弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想

1、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想  荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾是國際上知名的數(shù)學(xué)教育方面的權(quán)威學(xué)者。在他擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(1CMl)主席期間，召開了第一屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME1)，并創(chuàng)辦了Educational Studies in Mathematics雜志，現(xiàn)任ICMI主席(巴黎十一大學(xué)校長)加亨(Kahane)教授曾評(píng)價(jià)說“對(duì)于數(shù)學(xué)教育，本世紀(jì)的上半葉Felix Klein做出了不朽的功績；本世紀(jì)的下半葉Hans Freudenthal做出了巨大的貢獻(xiàn)?！?作為一位數(shù)學(xué)家，弗賴登塔爾30年代就享有盛譽(yù)，從50年代起就逐漸轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育的研究，形成了他自己的獨(dú)到的觀點(diǎn)。他

2、的數(shù)學(xué)教育理論與思想，完全是從數(shù)學(xué)教育的實(shí)際出發(fā)，用數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教師的眼光審視一切，可以說已經(jīng)擺脫了“教育學(xué)”，(或“心理學(xué)”)加數(shù)學(xué)例子這種“傳統(tǒng)的”數(shù)學(xué)教育研究模式，抽象概括成他獨(dú)有的系統(tǒng)見解，這也許是他最重要的貢獻(xiàn)，也正是我們特別需要借鑒之處。第一節(jié) 關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)特性的論述 數(shù)學(xué)教育的研究不能離開它的對(duì)象數(shù)學(xué)的特有規(guī)律，進(jìn)入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)發(fā)展的突飛猛進(jìn)，迫使當(dāng)代社會(huì)的數(shù)學(xué)教育必須充分考慮到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。為此，弗賴登塔爾從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史出發(fā)，深入研究了數(shù)學(xué)的悠久傳統(tǒng)，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成的背景，提出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是否應(yīng)該以現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的誕生和約當(dāng)(Jordan)的置換群的產(chǎn)生作為標(biāo)

3、志；或者是另一種看法，那是以著名的布爾巴基(Bourbaki)理論的出現(xiàn)，作為一個(gè)新時(shí)期的開端?；谶@一分析，弗賴登塔爾認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性，可以歸結(jié)為以下幾個(gè)方面： 1數(shù)學(xué)表示的再創(chuàng)造與形式化活動(dòng)。如果認(rèn)真分析一下近幾十年來數(shù)學(xué)的變化，就會(huì)發(fā)現(xiàn)變的主要是它的外表形式，而不是它的內(nèi)容實(shí)質(zhì)。這是一個(gè)自然演變的過程，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，逐斬滲透與發(fā)展了各種新知識(shí)與新詞匯，最終匯成一個(gè)新潮流形式化，這是組織現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要方法之一，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志之一。事實(shí)上，這個(gè)形式化過程還在繼續(xù)不斷地演變著，新的形式在不斷地創(chuàng)造著，形式化的進(jìn)程也許剛開始，它將以更自覺的方式繼續(xù)活動(dòng)。 微積分的發(fā)展是一個(gè)例子，當(dāng)牛

4、頓、萊布尼茲開始引入微分、積分以及無窮小的時(shí)候，這都是一些具有某種直觀背景的模糊觀念。根據(jù)某些實(shí)際需要，對(duì)它們進(jìn)行各種描述，以及各種運(yùn)算；經(jīng)過了一段很長的歷史，才逐漸形成了極限的概念，才有了形式的定義，于是微積分才有嚴(yán)密、精確而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的邏輯演繹體系，這是對(duì)長期的非形式化運(yùn)算過程進(jìn)行形式化改造的結(jié)果。 再如表示一個(gè)函數(shù)的符號(hào)，為什么應(yīng)該記作f，而不宜寫作f(x)、這個(gè)道理很難敘述清楚，尤其是在只涉及幾個(gè)具體函數(shù)的有限范圍內(nèi)，人們很不容易理解它的必要性，可是當(dāng)你進(jìn)入泛函分析的領(lǐng)域，要涉及函數(shù)的集合以及它們生成的空間，甚至進(jìn)一步討論空間之間的映射等等時(shí)，這種表達(dá)形式的精

5、確化，隨著討論對(duì)象的日益抽象，涉及面的日益廣泛，而愈來愈顯出它的迫切性，這時(shí)才能體會(huì)表示形式的變化是不可避免的。 形式化要求以語言為工具，按邏輯的規(guī)律，有意識(shí)地精確地表達(dá)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)含義，不容許混淆，也不容許矛盾。換句話說，數(shù)學(xué)需要有自己特定的語言，嚴(yán)密、精確、完整而且相容。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，語言表達(dá)的嚴(yán)密性日益增強(qiáng)，甚至像計(jì)算機(jī)語言似的向著符號(hào)邏輯的趨勢發(fā)展。但這種數(shù)學(xué)語言的發(fā)展顯然也不是絕對(duì)的，需要有個(gè)過程，這也就反映了數(shù)學(xué)有各種不同程度的形式化，在特定環(huán)境下，可以為特定的目的，構(gòu)造不同的形式化語言。 根據(jù)弗賴登塔爾的分析，我們認(rèn)為現(xiàn)代社會(huì)的數(shù)學(xué)教育，當(dāng)然不可能要求一下子飛躍到20世紀(jì)

6、數(shù)學(xué)發(fā)展的最前沿，以形式化的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，充塞于各種課程、教材之中。因?yàn)榻逃厝挥幸欢ǖ臏笮裕瑑和?、少年的生理、心理發(fā)展規(guī)律，也必須要求以直觀的具體的內(nèi)容作為抽象的形式的背景與基礎(chǔ)，可是最終應(yīng)該達(dá)到的目的是，使學(xué)生理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)這一以特定的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的形式體系。當(dāng)然這里有各種不同的要求，因而也要掌握不同層次的形式化，并且運(yùn)用著不同水平的數(shù)學(xué)語言。于是如何根據(jù)學(xué)生的情況，培養(yǎng)他們從現(xiàn)實(shí)背景中，概括出各種數(shù)學(xué)的觀念與運(yùn)算，熟練地使用各種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，有意識(shí)地占領(lǐng)并逐步建造起他們頭腦中的不同形式體系，這一形式化活動(dòng)的過程，就必須貫穿在數(shù)學(xué)教育的始終。 2數(shù)學(xué)概念的建設(shè)方法，從典型的通過外延描述的

7、抽象化，進(jìn)而轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)公理系統(tǒng)的抽象化，承認(rèn)隱含形式的定義，從而在現(xiàn)代科學(xué)方法論的道路上，邁開了決定性的一步。要是把康脫(Cantor)的集合論的創(chuàng)造，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開端，你就會(huì)看到建設(shè)概念的典范是通過“外延”來描述一個(gè)概念，即描述具有概念所反映的特性的對(duì)象全體，由此來了解并掌握這個(gè)概念；隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展，人們感到通過“外延”的描述，從而形成概念的印象這個(gè)方法，在不少情況下難以達(dá)到預(yù)定的目的；在更多的內(nèi)容中，人們借助于具有這些特性的所有對(duì)象，從各種特殊情況中，描述它們的共性，闡述它們所必須滿足的共有關(guān)系，解釋它們所受的相關(guān)的約束、限制條件等等，從而抽象出一個(gè)更廣泛、更一般的概念，這就是用公設(shè)或

8、者是公理方法建立的概念；它的實(shí)質(zhì)就是以隱含的方式描述了所要研究的對(duì)象，它并未明確指出概念的“外延”，但卻已經(jīng)規(guī)定了它必須滿足的條件，這就是以隱含的形式作了定義，跳出了亞里土多德的形式邏輯的理論，從而使現(xiàn)代數(shù)學(xué)跨上了更高水平的形式體系，就如以布爾巴基為代表的學(xué)說，認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)也只是對(duì)“結(jié)構(gòu)”的研究。 從整數(shù)的有序?qū)斫⒂欣頂?shù)，當(dāng)然需要附上一個(gè)等價(jià)關(guān)系：那就是的充分而又必要條件是adbc(這里a、b、c、d均為整數(shù)，bd0)，于是有理數(shù)就作為是有序整數(shù)對(duì)的等價(jià)類，這是典型的通過外延的描述來建立有理數(shù)的概念?？墒窃谌旱母拍钚纬芍校瑓s采取了另外的形式，通常是規(guī)定在某個(gè)集合中，定義了一個(gè)運(yùn)算，使之符合

9、結(jié)合律，并且存在單位元和逆元，于是這個(gè)集合就成為群。這樣的定義可以適用于數(shù)域，例如整數(shù)集是個(gè)加法群，非零有理數(shù)集是個(gè)乘法群；同時(shí)，也可以適用于其他的如置換群與變換群，這就是因?yàn)樵谌焊拍畹某橄蠡^程中，并未明確規(guī)定具有有關(guān)特性的對(duì)象，而只是隱含地闡述了它們所應(yīng)該具有的條件。這在希爾伯脫的幾何公理系建立過程中，已經(jīng)充分體現(xiàn)了這種方式，點(diǎn)、直線、平面究競是什么，雖然去掉了像歐幾里德所作的“點(diǎn)是沒有部分的”這類模糊的描述，但也并未給出任何清晰的闡述，卻只是隱含地描述了點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系與性質(zhì)，而正是這些關(guān)系與性質(zhì)，在演繹推理過程中起了實(shí)質(zhì)性的作用。日常生活中，我們也會(huì)有這種體會(huì)，就像下棋，人們并

10、不在乎棋子的大小、顏色、甚至質(zhì)地與形狀，注重的恰恰只是棋子所必須服從的活動(dòng)規(guī)則。 弗賴登塔爾之所以強(qiáng)調(diào)這一特性，正在于他抓住了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展在方法論上所起的突變。數(shù)學(xué)教育本身是個(gè)過程，它不僅是傳授知識(shí)，更重要的是在教學(xué)過程中，讓學(xué)生自己親身實(shí)踐，而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會(huì)抽象化、形式化的方法。就我國的數(shù)學(xué)教育而言，近年來已開始注意一些現(xiàn)代“結(jié)構(gòu)”、“公理化”思想方法的滲透，但如何抓住其精萃，真正的“滲透”，并且又不至太脫離了具體的現(xiàn)實(shí)世界，超越了當(dāng)前教育的實(shí)踐基礎(chǔ)；要使我們的數(shù)學(xué)教育腳踏實(shí)地地趕上世界潮流，而不僅是囫圇棗地咽下一些新名詞，何況這些數(shù)學(xué)“公理”、數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)”，畢竟還需要人們所賴以生存

11、的現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界作為基礎(chǔ)，如果忘記了這個(gè)背景，再高深、再嚴(yán)密的抽象概念，也難以讓人們掌握與領(lǐng)會(huì)。 3傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間界限的月趨消失，一貫奉為嚴(yán)密性的典范的幾何，表面上看來似乎已經(jīng)喪失了昔日的地位，實(shí)質(zhì)上正是幾何直觀在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間起著聯(lián)絡(luò)的作用；正如康德(Kant)所說：沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的。當(dāng)年歐幾里德的幾何原本曾被奉若神明，可是今天，在布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)中，幾何卻占據(jù)了很少的篇幅，學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，幾何的地位也已岌岌可危，可實(shí)際情況又是怎么樣呢? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化形式就是來源于希爾伯脫的幾何公理系，幾何的術(shù)語如“空間”、“維”、“鄰域”、“映射”、等幾乎滲

12、入了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域復(fù)函數(shù)理論的發(fā)展，基礎(chǔ)在于復(fù)數(shù)表示為平面的點(diǎn)；代數(shù)方程xn1的意義之闡明，與復(fù)數(shù)平面中正n邊形的作法密切相關(guān)；集合論的研究更充分顯現(xiàn)出幾何直觀的數(shù)軸、點(diǎn)集、映射、等，如何作為一種重要的組織方法；測度論是在幾何面積概念的基礎(chǔ)上形成的，而拓?fù)渲凶钣辛Φ拇鷶?shù)方法恰是開始于最基本的形狀多面體的直觀研究。 大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和問題，都有著一定的幾何背景，有關(guān)問題的解決，也常常依賴于頭腦中能否出現(xiàn)清晰的n維空間甚至無限維空間的直觀形象，或是找到適當(dāng)?shù)膸缀谓忉專瑤缀涡蜗蟪３?dǎo)致問題解答的途徑。且看愛因斯坦的一段精辟論述：“數(shù)學(xué)定理一涉及現(xiàn)實(shí)，它就不是必然的，而數(shù)學(xué)定理如果必然，它就不涉及

13、現(xiàn)實(shí)，公理化的進(jìn)展就反映在邏輯形式與現(xiàn)實(shí)直觀內(nèi)容的截然分開，”而幾何恰恰是在其間起著啟示、聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趨消失的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的問題、概念與方法的廣闊沙漠中，幾何直觀卻常?？梢蕴崾疚覀儯任覀?，并告訴我們什么是重要的、有趣的和可以理解的。 從現(xiàn)代數(shù)學(xué)反映出的這一特性，給我們提出了兩個(gè)方面的問題。多少年來數(shù)學(xué)課程的設(shè)置常在“分久必合，合久必分”的一對(duì)“分”“合”矛盾之間周旋，算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、微積分、這一系列的學(xué)科，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展史中各個(gè)不同階段；不同側(cè)面的情況，它們自有其各自的特點(diǎn)與規(guī)律；再結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律與認(rèn)知過程，更需根據(jù)教學(xué)的規(guī)律來作出課程的設(shè)計(jì)，在不同

14、時(shí)期側(cè)重于不同方面是完全應(yīng)該的；但總的目標(biāo)是顯然的，即使分也不能一分到底，完全分家，總還應(yīng)該將數(shù)學(xué)視作為一個(gè)整體；當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)這個(gè)工具以解決問題時(shí)，就必須善于綜合地應(yīng)用代數(shù)、幾何、三角、等各種方法，應(yīng)該使之互相滲透，互相結(jié)合，從中找出最佳的組合，而不是互相割裂，生搬硬套。 另一個(gè)問題則是對(duì)于幾何教育在數(shù)學(xué)教育中的地位、作用問題，這同樣是多年來爭論不休，各不相讓的問題，叫了多少年的“歐幾里德滾出去”的口號(hào)，可是仍有不少人認(rèn)為，任何數(shù)學(xué)問題。最終還是需要建立在幾何的基礎(chǔ)上，這個(gè)話從現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特性分析，似乎也有它一定的道理。當(dāng)然幾何究竟應(yīng)該處于怎樣一個(gè)恰當(dāng)?shù)牡匚?，它在?shù)學(xué)體系的教學(xué)中，可以起什

15、么樣的作用，到底怎樣才能使幾何直觀或是公理化思想，在人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，生根開花，充分發(fā)揮它的效用，這自然也是研究數(shù)學(xué)教育所必須面對(duì)的重要問題。 4相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中對(duì)算法數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)更重視概念數(shù)學(xué)，或者說是思辨數(shù)學(xué)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中開始了現(xiàn)代化進(jìn)程的主要標(biāo)志集合論、抽象代數(shù)和分析、拓?fù)涞榷际歉拍睿急娴膰姲l(fā)，它沖破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的僵化外殼，但是每個(gè)概念的革新，都包含著自身的算法萌芽，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的道路。算法數(shù)學(xué)與思辯數(shù)學(xué)之間是一個(gè)相對(duì)的、辯證的關(guān)系，這并不等同于新與舊，高與低；概念數(shù)學(xué)果然體現(xiàn)了機(jī)械操作運(yùn)算的突破，提高了理論的深度；而算法數(shù)學(xué)則意味著鞏固，因?yàn)樗峁┝思夹g(shù)方法，可以探索

16、更進(jìn)一步的概念深度，同時(shí)也為了有個(gè)廣闊的平臺(tái)為基礎(chǔ)，可以跳導(dǎo)更高。 一個(gè)典型的例子，相同數(shù)量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒內(nèi)，試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反?通常的解法是：假設(shè)兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b,則第一次動(dòng)作后，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動(dòng)作后，不少人會(huì)在計(jì)算過程中擱淺、碰壁。在解此題時(shí)，很少人會(huì)作這樣的推理：兩個(gè)杯子最終還是含有相同數(shù)量的酒，如果想象每個(gè)杯子中白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)，這樣就可以馬上得出結(jié)論：白酒杯中所含

17、紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量應(yīng)該是一樣多。這里的前一種解法是算法的，而后一種解法就是思辨的。 在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，算法曾經(jīng)發(fā)揮了極大的威力。韋達(dá)(Vieta)的代數(shù)，笛卡爾的解析幾何，萊布尼茲的微積分，都是這方面的出色成果，近年來的同調(diào)論以及同態(tài)圖解法也是驚人的例子，算法數(shù)學(xué)確實(shí)有其迷人之處，通過算法的操作往往可以增加人們的自信與能力。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，當(dāng)然也反映了沉迷于算法之中，會(huì)使人們的思想受到束縛與桎梏，必須跳出這個(gè)圈子，才能在數(shù)學(xué)的視野范圍上有所拓廣、有所深入，墨守成規(guī)地機(jī)械操作，必須隨之以概念的革新，思維的組織，形成新的結(jié)構(gòu)與新的體系。集合論的誕生，公理系統(tǒng)的建立，布爾巴基學(xué)派的出現(xiàn)

18、，又證明了這一點(diǎn)。 如何根據(jù)算法的數(shù)學(xué)與思辨的數(shù)學(xué)這一辯證關(guān)系，來組織我們的數(shù)學(xué)教育，也是經(jīng)常使人感到困惑的問題之一。其實(shí)這個(gè)問題，就是知識(shí)與技能的關(guān)系，是強(qiáng)調(diào)概念，強(qiáng)調(diào)理解，還是著重運(yùn)算，著重操作?有人認(rèn)為理解是基礎(chǔ)，有人又主張熟能生巧。在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，似乎也不乏這方面的頗具說服力的例子，算術(shù)中的九九表，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算；國外對(duì)于計(jì)算器使用的教育等，看來也必須用辯證的方法來處理這一辯證的關(guān)系，應(yīng)該使我們的數(shù)學(xué)教育，能在算法的數(shù)學(xué)與思辨的數(shù)學(xué)兩方面，都給學(xué)生以足夠的訓(xùn)練與培養(yǎng)，更重要的還在于，要使學(xué)生能夠靈活地綜合地運(yùn)用于實(shí)踐之中。第二節(jié) 關(guān)于數(shù)學(xué)教育目的的探討 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟是為了什么?進(jìn)

19、行數(shù)學(xué)教育，最終要達(dá)到什么效果?弗賴登塔爾認(rèn)為，提出數(shù)學(xué)教育的目的，必須考慮到社會(huì)背景。事實(shí)很清楚，數(shù)學(xué)教育的目的必須隨著時(shí)代的變化而變化，它也必然受到社會(huì)條件的約束與限制。例如，當(dāng)前已經(jīng)進(jìn)入了計(jì)算機(jī)時(shí)代，我們是否還要將算術(shù)的單純計(jì)算技能作為基本的目的?這是否還有教育價(jià)值? 另一方面，在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)取得迅速進(jìn)展的情況下，我們的數(shù)學(xué)教育是否還能閉眼不看這一事實(shí)，而仍然抱住了確定性數(shù)學(xué)作為唯一的指望?那就是說，數(shù)學(xué)本身的飛躍發(fā)展與變化，自然也影響到數(shù)學(xué)教育的目的，因?yàn)槲覀儺吘故且寣W(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)來解決社會(huì)的實(shí)際問題?？墒牵瑪?shù)學(xué)有著如此廣泛的應(yīng)用，究竟教到哪個(gè)范圍才是最合適的? 再一個(gè)問題就是學(xué)生

20、的情況，因?yàn)樾枰且粫?huì)事，可能又是另一會(huì)事，這依賴于學(xué)生的接受能力，是否能理解某些數(shù)學(xué)內(nèi)容，當(dāng)然這也必須包括教學(xué)過程中所作出的各種努力；就像有些試驗(yàn)聲稱小學(xué)就可以教群論，這恐怕是一種過于夸張的說法，如果僅僅是用幾個(gè)特殊的群進(jìn)行一些具體運(yùn)算，恐伯只是行家才知道他們?cè)趯W(xué)習(xí)群論，對(duì)學(xué)生來說，這只是一些有用的學(xué)習(xí)活動(dòng)，但并未理解它的真正實(shí)質(zhì)。 弗賴登塔爾對(duì)通常提到的一些數(shù)學(xué)教育的目的，進(jìn)行了仔細(xì)的分析與探討： 1掌握數(shù)學(xué)的整個(gè)體系 因?yàn)閿?shù)學(xué)的應(yīng)用廣泛，又有高度的靈活性，每個(gè)人將來究竟需要用到哪些概念和技能，難以預(yù)料，于是只能根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的體系出發(fā)，希望通過數(shù)學(xué)教育能夠掌握數(shù)學(xué)的整個(gè)結(jié)構(gòu)，所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容

21、必須符合數(shù)學(xué)體系的要求，能夠緊密地組合成一個(gè)整體，彼此聯(lián)系密切。 這里必須注意的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)教育的目的絕對(duì)不是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，大多數(shù)人只需要用到一些簡單的數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)已經(jīng)成人類生存所不可缺少的一個(gè)方面，這就是一般的數(shù)學(xué)教育的目的。所以如果過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)體系，以之作為數(shù)學(xué)教育的最終目的，那不恰當(dāng)?shù)?，特別是如果僅僅以數(shù)學(xué)體系來決定教學(xué)內(nèi)容的取舍，那必然會(huì)違反教學(xué)法的規(guī)律；甚至引起學(xué)生反感。 這種目的的提出，一般都出自于專家權(quán)威，他們更多地傾向于培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，更多地著眼于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密與完整，強(qiáng)調(diào)追求數(shù)學(xué)的美與魅力，但卻往往忽略了社會(huì)的要求與學(xué)生的實(shí)際。 2學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用 應(yīng)該知道，從過去、現(xiàn)在一直到

22、未來，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的，認(rèn)真考慮數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育的首要目的,也就是必須學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)于具體現(xiàn)實(shí)，而不是一味追求完整的數(shù)學(xué)體系。 大家都同意，教數(shù)學(xué)就必須教互相連貫的材料，而不是孤立的片斷，但這并非只限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，恐怕更重要的是數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系。當(dāng)然這也不是把數(shù)學(xué)與某種特定的應(yīng)用捆綁在一起、那樣會(huì)使數(shù)學(xué)僵化，而數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是靈活性。所以一般說來,還是先考慮內(nèi)部的聯(lián)系，但卻不是勉強(qiáng)生硬的或是過于形式的，應(yīng)該在現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，自然地形成這種內(nèi)部與外部的聯(lián)系，譬如說通過數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的生

23、動(dòng)聯(lián)系，目前物理、化學(xué)的教學(xué)與數(shù)學(xué)的教學(xué)顯然是互相割裂、各行其是的，尤其在教師培訓(xùn)工作中，問題更為嚴(yán)重。 了解數(shù)學(xué)與外界的豐富聯(lián)系，不僅使數(shù)學(xué)成為應(yīng)用于實(shí)際的銳利工具，而且將會(huì)使人們所掌握的知識(shí)長期地富有活力，可以斷地聯(lián)系實(shí)際、發(fā)揮作用，而不是將數(shù)學(xué)成為供奉于殿堂之上、脫離現(xiàn)實(shí)而保持其神圣不對(duì)侵犯的演繹體系形式，這是完全不符合當(dāng)前社會(huì)的迫切需要的。 3數(shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練 自古以來就將數(shù)學(xué)作為“智力的磨刀石”，認(rèn)為對(duì)所有的人而言，數(shù)學(xué)都是一種不可缺少的思維訓(xùn)練，甚至還強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練人們的邏輯思維。從18世紀(jì)拿破侖的軍事勝利，到20世紀(jì)蘇聯(lián)的衛(wèi)星上天，似乎都證明了這個(gè)結(jié)論。 嚴(yán)格說來，究竟什么是

24、邏輯思維?是否存在思維的訓(xùn)練?數(shù)學(xué)又是否是其中的一種?甚至是最好的一種?這些都是很難回答的問題。因?yàn)闊o人能證明，一個(gè)好的數(shù)學(xué)家在其他科學(xué)領(lǐng)域中也必然會(huì)有很高的成就，也不知道數(shù)學(xué)天才是否是一般天才所必須具備的特征；同樣也無法使人相信，數(shù)學(xué)家的超人智力完全是由數(shù)學(xué)所決定的，因?yàn)檎l也不知道，如果數(shù)學(xué)家不學(xué)數(shù)學(xué)而去學(xué)其他東西，又會(huì)有什么樣的結(jié)果。 弗賴登塔爾多次給大學(xué)數(shù)學(xué)、物理系一、二年級(jí)的學(xué)生以及中學(xué)生提出以下問題： (1)詩人中最偉大的畫家與畫家中最偉大的詩人，是否同一個(gè)人? (2)詩人中最老的畫家與畫家中最老的詩人，是否同一個(gè)人? (3)如果詩人中只有一個(gè)畫家，那么畫家中是否只有一個(gè)詩人，他們是

25、否同一個(gè)人? (4)二個(gè)小鎮(zhèn)上有許多房子，房子里有許多桌子，對(duì)任意n1，2，3，下列斷言成立：如果一座房子中有n條腿的桌子，那里就沒有多于n條腿的桌子問以下命題是否成立?對(duì)nl，2，3，如果一座房子中有n條腿的桌子，那里就沒有少于n條腿的桌子 (5)一個(gè)籃子里有各種不同顏色和不同形狀的物體，試問籃子里是否一定有兩件物體，它們的顏色和形狀都不相同? 試驗(yàn)結(jié)果的事實(shí)證明，受過數(shù)學(xué)教育以后，對(duì)上述問題的看法、理解與回答，都有很大長進(jìn)，可見，數(shù)學(xué)教育與邏輯思維還是有著一定的聯(lián)系。問題在于，如何找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系以及內(nèi)在規(guī)律，這也許需要從心理學(xué)、認(rèn)識(shí)論的角度，對(duì)此作更進(jìn)一步的探討。 4數(shù)學(xué)作為篩選的

26、工具 長久以來，在各種領(lǐng)域內(nèi)，都將數(shù)學(xué)作為一種選擇方法，不僅是科學(xué)、技術(shù)、醫(yī)學(xué)的學(xué)生，要通過這個(gè)考驗(yàn)，甚至對(duì)大多數(shù)人文學(xué)科的學(xué)生，也有一定的數(shù)學(xué)要求；于是數(shù)學(xué)教育的目的，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上挑選學(xué)生，因?yàn)槿藗冋J(rèn)為數(shù)學(xué)適宜于作為一種方法，以測定學(xué)生的智力與才能，它比其他學(xué)科，甚至比智力測驗(yàn)更可信，更容易使用。 同樣的問題存在著。每個(gè)教師都堅(jiān)信：誰的數(shù)學(xué)學(xué)得好，那他在其他領(lǐng)域中通常也學(xué)得好；事實(shí)是誰也不知道，如果他從未學(xué)過數(shù)學(xué)，是否其他領(lǐng)域就一定學(xué)不好。這和前面提到的數(shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練，遇到了同樣的困難。 特別成問題的是，這種篩選工具的作用，進(jìn)一步又發(fā)展成為數(shù)學(xué)教育的目的似乎就是為了考試，還不僅

27、是數(shù)學(xué)，其他科目也處在同樣的危險(xiǎn)之中，那就是為了考試而教學(xué)。社會(huì)本有各種不同的需要，也有各種不同的層次，人們必須通過形形色色的入場考試，即使社會(huì)差異會(huì)逐漸消失，但社會(huì)總是要對(duì)它的成員進(jìn)行各種挑選，以保證合理的社會(huì)分工，因此篩選工具是必須的，考試也是必要的，但如果說學(xué)生學(xué)習(xí)只是為了一個(gè)分?jǐn)?shù)，而教師的職責(zé)也只是在給分寬嚴(yán)之間進(jìn)行一個(gè)最佳選擇，那就與數(shù)學(xué)教育的目的相距太遠(yuǎn)了。 5培養(yǎng)解決問題的能力 人們往往對(duì)數(shù)學(xué)給以高度評(píng)價(jià)，因?yàn)樗梢越鉀Q許多問題，從日常生活中常常遇見的數(shù)值計(jì)算，各種神秘的魔術(shù)與游戲，一直到高精尖的領(lǐng)域，從計(jì)算機(jī)直到火箭發(fā)射，都可以發(fā)揮與施展數(shù)學(xué)的魔力，因而使人對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極高的信

28、念。數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練語言的表達(dá)，以最精確、簡潔的語言來描述現(xiàn)象，數(shù)學(xué)可以使問題簡化，又能將問題推廣，使之一般化，這樣數(shù)學(xué)就從多個(gè)側(cè)面，給人們提供了解決各種問題的手段、背景，以至思維的方法，這就為綜合地分析各種因素，順利地解決各種實(shí)際問題，創(chuàng)造了條件，培養(yǎng)了能力。 當(dāng)然需要考慮數(shù)學(xué)教育究竟能夠培養(yǎng)哪些能力，人們解決問題所需要的不僅是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)，也許更重要的是人們的思想方法，分析、綜合、推理、否定以及演繹、歸納、類比等等，似乎都與數(shù)學(xué)有著天然緊密的聯(lián)系,數(shù)學(xué)究竟能否在這些方法上起巨大的影響?另一方面,問題有著多方面背景,包括各種所謂非智力因素,數(shù)學(xué)教育能否在這些方面,提供綜合的幫助,而使學(xué)生確實(shí)通

29、過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),能夠在解決問題的能力這方面獲得培養(yǎng)與提高。 根據(jù)以上的探討，結(jié)合我國的實(shí)際情況，這幾個(gè)方面的目的都有它的道理，也應(yīng)該作為我國數(shù)學(xué)教育的目的，只是隨著義務(wù)制教育的普及，根據(jù)各個(gè)不同的年齡階段，是否可以在各個(gè)方面，有不同的側(cè)重點(diǎn)，譬如對(duì)義務(wù)教育制來說，應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)槟鞘侨鐣?huì)公民必備的訓(xùn)練，社會(huì)價(jià)值需突出；對(duì)于高中準(zhǔn)備繼續(xù)升入大學(xué)的，應(yīng)該加強(qiáng)一些對(duì)數(shù)學(xué)整個(gè)體系的要求，在知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)、演繹推理方面適當(dāng)加強(qiáng)；關(guān)于思維訓(xùn)練及解決問題的能力這兩方面，必須作深入探討，掌握其確切規(guī)律，才能做到這些；至于數(shù)學(xué)作為篩選工具的這一職能，不應(yīng)放在過高的地位，為了考試而學(xué)數(shù)學(xué)，那就違背數(shù)學(xué)教

30、育的本意了。第三節(jié) 關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)原則的設(shè)想 弗賴登塔爾回顧了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，研究了數(shù)學(xué)的特性，特別是數(shù)學(xué)的嚴(yán)密演繹理論對(duì)經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)作用，理性與觀察的結(jié)合關(guān)系，為了使人們更透徹、更合乎邏輯地分析自然，從而促使在極端理論與極端實(shí)際的數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間，實(shí)現(xiàn)一個(gè)連續(xù)的過渡，他努力探索著數(shù)學(xué)教育的途徑、內(nèi)容與方法。 弗賴登塔爾認(rèn)為，人類歷史必然是一個(gè)前進(jìn)的歷史，只有突破了、對(duì)傳統(tǒng)、對(duì)權(quán)威的迷信，才能充分發(fā)揮科學(xué)的創(chuàng)造性；科學(xué)是一種活動(dòng)，科學(xué)不是教出來的，也不是學(xué)出來的，科學(xué)是靠研究出來的；因而學(xué)校的教學(xué)必須由被動(dòng)地學(xué)轉(zhuǎn)為主動(dòng)地獲得，學(xué)生應(yīng)該成為教師的合作者，通過自身的實(shí)踐活動(dòng)來主動(dòng)獲取知識(shí)。 這樣，教育的任

31、務(wù)，首先就應(yīng)當(dāng)為青年創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓他們充滿信心，在自身活動(dòng)的過程中，繼承傳統(tǒng)，學(xué)習(xí)科學(xué)，獲得知識(shí)；另一方面，由于社會(huì)在不斷前進(jìn)，人們就必須不斷學(xué)習(xí)。因此，教育中更重要的一個(gè)問題，并不是教的內(nèi)容；而是如何掌握與操縱這些內(nèi)容，換句話說，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)掌握方法，那是更根本的東西。 根據(jù)這些考慮，弗氏從數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)出發(fā)，提出了下列幾個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的原則： 1“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則 數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)；這是弗賴登塔爾的基本出發(fā)點(diǎn)，也是我們歷來提倡的基本思想；確實(shí)，數(shù)學(xué)不是符號(hào)的游戲，而是現(xiàn)實(shí)世界中人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，無論是數(shù)學(xué)的概念，還是數(shù)學(xué)的運(yùn)算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實(shí)世

32、界的實(shí)際需要而形成的。數(shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富多采而又錯(cuò)綜復(fù)雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。 另一方面，弗氏也認(rèn)為數(shù)學(xué)是充滿了各種關(guān)系的科學(xué)，通過與不同領(lǐng)域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地充實(shí)和豐富著數(shù)學(xué)的內(nèi)容；與此同時(shí)，由于數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系，形成了自身獨(dú)特的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)展成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系。因此，數(shù)學(xué)教育又應(yīng)該給予學(xué)生數(shù)學(xué)的整個(gè)體系充滿著各種各樣內(nèi)在聯(lián)系與外部關(guān)系的整體結(jié)構(gòu)。 弗氏的另一個(gè)基本主張是：數(shù)學(xué)應(yīng)該是屬于所有人的，我們必須將數(shù)學(xué)教給所有人。這是很重要的，在我國這一想法還未能被普遍接受，實(shí)際上，對(duì)于少數(shù)數(shù)學(xué)家來說，抽象的形式體系，嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，以及涉及內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)

33、律，也許是最為本質(zhì)、最為完美也是最感興趣的東西。可是對(duì)于大多數(shù)人而言，掌握數(shù)學(xué)與外部世界的密切關(guān)系，從而獲得適應(yīng)于當(dāng)前社會(huì)的生存與生活，并進(jìn)而能夠改革社會(huì)促使其進(jìn)一步發(fā)展的能力，將是更為重要的。為此，弗賴登塔爾堅(jiān)持主張：數(shù)學(xué)教育體系的內(nèi)容應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)，即“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”。如果過于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象形式，忽視了生動(dòng)的具體模型，過于集中于內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實(shí)的密切關(guān)系，那必然會(huì)給數(shù)學(xué)教育帶來極大的損害。70年代“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)的失敗就是個(gè)明證。 如何理解“現(xiàn)實(shí)”?不同的社會(huì)需要是否就是“現(xiàn)實(shí)”?將“現(xiàn)實(shí)”等同于實(shí)際的社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)，這是一種片面的理解。

34、根據(jù)英國的Cockcmft報(bào)告，他們?cè)谶M(jìn)行了比較廣泛的調(diào)查、分析了一些比較實(shí)際的資料之后提出，人們所需要的數(shù)學(xué)可以分為三種水平。 第一種是日常生活的需要，從個(gè)人消費(fèi)、家庭開支到國家建設(shè)，處處都要涉及各種數(shù)字、圖表、測量等問題，這些大多是比較簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻是每個(gè)人都必須知道的。 第二種是不同的技術(shù)或者說是各種職業(yè)的需要，從工程技術(shù)人員、農(nóng)業(yè)技師到各行業(yè)的服務(wù)人員，在相當(dāng)廣泛的不同領(lǐng)域內(nèi)，從事各種不同性質(zhì)工作的人，從各個(gè)不同方向，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)提出了種種要求，當(dāng)然其中也含有某些共同部分。 第三種是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)并從事高水平研究工作的需要，包括范圍很大，差別也很大，未來的科學(xué)家、企業(yè)家、管理學(xué)家等，

35、都需要與各個(gè)領(lǐng)域相關(guān)的不同分支的數(shù)學(xué)知識(shí)，他們需要共同的基礎(chǔ)及類似的數(shù)學(xué)思想方法，但卻涉及到千變?nèi)f化的具體內(nèi)容。 數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為所有的人服務(wù)，應(yīng)該滿足全社會(huì)各種領(lǐng)域的人對(duì)數(shù)學(xué)的不同水平的需求。數(shù)學(xué)教育應(yīng)為不同的人提供不同的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，從而為每個(gè)人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)所必需的數(shù)學(xué)態(tài)勢，使其能順利地處理有關(guān)的各種數(shù)學(xué)問題。為此，弗賴登塔爾的一個(gè)基本結(jié)論是：每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。這就是說，每個(gè)人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。從這個(gè)意義上說，所謂“現(xiàn)實(shí)”不一定限于具體的事物，作為屬于這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)

36、學(xué)本身，也是“現(xiàn)實(shí)”的一部分，或者可以說，每個(gè)人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。大多數(shù)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)世界可能只限于數(shù)和簡單的幾何形狀以及它們的運(yùn)算，另一些人可能需要熟悉某些簡單的函數(shù)與比較復(fù)雜的幾何，至于一個(gè)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)可能就要包含Hilbert空間的算，子、拓?fù)鋵W(xué)以及纖維叢等等。 數(shù)學(xué)教育的任務(wù)就在于，隨著學(xué)生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應(yīng)該確定各類學(xué)生在不同階段必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，并且根據(jù)學(xué)生所實(shí)際擁有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，采取相應(yīng)的方法予以豐富，予以擴(kuò)展，從而使學(xué)生逐步提高所具有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的程度并擴(kuò)充其范圍。通過這樣的過程，數(shù)學(xué)教育將隨著不斷地?cái)U(kuò)展的現(xiàn)實(shí)發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)教育本

37、身又促使了現(xiàn)實(shí)的擴(kuò)展，正象數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的辯證關(guān)系一樣，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)該符合這樣的規(guī)律。 一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數(shù)的變化引入整數(shù)的加減法，并找出運(yùn)算規(guī)律；借助學(xué)生上學(xué)乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進(jìn)一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關(guān)性質(zhì)；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤計(jì)算，引進(jìn)矩陣的乘法概念，以及它的運(yùn)算法則；以及根據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進(jìn)到更有規(guī)律的正弦函數(shù)及其性質(zhì)；或者從物質(zhì)的生長率引進(jìn)指數(shù)函數(shù)概念，從而導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)等。 由于人們對(duì)數(shù)學(xué)需求不盡相同，各人在不同階段又有

38、特定的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，弗賴登塔爾認(rèn)為，在現(xiàn)實(shí)背景材料的使用上有下述三種不同的水平： 第一級(jí)是在實(shí)際問題中直接包含著有關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實(shí)際問題求得相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。在這里，具體的現(xiàn)實(shí)問題起著核心作用。 第二級(jí)是提出了某個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，希望學(xué)生能夠找出與之有關(guān)的數(shù)學(xué)，加以組織，建立結(jié)構(gòu)，從而解決問題。這里需要運(yùn)用數(shù)學(xué)作為工具來組織現(xiàn)實(shí)問題并予以解決，因而具體的實(shí)際問題是起著實(shí)質(zhì)性的作用。 第三級(jí)則是指出某個(gè)數(shù)學(xué)概念或是描述了某個(gè)數(shù)學(xué)過程的特征，由此引進(jìn)新的數(shù)學(xué)概念或是構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型，在這兒所提供的現(xiàn)實(shí)背景材料已經(jīng)從通常的具體客觀世界中抽象出來。 綜上所述，弗賴登塔爾提的“數(shù)學(xué)

39、現(xiàn)實(shí)”原則，和我們通常所說的理論聯(lián)系實(shí)際有原則的區(qū)別，有其獨(dú)特的含義和理論深度，值得我們借鑒。 首先，弗氏所說的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，是客觀現(xiàn)實(shí)與人的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的統(tǒng)一體，并非先有了一個(gè)”理論”，然后去聯(lián)系一下“實(shí)際”，也不是從具體例子引入，然后做幾個(gè)應(yīng)用題就算完事。所謂“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”乃是人們用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)的總體，其中既含有客觀世界的現(xiàn)實(shí)情況，也包括學(xué)生個(gè)人用自己的數(shù)學(xué)水平觀察這些事物所獲得的認(rèn)識(shí)。我們習(xí)慣于把課本上的知識(shí)籠統(tǒng)稱為“理論”，而把“實(shí)際”狹隘地理解為“生產(chǎn)實(shí)際”，其實(shí)是不妥當(dāng)?shù)摹?其次，弗氏認(rèn)為“每個(gè)人都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，這十分重要，這也許和我們常說的“從學(xué)生實(shí)際出發(fā)”

40、差不多，數(shù)學(xué)教育當(dāng)然要根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”來進(jìn)行。學(xué)生的“實(shí)際”知識(shí)有多少?學(xué)生的“數(shù)學(xué)水平”有多高?學(xué)生的“日常生活常識(shí)”有多廣?這些都是教師面對(duì)的“現(xiàn)實(shí)”，如果我們簡單地將“課本上定理”和“應(yīng)用題”聯(lián)系起來，那樣的教學(xué)未免太狹隘。例如，在荷蘭教材中，講函數(shù)概念并不從映射出發(fā)，用雙射、單射把學(xué)生弄得暈頭轉(zhuǎn)向，而是化許多時(shí)間用于制作圖表、畫函數(shù)圖象，用距離(s)與時(shí)間(t)的關(guān)系圖表示一個(gè)學(xué)生走路、等車、乘車、半路回家等等日常生活實(shí)際，每個(gè)學(xué)生都可根據(jù)自己上學(xué)的情形來畫草圖，定函數(shù)。 再次，弗氏主張客觀現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)彼此溶為一體，你中有我，我中有你，密切不可分；我們的傳統(tǒng)觀念是以理

41、論知識(shí)的邏輯展開為唯一線索，有些地方“聯(lián)系”一下“實(shí)際”，這種聯(lián)系往往是“節(jié)外生枝”式的，不被重視，頂多搞成一條“美麗的尾巴”，核心還是“理論第一，這當(dāng)然和考試制度有關(guān)，但也不能不說和教育思想的陳舊有關(guān)。弗氏的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則，主張把客觀現(xiàn)實(shí)和知識(shí)體系溶為一體，教學(xué)過程應(yīng)該經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的全過程，著眼于能力。 2“數(shù)學(xué)化”原則 弗賴登塔爾的名言是：與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)；還不組說是學(xué)習(xí)“公理化”；與其說是學(xué)習(xí)形式體系。還不如說是學(xué)習(xí)“形式化”這是頗有見地的。他認(rèn)為：人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這

42、個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化。 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，人們從手指或石塊的集合形成數(shù)的概念，從測量、繪畫形成圖形的概念，這是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)家從具體的置換群與幾何變換群抽象出群的一般概念，這也是數(shù)學(xué)化。 數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，作為充滿著各種各樣內(nèi)在聯(lián)系與外部關(guān)系的整體結(jié)構(gòu)，它并非一個(gè)僵硬的、靜止的骨架，它是在與現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域的密切聯(lián)系過程中發(fā)生、形成并發(fā)展起來的。就象線性函數(shù)起始于自然和社會(huì)中的比例關(guān)系，數(shù)量積開始于力學(xué)，以及導(dǎo)數(shù)開始于速度、密度、加速度等，可以這么說，整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成就是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)的傳統(tǒng)，要按照歷史的本來

43、面目，根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律來進(jìn)行。當(dāng)兒童通過模仿學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)時(shí)，當(dāng)他們把兩組具體對(duì)象的集合放在一起而引出加法規(guī)律時(shí)，這實(shí)質(zhì)上是歷史上現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化過程的再現(xiàn)，我們當(dāng)然沒有必要也沒有可能將數(shù)學(xué)教育變成歷史發(fā)展過程的機(jī)械重復(fù)，但確實(shí)必須也可以從中獲得很好的借鑒。事實(shí)證明，只有將數(shù)學(xué)與它有關(guān)的現(xiàn)實(shí)世界背景密切聯(lián)結(jié)在一起，也就是說只有通過“數(shù)學(xué)化”的途徑來進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，才能使學(xué)生真正獲得充滿著關(guān)系的、富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)，使他們不僅理解這些知識(shí)，而且能夠應(yīng)用。 前已指出：每個(gè)人都有不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)世界，因此數(shù)學(xué)化有不同的層次，關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)化的關(guān)系以及它的不同水平的特點(diǎn)，荷蘭的數(shù)學(xué)試驗(yàn)教材以上頁框圖體現(xiàn)這

44、一總體結(jié)構(gòu)。 首先，現(xiàn)實(shí)世界自始至終貫串在數(shù)學(xué)化之中，我們常把由現(xiàn)實(shí)世界直接形成數(shù)學(xué)概念的過程稱為“概念性的數(shù)學(xué)化”，它往往隨著不同的認(rèn)知水平而逐漸得到提高；與此同時(shí)，對(duì)這個(gè)概念的形成過程進(jìn)行反思，作更為抽象與形式的加工，再將它用來解決現(xiàn)實(shí)世界的問題；通過現(xiàn)實(shí)世界的調(diào)節(jié)作用，而使數(shù)學(xué)化得到進(jìn)一步的發(fā)展與演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于組織更高一層的現(xiàn)實(shí)世界，并產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念。現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)化就是這樣，通過兩者交融在一起，不斷地相互反饋信息，促使數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)化繼續(xù)不斷地發(fā)展與提高，這就是數(shù)學(xué)科學(xué)不斷發(fā)展的動(dòng)力，而這也同樣應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的動(dòng)力。 其次，反思是數(shù)學(xué)化過程中的一種

45、重要活動(dòng)。它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力。數(shù)學(xué)的不少發(fā)現(xiàn)來自于直覺，而分析直覺理解的原因是通向數(shù)學(xué)化的道路必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，對(duì)自己的判斷與活動(dòng)甚至語言表達(dá)進(jìn)行思考并加以證實(shí)，以便有意識(shí)地了解自身行為后面潛藏的實(shí)質(zhì)，只有這樣的數(shù)學(xué)教育以反思為核心才能使學(xué)生真正深入到數(shù)學(xué)化過程之中，也才能真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在實(shí)質(zhì)。 現(xiàn)代化數(shù)學(xué)往往借助數(shù)學(xué)方法來為各種錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這當(dāng)然是一種數(shù)學(xué)化，作為數(shù)學(xué)教師誰都不會(huì)滿足于將各種現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，硬灌給學(xué)生，去塞滿學(xué)生的腦袋；人們希望的是學(xué)生會(huì)運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)來為具體問題建造新的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該說，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)就在于使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”。 弗賴

46、登塔爾關(guān)于“數(shù)學(xué)化”的論述，可以說把我們通常所說的“數(shù)學(xué)抽象性”、“實(shí)踐理論實(shí)踐”的一般公式更為具體化了。作為一位有成就的數(shù)學(xué)家，他用自己的幾十年數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)筑了人們形成數(shù)學(xué)概念、擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際過程，值得我們參照學(xué)習(xí)，以下我們來具體地論述兩種常見的“數(shù)學(xué)化”過程：公理化和形式化。 人們?cè)陂L期的實(shí)踐中，將直觀樸素的各種幾何命題加以組織、整理、加工，形成歐幾里德公理系統(tǒng)，這一通常稱為公理化的過程，也是一種數(shù)學(xué)化。近年來數(shù)學(xué)發(fā)展的重要特征之一，就是公理化思想廣泛地滲入各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。例如從置換群與幾何變換群形成一般群的公理系統(tǒng)，從實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域建立起一般域的公理系統(tǒng)等等。我們的數(shù)學(xué)教育自然不能

47、停留在讓學(xué)生的頭腦成為形形色色公理系的倉庫，更重要的任務(wù)是必須教會(huì)學(xué)生能運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)思維，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行加工、整理，從而獨(dú)立地建立起一個(gè)公理體系來。也就是說，必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)公理化。 如果說公理系統(tǒng)是通過公理化的方法重新組織數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)果，那么作為數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)之一的形式體系就是通過形式化的方法重新組織數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，從而建立起來的結(jié)構(gòu)。這種形式體系化，或簡稱形式化，又是另一種數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)內(nèi)容的特殊本質(zhì)決定了對(duì)數(shù)學(xué)語言的特殊要求，從日常語言中逐漸獨(dú)立出來，引進(jìn)特定的數(shù)學(xué)術(shù)語來表達(dá)數(shù)學(xué)的活動(dòng)與思想。從希臘人的以字母表點(diǎn)，以文字代數(shù)，到阿拉伯人建立的完整的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，從而使代數(shù)運(yùn)算及有關(guān)的

48、關(guān)系形成了完美的體系。17世紀(jì)以來，大量新符號(hào)的引進(jìn)，以至近年來將邏輯符號(hào)引入了數(shù)學(xué)。所有這些都是數(shù)學(xué)的形式化過程的逐步提高與發(fā)展，在此過程中數(shù)學(xué)科學(xué)也進(jìn)到了一個(gè)更高的階段。隨著近年來計(jì)算技術(shù)的突飛猛進(jìn)，預(yù)計(jì)數(shù)學(xué)的形式化水平還將達(dá)到更高的水平。在數(shù)學(xué)教育中，并不是要學(xué)生背誦那些形式體系，而應(yīng)使學(xué)生學(xué)會(huì)形式化，學(xué)會(huì)用正確的數(shù)學(xué)語言來組織并表達(dá)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)內(nèi)容及內(nèi)在聯(lián)系。形式化和形式主義是根本不同的，我們不能為形式而形式，使數(shù)學(xué)成了無內(nèi)涵無意義的機(jī)械運(yùn)算、形式游戲。只講“思想體操”，不講“思想內(nèi)容”，那是“純形式”把戲，不是“形式化”過程。 荷蘭的van Hiele曾經(jīng)首先研究了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化過程的教學(xué)

49、理論，他提出了關(guān)于幾何思維的五個(gè)水平，這對(duì)如何通過數(shù)學(xué)化途徑以進(jìn)行數(shù)學(xué)教育是個(gè)很好的借鑒。五個(gè)水平(1evels)列舉如下(前已提及，這里再作一些具體解釋)： 0水平：直觀(Visualization)。其特征是學(xué)生借助直觀，籠統(tǒng)地從整體外表上接受圖形概念，并不理解其構(gòu)造、關(guān)系，也不進(jìn)行比較。譬如他知道矩形、正方形、菱形和平行四邊形，也會(huì)畫這些圖形，但對(duì)它們的理解是孤立而不相聯(lián)系的，他認(rèn)為這些圖形是完全不同的。 1水平：分析(Analysis)。其特征是學(xué)生開始識(shí)別圖形的構(gòu)造，互相之間的關(guān)系，也能借助于觀察、作圖等方法非正式地建立起圖形的許多性質(zhì)，但并未掌握其間的必然聯(lián)系。譬如他知道矩形有四個(gè)

50、直角、對(duì)邊相等、對(duì)角線相等，但他并未深入追問這些性質(zhì)互相之間是否有什么聯(lián)系?對(duì)這些性質(zhì)的掌握只限于各種現(xiàn)象的羅列；再如他完全知道一般的平行四邊形和矩形一樣也具有對(duì)邊相等的性質(zhì)，但他并未想到矩形概念應(yīng)該從屬于平行四邊形概念。 2水平：抽象(Abstraction)。其特征是學(xué)生形成了抽象的定義，也能建立圖形概念與性質(zhì)之間的邏輯次序，但尚未對(duì)演繹的實(shí)質(zhì)含義形成清晰的觀念。根據(jù)思維變化與對(duì)象的不同特點(diǎn)，他會(huì)混合使用實(shí)驗(yàn)觀察與邏輯推理等各種不同的推導(dǎo)方法，但還沒有理解公理的作用，自然更談不上對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)體系的掌握。譬如他知道矩形的定義，也能知道正方形是矩形，也是平行四邊形；他還可以以平行四邊形的某個(gè)

51、性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，以推出其他的性質(zhì)；但他還沒有掌握整體的邏輯聯(lián)系，還不知道哪些概念是基本的，而另一些性質(zhì)卻是派生的。 3水平：演繹(Deduction)。其特征是學(xué)生抓住了整個(gè)的演繹體系，能在以不定義的基本關(guān)系和公理為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)體系內(nèi)，在定義、定理之間進(jìn)行形式推理，理解構(gòu)造和發(fā)展整個(gè)體系的邏輯結(jié)構(gòu)，能理解并分析相互之間的邏輯關(guān)系。譬如他會(huì)從不同的定義出發(fā)來研究平行四邊形的所有性質(zhì)與特征構(gòu)成的整個(gè)系統(tǒng)，甚而揭示各種定義的等價(jià)性，他也能理解哪些事實(shí)必須當(dāng)作公理而接受，再在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出所有合乎形式邏輯的結(jié)論。 4水平：嚴(yán)謹(jǐn)(Rigor)，其特征是學(xué)生領(lǐng)會(huì)了現(xiàn)代公理系統(tǒng)的嚴(yán)密性，對(duì)于幾何對(duì)象的具體性質(zhì)以及

52、幾何關(guān)系的具體含義都可以不作解釋，而是完全抽象地建立一般化的幾何理論，這實(shí)質(zhì)上已經(jīng)將幾何提高到一個(gè)廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域。譬如他能比較各種公理體系，并能不用具體的幾何模型來研究各種幾何學(xué)。也只有在達(dá)到了這一水平的基礎(chǔ)上，才能進(jìn)而將公理化思想滲透入數(shù)學(xué)的各個(gè)不同分支，從而使數(shù)學(xué)形成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)而完美的形式邏輯演繹體系，暫時(shí)離開它所依據(jù)的具體現(xiàn)實(shí)、客觀事實(shí)，而從內(nèi)在的邏輯聯(lián)系中，進(jìn)一步探討數(shù)學(xué)科學(xué)的深?yuàn)W的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。 根據(jù)兒童的思維發(fā)展與學(xué)習(xí)過程提出來的這一思維水平理論，正好相應(yīng)于前面所談的數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)化原則。一般來說，在某一個(gè)水平上進(jìn)行的組織活動(dòng)，往往成為下一個(gè)水平的研究對(duì)象，通過重新組織又提高到一個(gè)新的

53、水平。數(shù)學(xué)教育這一活動(dòng)過程，就應(yīng)該是教師根據(jù)社會(huì)現(xiàn)實(shí)的需要，兒童認(rèn)識(shí)過程的發(fā)展規(guī)律，在不同階段提出學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的不同水平，并且引導(dǎo)學(xué)生不斷地攀登新的水平；就在這不斷提高水平的過程中，學(xué)生研究著各種不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，學(xué)會(huì)了各種不同層次的數(shù)學(xué)化，從而也通過這條途徑掌握了數(shù)學(xué)。 為此，在數(shù)學(xué)教育中必須強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：一是思維的直觀性。抽象而復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，總以某些具體對(duì)象或內(nèi)容為背景材料，形形色色的不同層次的數(shù)學(xué)化，總要以某個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為出發(fā)點(diǎn)；在教學(xué)過程中，時(shí)刻牢記學(xué)生所擁有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生的直覺思維，盡可能闡明問題的來龍去脈，從而在學(xué)生思想中形成一個(gè)具體而鮮明的原型，這必然會(huì)形成掌握數(shù)學(xué)化思

54、想的扎實(shí)基礎(chǔ)。二是思維的階段性，處于不同思維水平階段的學(xué)生，往往擁有不同層次的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，掌握著不同形式的數(shù)學(xué)語言，也具有不同程度的數(shù)學(xué)化水平。一般而言，超越其現(xiàn)有水平而作盲目的跳躍式的提高，往往會(huì)適得其反，欲速則不達(dá)；或者是僅僅從表面上掌握了某些東西，而對(duì)其內(nèi)在實(shí)質(zhì)卻一無所知或是一知半解。只有遵循思維發(fā)展和認(rèn)識(shí)過程的規(guī)律，在不同的思維水平階段，提出各種不同的數(shù)學(xué)化要求，才能真正循序漸進(jìn)并獲得預(yù)期的成果。三是促使和加強(qiáng)學(xué)生的反思，直觀的思維會(huì)形成很多新的發(fā)現(xiàn)，可這些發(fā)現(xiàn)要成為真理，就要具有邏輯演繹的嚴(yán)格依據(jù)，就必須依賴于對(duì)自己的判斷、想象進(jìn)行不斷的反思，以直觀形象為背景，以演繹推理為工具，反復(fù)地

55、思考，反復(fù)地推敲，一個(gè)人對(duì)自身活動(dòng)的反思是一種提高水平的活動(dòng)，例如學(xué)生也許憑眼睛觀察就可以得出平行四邊形對(duì)角線互相平分這一直覺形象，可是如果促使學(xué)生考慮一下為什么，對(duì)這個(gè)結(jié)論有意識(shí)地進(jìn)行反思，可能會(huì)得到意想不到的收獲；有些學(xué)生會(huì)從邏輯推理的角度，從平行四邊形的性質(zhì)來推證，因而在建立演繹體系上前進(jìn)了一步；也有些學(xué)生會(huì)從圖形結(jié)構(gòu)的眼光，將平行四邊形繞中心旋轉(zhuǎn)180°與自身重合而得出這一結(jié)論，如果繼續(xù)將反思推進(jìn)到更高水平上，就會(huì)更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)對(duì)稱、反射以至變換、映射等概念。正是環(huán)繞著這一連串的直覺思維、反思、表達(dá)、判斷，不斷地將數(shù)學(xué)化過程推向前進(jìn)，而這也正是數(shù)學(xué)教育所追求的。 近年來，關(guān)于數(shù)

56、學(xué)化的思想正在不斷地進(jìn)行深入的研究，根據(jù)Treffers和Goffree的提法，數(shù)學(xué)化還可以分解為水平的和垂直的兩種成分；如果是從具體的客觀現(xiàn)象中找出數(shù)學(xué)的特性，或者通過不同的方式將同一個(gè)問題形式化或直觀化，或是在不同的問題中識(shí)別其同構(gòu)的本質(zhì)，以及將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或已知的數(shù)學(xué)模型等，這些方面都可以理解為同一問題在水平方向的擴(kuò)展，因而是屬于數(shù)學(xué)化的水平的成分。而如果是將某個(gè)關(guān)系形成為一個(gè)公式，或是證明一個(gè)定律，或是對(duì)同一問題采用不同的模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行加強(qiáng)、調(diào)整與完善，以至形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，或是由特殊情況經(jīng)過推廣從而建立起一般化的理論等，這些方面就應(yīng)該看作是某一問題在垂直方向的深入

57、，因而不妨歸諸于數(shù)學(xué)化的垂直的成分。 借助手水平的數(shù)學(xué)化和垂直的數(shù)學(xué)化，我們可以用下列圖表來比較四種不同類型的數(shù)學(xué)化途徑： 水平的數(shù)學(xué)化垂直的數(shù)學(xué)化現(xiàn)實(shí)的（realistic）+經(jīng)驗(yàn)的（empiricist）+-構(gòu)造的（structuralist）-+機(jī)械的（mechanistic）-其中“十”號(hào)表示對(duì)這方面給以更多的注意，而“”號(hào)表示較少注意或根本末加注意。當(dāng)然以上分類也只是相對(duì)比較而言，在實(shí)際的數(shù)學(xué)化過程中，這兩方面的作用相互纏結(jié)，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，并不能截然分開。 回顧歷史上最早的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育，其做法就是機(jī)械的途徑，教師將各種結(jié)論灌輸下去，學(xué)生被動(dòng)地接受這些結(jié)果，死記硬背，機(jī)械模仿

58、，不知道它的來龍去脈，所獲得的只是知識(shí)的形式堆砌，既不考慮它有什么用處，也不問它互相之間是否有內(nèi)在聯(lián)系，可以說很少包含數(shù)學(xué)化的成分。以后逐漸有所進(jìn)步，比較多地考慮到實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)，也建立了不少現(xiàn)實(shí)的模型，從而進(jìn)入了經(jīng)驗(yàn)的途徑，即較多地顧及水平的數(shù)學(xué)化，使所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的實(shí)用價(jià)值，可以解決一些客觀現(xiàn)實(shí)中的問題。如有的國家所設(shè)置的“消費(fèi)者數(shù)學(xué)”之類，但這些知識(shí)又往往流于瑣碎、零星、不成體系，忽視了數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在聯(lián)系，尤其是忽略了數(shù)學(xué)的邏輯演繹結(jié)構(gòu)，較少注意數(shù)學(xué)化的縱深發(fā)展。為了糾正上述偏向，以布爾巴基觀點(diǎn)為代表的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)的做法，就采用了構(gòu)造的途徑，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的演繹結(jié)構(gòu)，重視邏輯推理的論證，企圖以結(jié)構(gòu)主義的思想來組織整個(gè)數(shù)學(xué)教育，以提高抽象的邏輯思維水平，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难?/p>