【高三總復(fù)習(xí)】2013高中數(shù)學(xué)技能特訓(xùn)：4-4 向量的應(yīng)用及向量與其他知識的綜合問題(人教B版) 含解析

1、4-4向量的應(yīng)用及向量與其他知識的綜合問題基礎(chǔ)鞏固強化1.(文)如圖，在ABC中，AB5，BC3，CA4，且O是ABC的外心，則·()A6B6 C8D8答案D解析AB2AC2BC2，ACB為直角，O為ABC外心，··()·|2·8.(理)在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45°，AB2CD2，M為腰BC的中點，則·()A1 B2 C3 D4答案B解析由條件知AB2，CD1，BC，MBMC，·|·|·cos45°×2×1，·|·|

2、3;cos135°×1×，·()·()····212×12，故選B.2已知A、B、C是銳角ABC的三個內(nèi)角，向量p(sinA,1)，q(1，cosB)，則p與q的夾角是()A銳角 B鈍角 C直角 D不確定答案A解析解法1：p·qsinAcosB，若p與q夾角為直角，則p·q0，sinAcosB，A、B，AB，則C，與條件矛盾；若p與q夾角為鈍角，則p·q<0，sinA<cosBsin，sinx在上為增函數(shù)，A<B，AB<，C>這與條件矛

3、盾，p與q的夾角為銳角解法2：由題意可知AB>A>BsinA>sin(B)cosBp·qsinAcosB>0，又顯然p、q不同向，故p與q夾角為銳角3(2012·河北鄭口中學(xué)模擬)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點，20，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案C解析如圖，2，20，0，P為AD的中點，所求概率為P.4(文)(2011·成都市玉林中學(xué)期末)已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上有一點P，使·有最小值，則P點坐標(biāo)為()A(3,0) B(3,0)C(2,0) D(4,0)答案B

4、解析設(shè)P(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)，·(x2)(x4)(2)×(1)x26x10(x3)21，當(dāng)x3時·有最小值，P(3,0)(理)(2011·河南質(zhì)量調(diào)研)直線axbyc0與圓x2y29相交于兩點M、N，若c2a2b2，則·(O為坐標(biāo)原點)等于()A7 B14 C7 D14答案A解析記、的夾角為2.依題意得，圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于1，cos，cos22cos212×()21，·3×3cos27，選A.5(2012·吉林實驗中學(xué)模擬)如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是

5、DC、BC的中點，那么()A. BC D.答案D解析()().6(2012·浙江寧波市期末)在ABC中，D為BC邊中點，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B. C. D.答案D解析A120°，·1，|·|·cos120°1，|·|2，|2|22|·|4，D為BC邊的中點，()，|2(|2|22·)(|2|22)(42)，|.7.如圖，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則()·的最小值為_答案解析設(shè)PCx，則0x3.

6、()·2·2x×(3x)2x26x2(x)2，所以()·的最小值為.8(2012·會昌月考)已知向量a與b的夾角為，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實數(shù)_.答案1解析a，b，|a|1，|b|4，a·b|a|·|b|·cosa，b1×4×cos2，(2ab)a，a·(2ab)2|a|2a·b220，1.9.(2012·寧夏三市聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，已知AB2，AD1，BAD60°，E為CD的中點，則·_.答案解析·()&#

7、183;()|2|2·12×1×2·cos60°.10(文)(2012·豫南九校聯(lián)考)已知向量(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x0，時，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時的x值解析(1)(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x)，函數(shù)f(x)最小正周期T2.(2)x0，x，當(dāng)x，即x時，f(x)

8、sin(x)取到最大值.(理)(2012·龍巖月考、河北衡水中學(xué)調(diào)研)ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m(1,1)，n(cosBcosC，sinBsinC)，且mn.(1)求A的大?。?2)現(xiàn)在給出下列三個條件：a1；2c(1)b0；B45°，試從中選擇兩個條件以確定ABC，求出所確定的ABC的面積(注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分)解析(1)因為mn，所以cosBcosCsinBsinC0，即cosBcosCsinBsinC，所以cos(BC)，因為ABC，所以cos(BC)cosA，所以cosA，A30°

9、.(2)方案一：選擇，可確定ABC，因為A30°，a1,2c(1)b0，由余弦定理得，12b2(b)22b·b·解得b，所以c，所以SABCbcsinA···，方案二：選擇，可確定ABC，因為A30°，a1，B45°，C105°，又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60°cos45°sin60°，由正弦定理c，所以SABCacsinB·1··.(注意：選擇不能確定三角形)能力拓展提升11

10、.(文)(2012·浙江省樣本學(xué)校測試)如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB3，AC5，BC，則·等于()A8 B1 C1 D8答案D解析取BC的中點M，連接AM、OM，·()···()8，故選D.(理)(2011·福建理，8)已知O是坐標(biāo)原點，點A(1,1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是()A1,0 B0,1C0,2 D1,2答案C解析·(1,1)·(x，y)yx，畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示可以看出當(dāng)zyx過點A(1,1)時有最小值0，過點C(0,2)時

11、有最大值2，則·的取值范圍是0,2，故選C.12設(shè)F1、F2為橢圓y21的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，·的值等于()A0B2C4D2答案D解析由題意得c，又S四邊形PF1QF22SPF1F22××F1F2·h(h為F1F2邊上的高)，所以當(dāng)hb1時，S四邊形PF1QF2取最大值，此時F1PF2120°.所以·|·|·cos120°2×2×()2.13(2011·煙臺質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，i、j分別是

12、與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，則實數(shù)m_.答案0或2解析ABC為直角三角形，當(dāng)A為直角時，·(ij)·(2imj)2m0m2；當(dāng)B為直角時，··()(ij)·i(m1)j1m10m0；當(dāng)C為直角時，··()(2imj)·i(m1)j2m2m0，此方程無解實數(shù)m0或m2.14(2012·蘇北四市統(tǒng)考)已知ABO三頂點的坐標(biāo)為A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且滿足·0，·0，則·的最小值為_答案3解析(x

13、1，y)，(1,0)，(x，y2)，(0,2)，·(x，y)·(1,2)x2y12×23，·的最小值為3.15(文)已知向量a，b(2，cos2x)，其中x.(1)試判斷向量a與b能否平行，并說明理由？(2)求函數(shù)f(x)a·b的最小值解析(1)若ab，則有·cos2x·20.x，cos2x2，這與|cos2x|1矛盾，a與b不能平行(2)f(x)a·b2sinx，x，sinx(0,1，f(x)2sinx22.當(dāng)2sinx，即sinx時取等號，故函數(shù)f(x)的最小值為2.(理)已知點P(0，3)，點A在x軸上，點Q

14、在y軸的正半軸上，點M滿足·0，當(dāng)點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程解析設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，則(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由·0，得a(xa)3y0.由得，(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0)16.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE2EB.求證：ADCE.證明·()·()|2···|2|cos90°|2cos45

15、6;|2cos45°|2|20，即ADCE.1已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)x3|a|x2a·bx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為()A(0，) B(，C(， D(，答案C解析設(shè)a與b的夾角為，f(x)x3|a|x2a·bx在R上有極值，即f (x)x2|a|xa·b0有兩個不同的實數(shù)解，故|a|24a·b>0cos<，又0，所以(，故選C.2設(shè)F為拋物線y22px(p>0)的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若0，|3，則該拋物線的方程是()Ay22x By24xCy26x Dy28x答案A解析F(，0)，設(shè)

16、A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由0得，(x1)(x2)(x3)0，x1x2x3p.又由拋物線定義知，|(x1)(x2)(x3)3p3，p1，因此，所求拋物線的方程為y22x，故選A.3不共線向量、，且2xy，若(R)，則點(x，y)的軌跡方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20答案A解析由得，()，即(1).又2xy，消去得xy2，故選A.4已知O為原點，點A、B的坐標(biāo)分別為A(a,0)、B(0，a)，其中常數(shù)a>0，點P在線段AB上，且有t(0t1)，則·的最大值為()Aa B2a C3a Da2答案D解析t，t()(1t)t(aa

17、t，at)，·a2(1t)，0t1，·a2.5已知M是ABC內(nèi)的一點，且·2，BAC30°，若MBC、MCA和MAB的面積分別為、x、y，則的最小值是_答案18解析·2，bccosA2，BAC30°，bc4，SABC1，xy，()1018.等號成立時，x，y，在時，取得最小值18.6過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F(c,0)(c>0)，作圓x2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若()，則雙曲線的離心率為_答案解析PF與圓x2y2相切，OEPF，且OE，()，E為PF的中點，又O為FF2的中點，|PF2|2|OE|a，由雙曲線定義知，|PF|PF2|2a3a，在RtPFF2中，|PF|2|PF2|