2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考經(jīng)典幾何題講義系列：中考幾何常用套路知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典題練習(xí)

1、中考幾何常用套路+知識(shí)點(diǎn) +經(jīng)典題練習(xí)目錄1、 常用套路2、 中考幾何知識(shí)點(diǎn)（一）線段、角、直線相關(guān)知識(shí)點(diǎn)3、 中考幾何知識(shí)點(diǎn)（二）三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)4、 中考幾何知識(shí)點(diǎn)（三）四邊形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)5、 中考幾何知識(shí)點(diǎn)（四）圓相關(guān)知識(shí)點(diǎn)6、 經(jīng)典題練習(xí)（一）7、 經(jīng)典題練習(xí)（二）8、 經(jīng)典題練習(xí)（三）9、 經(jīng)典題練習(xí)（四）十、經(jīng)典題練習(xí)（五）經(jīng)典題練習(xí)答案常用套路要點(diǎn)?？碱愋皖}型特征解題方法問(wèn)題背 景研究求坐標(biāo)或函數(shù) 解析式，求角 度或線段長(zhǎng)已知點(diǎn)坐標(biāo)、解析式 或幾何圖形的部分 信息研究坐標(biāo)、解析式，研究邊、角，特殊圖 形。兩點(diǎn)間距離公式。模型套路調(diào)用的函數(shù)關(guān)系 式，并求最值速度已知，所求關(guān)系 式和運(yùn)

2、動(dòng)時(shí)間相關(guān)， 時(shí)間表示線段 分段：動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)折分段、圖形碰撞分段； 利用動(dòng)點(diǎn)路程表達(dá)線段長(zhǎng)；設(shè)計(jì)方案表達(dá)關(guān)系式。坐標(biāo)系下，所求關(guān)系 式和坐標(biāo)相關(guān) 利用坐標(biāo)及橫平豎直線段長(zhǎng)； 分類：根據(jù)線段表達(dá)/、同分類；設(shè)計(jì)方案表達(dá)面積或周長(zhǎng)。求線段和（差） 的最值有定點(diǎn)（線）、不變 量或不受關(guān)系利用幾何模型、幾何定理求解，如兩點(diǎn)之 間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關(guān) 系等。套路整 合及分 類討論點(diǎn)的存在性點(diǎn)的存在滿足某種 關(guān)系，如滿足面積比 為 9:10抓定量，找特征；確定分類；.根據(jù)幾何特征或函數(shù)特征建等式。圖形的存在性特殊三角形、特殊四 邊形的存在性分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)或小父關(guān)系（如平行）； 根據(jù)特殊圖形的判定

3、、性質(zhì)，確定分類；根據(jù)幾何特征或函數(shù)特征建等式。三角形相似、全等的 存在性 找定點(diǎn)，分析目標(biāo)三角形邊角關(guān)系；根據(jù)判定、對(duì)應(yīng)關(guān)系確定分類；根據(jù)幾何特征建等式求解。1.熟悉題型結(jié)構(gòu)，辨識(shí)題目類型，調(diào)用解題方法;2.書(shū)寫(xiě)框架明晰，踩點(diǎn)得分（完整、快速、簡(jiǎn)潔）中考幾何知識(shí)點(diǎn)（二）【線段、角、直線】1 .過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。2 .兩點(diǎn)之間線段最短。3 .過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直。4 .直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂直線段最短。垂直平分線，簡(jiǎn)稱中垂線定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的 垂直平分線（中垂線）。線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離

4、相等的所有點(diǎn)的集合。中垂線性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段。垂直平分線定理：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。角1 .同角或等角的余角相等。2 .同角或等角的補(bǔ)角相等。3 .對(duì)頂角相等。角的平分線性質(zhì)角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合定理1:角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理2:到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)叫內(nèi)心，它到三角形三邊距離相等?！酒叫芯€】平行線性質(zhì)1

5、:兩直線平行，同位角相等。平行線性質(zhì)2:兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。平行線性質(zhì)3:兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線判定1:同位角相等，兩直線平行。平行線判定2:內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。平行線判定3:同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。平行線判定4:如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例?！救切巍?面積公式：1 .已知三角形底a,高 h,2 .正三角形面積S= = a24（a為邊長(zhǎng)正三角形）

6、3 .已知三角形三邊a,b,c ,S Jp(p a)(pb)(pC) (海倫公式)其中：p （a b c）（周長(zhǎng)的一半）24 .已知三角形兩邊a, b及這兩邊夾角 C ,則S5 .設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,內(nèi)切圓半徑為6 .設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為1,八一 absin C。2r,則SR,則(a b c)r2abc4R記住:已知正三角形邊長(zhǎng)為3、, 3R a , r a ,36a,其外接圓半徑為 R,內(nèi)切圓半徑為r ,則有:R 2r內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180°推論1 :直角三角形的兩個(gè)銳角互余推論2 :三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推

7、論3 :三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形性質(zhì)： 如果兩三角形全等，那么其對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等。其中對(duì)應(yīng)邊除了三角形的邊長(zhǎng)外，還包括對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)角平分線。全等三角形判定定理：邊邊邊公理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA）推論：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。相似三角形性質(zhì)定理性質(zhì)定理1:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相 似

8、比。性質(zhì)定理2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形判定定理判定定理 1 ：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ ASA ）判定定理2 ：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS ）判定定理 3 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）定理： 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 （或兩邊的延長(zhǎng)線） 相交， 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。梯形中位線定理： 梯形的中位線平

9、行于兩底，并且等于兩底和的一半。平行線等分線段定理： 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1 ：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰。推論2 ：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。定理： 如果一條直線截三角形的兩邊 （或兩邊的延長(zhǎng)線） 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例， 那么這條直線平行于三角形的第三邊等腰三角形的性質(zhì)定理： 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。推論 1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。推論2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。 （三線合一）推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60 &#

10、176;等腰三角形的判定定理： 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）推論 1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形直角三角形2221 勾股定理 ：直角三角形兩直角邊a、 b 的平方和、等于斜邊c 的平方（ a 2b2c2 ）222逆命題： 如果三角形的三邊長(zhǎng)有關(guān)系 a2 b2 c2 ， 那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形為銳角或鈍角的一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，其中 c為最長(zhǎng)邊： 如果：a2 b2c2,則4 abc是直角三角形；222如果abc ,則 ABC是銳角三角形；如果a2b2c2 ,

11、則4 ABC是鈍角三角形。2 直角三角形斜邊中線定理： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半。逆命題 ： 如果一個(gè)三角形一條邊的中線等于這條邊的一半， 那么這個(gè)三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。3 . 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30 °那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由此性質(zhì)可推出：含 30°的直角三角形三邊之比為 1: B 2。4 .直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。5 .直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半,a b c2 ab也等于r即r 6 .射影定理:如果 ABC是直角三角形,/ C=90AC2AD

12、.ABBC2DB.ABCD2AD.DBAC2BC2ADDB如果 ABC , CD LAB ,CD2AD.DB ,則： ADCs ACDB對(duì)一般三角形的拓展：如圖,如果AD8 ACB則:CADAC2 AD.AB7.如果/ ADE= ZB 或 Z AED= ZC,或 /C+/或 ZB+ZCDE=180°那么有：AD - AC=AE - ABDEB=180 °8 .如果 DE / BC ,那么有：AD: AC AE: ABDE :BC9 .在 ABC 中，AD是/ A的平分線，那么:AB BDAC DC10.內(nèi)、外角角平分線：DO平分/AOB, EO平分/COB, 可以推出：Z

13、DOE=90 ,ZAOD+ Z COE=90中考幾何知識(shí)點(diǎn)（三）【四邊形及多邊形】面積公式：平行四邊形面積=底X高矩形面積=長(zhǎng)X寬菱形面積=對(duì)角線乘積的一半或菱形面積=底*高.仃/不工口 （上底下底）IW 4/、44 -梯形面積=-=中位線X局2對(duì)角線相互垂直四邊形面積=對(duì)角線乘積的一半。平行四邊形：性質(zhì)定理1：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行性質(zhì)定理2:平行四邊形兩組對(duì)角分別相等。性質(zhì)定理3:平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等；平行線間的距離處處相等。性質(zhì)定理4:平行四邊形的對(duì)角線互相平分。是中心對(duì)稱圖形判定定理1:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定定理2:兩組

14、對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理3:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理4: 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。判定定理5:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形性質(zhì)定理1:矩形對(duì)邊分別平行且相等；性質(zhì)定理2:矩形的四個(gè)角都是直角。性質(zhì)定理3:矩形對(duì)角線互相平分且相等性質(zhì)定理4:矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。判定定理1:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定定理2:有一個(gè)直角的平行四邊形；判定定理3:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形菱形性質(zhì)定理1:菱形對(duì)邊平行，四條邊都相等。性質(zhì)定理2:菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。性質(zhì)定理3:菱形既是中心對(duì)稱圖

15、形也是軸對(duì)稱圖形。判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱形。判定定理2: 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；判定定理3:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形性質(zhì)定理1 :正方形對(duì)邊平行，四邊相等；性質(zhì)定理2:正方形的四個(gè)角都是直角；性質(zhì)定理3:正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。性質(zhì)定理3:正方形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形。判定定理1:有一個(gè)直角一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；判定定理2: 一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定定理3: 一個(gè)角為直角的菱形是正方形。等腰梯形性質(zhì)定理1:等腰梯形兩底互相平行，兩腰相等；性質(zhì)定理2:等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。性質(zhì)

16、定理3:等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。性質(zhì)定理4:等腰梯形是軸對(duì)稱圖形。判定定理1:腰相等的梯形是等腰梯形;判定定理2:在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。判定定理3:對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。如果等腰梯形對(duì)角線相互垂直，則高與中位線相等。四邊形四邊中點(diǎn)連成的四邊形圖形：1 .如果原四邊形對(duì)角線相等且垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為正方形；2 .如果原四邊形對(duì)角線只相等不垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為菱形；3 .如果原四邊形對(duì)角線垂直但不相等，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為矩形；4 .如果原四邊形對(duì)角線既不相等又非垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為平行四 邊形。5 .四邊形中點(diǎn)

17、連接的圖形的面積是原四邊形面積的一半其它定理和公式6 .定理：四邊形的內(nèi)角和等于 360° ,四邊形的外角和等于 360°。7 .多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2） X 180。推論：任意多邊的外角和等于360°8 . n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線，共有（n3）條，將n邊形分成了（n 2）個(gè)三角形;n邊形一共有（n 3）條對(duì)角線。4.正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于:(n 2) 180on中考幾何知識(shí)點(diǎn)(四)【圓、弧、弦】圓及圓的相關(guān)量的定義圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓 心，定長(zhǎng)稱為半徑。弧、弦的定義：圓上任意兩點(diǎn)

18、間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。圓、弧的表示方法： 圓一?；?C弦心距定義：圓心到弦的距離叫做弦心距。弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓周角定義：頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。圓心距定義：兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。連心線定義： 過(guò)平面內(nèi)不重合的兩個(gè)圓的圓心的直線叫做這兩個(gè)圓的連心線。扇形定義：在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。三角形的外接圓： 過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，

19、其圓心叫做三角形的外心。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離相等。三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形3邊距離相等。圓的內(nèi)接正n邊形、圓的外切正 n邊形定義：把圓分成n(n>3)等分：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。圓內(nèi)接四邊形面積：S P(P a)(P b)(P c)(P d)，一 1其中：p - (a b c d)圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等：AB + CD = AD +BC

20、內(nèi)公切線定義:外公切線定義:右圖中：直線兩個(gè)不相交的圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公公切線定義：和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。切線叫做內(nèi)公切線。兩個(gè)不相交的圓在公切線的同旁時(shí), 這樣的公切線叫做外公切線。AR CD就是兩圓的公切線，其中 AB為外公切線， CD為內(nèi)公切線。公切線長(zhǎng)計(jì)算公式：設(shè)。01半徑為R,。02半徑為r, R r ,兩圓的圓心距為 d外公切線長(zhǎng)=Jd2 （R r）2內(nèi)公切線長(zhǎng)="d2 （R r）2當(dāng)兩圓相切時(shí)，無(wú)內(nèi)公切線長(zhǎng)。直線與圓有三種位置關(guān)系：1.無(wú)公共點(diǎn)為相離；2.有2個(gè)公共點(diǎn)為相交；3.圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的 切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫

21、做 切點(diǎn)。兩圓之間有5種位置關(guān)系：1.無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，2 .在之內(nèi)叫內(nèi)含；3.有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，4.在之內(nèi)叫內(nèi)切；5.有2個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。圓的基本性質(zhì)：1 .點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系（設(shè) P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離）： 當(dāng)P在。0外，PO>r;當(dāng)P在。0上，PO = r;當(dāng)P在。0內(nèi)，POvr。2 .直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè) OP XAB于P,則PO是直線AB到圓心的距離）： 當(dāng)AB與。相離，PO>r；當(dāng)AB與。相切，PO = r；當(dāng)AB與。相交，POvr。3 .圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且R>r,圓心距為P

22、）:外離 P>R+r;外切 P=R+r ;相交 R-rvPvR+r;內(nèi)切 P=R-r ;內(nèi)含 0wpR-r。4 .同圓或等圓的半徑相等。5 .圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱 中心是圓心。6 .不在同一直線上的 3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。7 . 一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。8 .圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這 個(gè)圓的切線。圓的定理:垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論2

23、:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1 :經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2 :經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 PT2 PA PB. T 、P " D- C推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。PA PB PC PD （此推論也叫 割線

24、定理）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。注：切割線定理與割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱為 圓哥定理。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的一半。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等定理1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一 組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。定理2: 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1

25、:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也 相等。推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。定理3:兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分兩圓的公共弦。定理4兩圓相切時(shí)，連心線通過(guò)切點(diǎn)。定理5:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。定理6:圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等。定理7:任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式圓周長(zhǎng)圓的面積弧長(zhǎng)扇形面積S r2C n 21 .S r 一 Ir3602注：半徑

26、一r直徑一d扇形弧長(zhǎng)一l扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別周長(zhǎng)一C 面積一S n-扇形的圓心角S弓=S扇形SVS弓形二S扇形+SV注：（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。 （2）弓形的周長(zhǎng)=弦長(zhǎng)+弧長(zhǎng)圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱注：圓錐的母線長(zhǎng)為 1,底面圓的 半徑為r圓柱的底面半徑為r,高為h圖形的形成過(guò) 由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的， 如 由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形 程RtASOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。ABCD繞直線 AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面面積計(jì)算方法S側(cè)rlS側(cè)2 rh扇形矩形側(cè)面展開(kāi)圖的 特征S全S側(cè)+$底=rl2S全

27、Sy +2Sz =2 rh 2 r【三角形五心】：內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心垂心芳心三角形內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，其半徑 r是交點(diǎn)到一邊的距離。性質(zhì)：到三邊距離相等。三角形外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心，其半徑 R是交點(diǎn) 到頂點(diǎn)的距離。性質(zhì)：外心到三頂點(diǎn)的距離相等若。是4ABC的外心，則/ BOC=2 /A（/ A為銳角或直角）或/ BOC=360 -2 /A （/A為鈍角）。當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。三角形重心：三角形三條

28、中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離 與三條邊的長(zhǎng)成反比。重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（Xi X2 X3 Vl V2 y3 ）3,3三角形垂心：三角形三條高所在直線的交點(diǎn)。性質(zhì)：垂心分每條高線的兩部分乘積相等。2倍。垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的三角形旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 性質(zhì)：旁心到三邊的距離相等性質(zhì)5銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半

29、徑之和。圓的基本概念如上圖：直線l為連心線；線段AB稱為弦；O O1圓心O1到線段AB的距離01c稱為弦心距;0102之間距離稱為圓心距；直線EF外公切線；直線BG內(nèi)公切線；E,F,I稱為切點(diǎn);AmB稱為劣??；AeB稱為優(yōu)?。籊02J稱為圓心角；/ GIJ稱為圓周角；ZGIH稱為弦切角；三角形的內(nèi)切圓兩圓內(nèi)切兩圓相交內(nèi)含相離1、已知:求證:2、已知:求證:如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，/ PAD = PBC是正三角形.（初二）經(jīng)典題練習(xí)（一）如圖， 。是半圓的圓心， C、E是圓上的兩點(diǎn)， CDXAB , EFXAB , EGXCO.CD=GF.（初二）3、如圖，已知四邊形 ABCD、AiBi

30、CiDi都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AAi、BB1、CC1、DDi的中點(diǎn).求證：四邊形 A2B2c2D2是正方形.（初二）4、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD = BC, M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的 延長(zhǎng)線交MN于E、F.求證：/ DEN = Z F.經(jīng)典題練習(xí)（二）1、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)） （1）求證：AH =2OM ;（2）若/ BAC =600,求證：AH=AO.（初二）,O為外心，且OM XBC于M .2、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q. 求證：AP

31、=AQ.（初二）B、C及3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:P、設(shè)MN是圓O的弦，過(guò) MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE ,設(shè)CD、EB分別交MN于Q.求證：AP = AQ.（初二）F4、如圖，分別以 ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)作正方形 ACDE和正方形CBFG點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.（初二）E2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F. 求證：AE=AF.（初二）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC, AE = AC , 求證：CE = CF.（初二）PFXAP,3

32、、設(shè)P是正方形ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn), 求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D.求證：AB = DC , BC = AD.（初三）經(jīng)典題練習(xí)（五）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn), 求：/ APB的度數(shù).（初二）PA=3, PB=4, PC=5.2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA = Z PDA. 求證：/ PAB = /PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB - CD+AD - BC = AC - BD .（初三）4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F

33、分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE = CF.求證：/ DPA=/DPC.（初二）1、設(shè) P 是邊長(zhǎng)為1的正 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，L = PA + PB + PC ,求證：<L<2.2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求 PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).【答案】經(jīng)典題練習(xí)（一）4、如圖， ABC 中，/ ABC = / ACB = 800, D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn)，/ DCA = 30°, /EBA = 200,求/ BED 的度數(shù).ADCB1

34、 .如下圖做 GHLAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG, 即GHFs OGE,可得 EO= GO =CO ,y co=eo 所以 cd=gf 得證。GF GH CD2 .如下圖做 DGC使與 ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得 DGCA APDA CGP,得出 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG=15° 所以/ DCP=30 0 ,從而得出 PBC是正三角形3 .如下圖連接BC和AB分別找其中點(diǎn)F,E.連接QF與AE并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn), 連接EB并延長(zhǎng)交GQ于H點(diǎn)，連接FB并延長(zhǎng)交AQ于G點(diǎn)，由 AE=gABi=3BG= FB2 , E

35、B= AB= tBC=FO ,又 / GFQ+/ Q=90。和Z GEB2+Z Q=90。，所以/ GER二/ GFQ 又/ BzFC2= Z A2EB2 ,可得 B2FC2A A2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=90° 和/ GFQ=Z EB2A2 ,從而可得/ A2B2 02=90° ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A2B2C2D2是正方形。4 .如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接Q解口 QM所以可得z QMF= Z F, Z QNM= Z DEN 和 Z QMN= Z QNM ,從而得出 Z DEN = / F?！敬鸢浮拷?jīng)典

36、題練習(xí)（二）1.(1)延長(zhǎng) AC® F 連 BF,彳O OG.AF,又/ F= Z ACB= / BHD ,可彳導(dǎo)BH=BF,從而可得HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB OC既得/BOC=120°,從而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得證。3 .作 OFL CD OG- BE,連接 OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ。,ADACCD 2FDFD由于=，AB AEBE 2BGBG由此可得 ADFA ABG ,從而可得/ AFC= / AGE。又因?yàn)镻FOA與QGO

37、A四點(diǎn)共圓，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,從而可得 AP=AQ ?！敬鸢浮拷?jīng)典題練習(xí)（三）4 .過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。-m AI + BI AB從而可得 PQ= ，從而得證。221 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4ADE ,到 ABG ,連接CG.由于 Z ABG= Z ADE=90 0+450=135°從而可得B, G, D在一條直線上，可得 AGB ACGBo 推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。ZAGB=30°,既得/ EAC=30 0 ,從而可得/ AEC=75°O 又/ EFC= Z DFA=45 0+30°=75°.可證：CE=CF o2 .連接BD作CKDE,可得四邊形 CGDH是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=30°,所以/ CAE= Z CEA= ZAED=15 °,又/ FAE=90°+45°+15°=150°,從而可知道/ F=15