)式時(shí),要考慮代數(shù)式的正負(fù).例3.4解不等式Q>%3分析:解此不等式需要去掉根號(hào),而去掉根號(hào)
26、時(shí),需要考慮兩邊是否同為正,方能同時(shí)兩邊平方而不改變不等號(hào)方向,所以在解不等式應(yīng)依據(jù)運(yùn)算要求分類討論研究.解:原不等式等價(jià)于Fx-i>ox3vOx-l>0<x-3>0x-1>(x-3)2解得1<x<3,不等式解集為(v|l<x<5)>4 .3.2含參數(shù)不等式的分類討論例3.5解關(guān)于x的不等式V-3+/)x+/分析:原不等式是關(guān)于工的一元二次不等式,可化為(九一.)(工一2)>0由于和/無法確定大小,該不等式?jīng)]方法繼續(xù)解下去,所以要對進(jìn)行討論,討論的標(biāo)準(zhǔn)是與,2的大小上.解:(1)當(dāng)0<1時(shí),2,不等式的解集為卜卜v/o廠x
27、>;(2)當(dāng)“=0時(shí),a=,不等式解集為(v|xeR.and.x工.;(3)當(dāng)“1時(shí),皿尸,不等式解集為(4)當(dāng)"1或".時(shí),尸,不等式解集為卜0<xvaxmcl.x<cJ3.4 分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用分類討論思想在排列組合十分廣泛,尤其是在解決有約束條件的排列組合問題時(shí),分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.例3.6在正方體的八個(gè)頂點(diǎn),12條棱的中點(diǎn),六個(gè)面的中央及正方體的中央一共二十七個(gè)點(diǎn),共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少?解:依題意,共線的三點(diǎn)組可以分為三類:兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組,共有*28組;兩端點(diǎn)皆為面的中央的共線三點(diǎn)組,共有竽=
28、3組;兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組,共有等=18組;所以總共有28+3+18=49組.例3.7甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng),要求每人參加一天且每天至多安排一個(gè)人,并要求安排甲在另外兩位前面,不同的安排共有多少方法?解:此題考查排列組合,按甲參加的日期分類:1甲周一參加,丙和乙在剩下的4天中選兩天參加,有另種;甲周二參加,同理可知有內(nèi)種;3甲周三參加,有用種;根據(jù)加法原理可知,總共有用=20種.3-5分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用在某些數(shù)列問題中也存在不確定的因素,比如等比數(shù)列的公比“是否為數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等,就那樣的數(shù)列問題,我們要進(jìn)行分類討論.例
29、3.8數(shù)列1,2a-,3x2,4x3,-求它的前項(xiàng)和.分析:此題未指明數(shù)列為等比數(shù)列,所以分類討論時(shí)還要考慮,=.這一情況.解:設(shè)=1+2x+3ah1-nxnlf(1)當(dāng)“0時(shí),S=l;(2)當(dāng)時(shí),S-1+2+3+=心辿;2(3)當(dāng)-0且一時(shí),由Sn=1+2x+3rHF,得xSfJ=X+2尸+3T"HF(1卜+fix",兩式相減:1_丫(1一x)Sn=1+x+/+-nxn=一x"91-x(1)2綜上所述L(x=O)甘(戶1)7<()(j)3.6分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用例3.10如圖3-2所示,給定點(diǎn)心詠0和直線/上的動(dòng)點(diǎn)AB,NBOA的角平分線交A8于
30、點(diǎn)C,求點(diǎn)C的軌跡方程,并說什么曲線.圖3-2分析:由于動(dòng)點(diǎn)因點(diǎn)在直線,上的位置的變動(dòng)而變化,故設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)/,為參數(shù);由題意知c點(diǎn)應(yīng)為的表達(dá)式,消去參數(shù),即得c點(diǎn)的軌跡方程.本體的關(guān)鍵是如何求C點(diǎn)的坐標(biāo),方法有多種,如利用角平分線的定義,性質(zhì)可得.解:依題意,記eR),那么直線0A和08的方程分別為y=0和y=-bx.設(shè)點(diǎn)4,),),那么有0<x<a,由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)C在直線M上,=_(1+小x-a將代入得-2ov+(l+4)河=0假設(shè)嚴(yán).,那么(1-«)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);(2)假設(shè)y=0,那么=0,ZAOB=乃9點(diǎn)C的
31、坐標(biāo)為(.,.),滿足上式綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-,二-2ax+(+a)y2=0(0<x<a)此軌跡方程里含有參數(shù).,因參數(shù).的值的不同而導(dǎo)致曲線的形狀不同,從而需要對參數(shù).分情況討論.I當(dāng)I時(shí),方程化為y2=x(0<x<a)此時(shí),方程表示為拋物線弧段;II當(dāng)"1時(shí),軌跡方程為ax-Cl)cr-cr2+-=1(0<x<«)cr所以,當(dāng)0<av1時(shí),方程表示橢圓弧段,1J當(dāng)g時(shí),方程表示雙曲線支的弧段.3.7 分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用點(diǎn),線,面是組成幾何圖形的三個(gè)要素,有些立體幾何題中,這三者的位置關(guān)系是不確定的,因此要對每
32、種情況進(jìn)行分類討論求解,這樣預(yù)防漏解.下面一題是涉及點(diǎn)與線的位置關(guān)系不確定的分類討論.例3.11線段AB與平面a平行,平面a的斜線學(xué),叼與平面a所稱的角分別30°和60°且幺45=484=90°,AB=a,=b(b>0)f求A8與平面a的距離.分析:作ACLa,垂足為C,那么AC即為所求距離.作BD±a垂足為AB/aAB/CD9由可證AB1.面AiAC9同理可證二面A"面8加,由面面平行的性質(zhì)定理可知CHB.D.考慮到4,用在8的同側(cè)或CQ異側(cè),所以分兩種情況討論.解:如圖(3-3),aw在.的同側(cè)時(shí),過點(diǎn)用作用EJ_AQ,垂足為E,由N
33、A4Q30.,Z.BB.D=60°設(shè)=那么可用x表示,在眼中,利用勾股定理列方程,解得x瀉廬丁如圖(3-4),4冏在8異側(cè)時(shí),在平面a內(nèi)作4口“,交其延長線于同理可得acW、K3.8 分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來,高、中考的測試命題從知識(shí)轉(zhuǎn)向水平測試,出現(xiàn)了許多有鮮活背景的實(shí)際應(yīng)用題.這種實(shí)際應(yīng)用問題,常常需要有分類討論的思想才能順利解決.其解題思路是:用數(shù)學(xué)的語言加以表達(dá)和交流,敏捷的接受試題所提供的信息,并和所學(xué)的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合,確定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),把一個(gè)復(fù)雜的應(yīng)用題分解成幾個(gè)較簡單的問題,從而使問題獲解.例3.12有一批貨物,如在本月初出售,可獲利10萬元,然后將本利
34、都存入銀行,每月利率為2.4%,如在下月出售,可獲利12萬元,但要付.5萬元貨物保管費(fèi),試問這批貨物在本月初出售合算還是下月初出售合算?解:設(shè)這批貨物的本錢0萬元.假設(shè)這批貨物在本月初出售,將本利存入銀行,到下月初貨主有金額m=(a+10)(1+2.4%);假設(shè)這批貨物在下月初出售,貨主有金額=4+120.5;(3)m-n=0.0246/-1.26=0.024(t/-52.5),當(dāng)本錢2.5時(shí),應(yīng)該本月初出售合算;當(dāng)本錢=52.5時(shí),在本月初出售或下月初出售都一樣;當(dāng)本錢“<52.5時(shí),在下月初出售合算.第四章分類思想的延伸分類討論是一種重要的解題策略,但他不是萬能的,不是唯一的,對于分
35、類討論的問題,在熟悉和掌握分類討論的同時(shí),要注意克服盲目討論的思維定勢,要認(rèn)真審查題目的特點(diǎn),充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性,盡可能預(yù)防分類討論,簡化分類討論過程,從而提升分類討論的效果.下面對于預(yù)防和簡化分類討論簡單舉例說明:4.1絕對值平方法例4.1o<x<,a>.且a工1,比擬|bg“(l-x)|和|log4(l+x)|的大小.分析:式中出現(xiàn)了字母系數(shù)以及實(shí)數(shù)絕對值的概念,從而引起分類討論.但是,采取合理策略,此題也可以預(yù)防分類討論.解:假設(shè)7£R=|?9所以可以比擬|hga(D與|logfl(l+x)|2的大小.|logfl(l-x)|2=|logn(l+
36、x)|2=log;(l-x)-log;(l+x)lgl-x)lgil+x)lg2a=(J-)2lg(l-x)+lg(l+x)lg(lX)-lg(l+X)1gU=(一丹愴.一了).ig(r)©IgaI1+x_(!)2>0,0<x<1=>0<x2<1=>1>1-x2>0=>Ig(l-x2)<0olga一1<-x<0=0<1x<1ii11-Aci<i+x<2=,<<1=°<777<i、21+x所以log(l-x2)lg>0,+x即|logfl(l-x
37、)|2-|loga(l+x)|2>0=>|loga(l-x)|2>|loga(14-x)|2所以|loga(l-x)|>|logfl(l+x)|4.2別離變量法例4.2關(guān)于x的方程x2-(7-2)x+4=0Exe(0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范目分析:由于一元二次方程中出現(xiàn)了字母系數(shù),從而引起了分類討論.此題一般做法是:設(shè)一元二次方程有實(shí)數(shù)根再,巧,分三類討論:(1)%1<0且0<x2<1;(2)0<Xj<10<x2<1;(3)o<玉<i且%2>i©如果我們把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù),進(jìn)行變量別離,就可以預(yù)防
38、分類討論.解:V(w-2)x=x2+44:7=X+2,XW(0,1)9X假設(shè)令c4.4)=x+7+2那么原問題就可以變?yōu)榍笠蝗?的值域,就可以使問題迎刃而解.由于x+34,等號(hào)僅當(dāng).士時(shí)成立,此時(shí)有入=2e(0,1)而x+士在xe(0,1)上是減函數(shù),X所以X+>1+=59X1所以即當(dāng),+8)時(shí),方程在.(0,1)有實(shí)數(shù)解.4. 3換元法例4.3函數(shù)/(A)=log2(x+1),g(x)=2log2(2x+/)O假設(shè)心0,1時(shí),恒有fM<gW9求實(shí)數(shù)的取值范分析:由/(X)<g(x)對任意X0,1恒成立=>21og2(2x+f)>log2(x+1)在xe0,1上成立=>2x+r>而T成立,即tN2x+y/x+因此只要求出-2、+后的最大值即可.解:設(shè)=-2x+Jx+l,貝!|u=-2(Jx+1-+Jx+1+2u=-2(4x+-)2+48而=V2所以的最大值是I,所以壯時(shí),f(x)<g(x)恒成立.4.4方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化法例4.4假設(shè)關(guān)于X的一元二次方程加-2公+1=0在0,2內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值E3U分析:假設(shè)設(shè)y=ix2-2ov+l,它的圖像是拋物線,當(dāng)“>0時(shí),開口向上,當(dāng)“<0時(shí),開口向下,因此要分兩類討論.由于心.,原方程可以化為:x2-2x+-=0a而尸爪的圖像拋物線開頭朝上,這就
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