匯編淺析高考作文網(wǎng)上閱卷取分函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

1、2012年全國高考模擬參考部分高考作文網(wǎng)上閱卷取分函數(shù)的數(shù)學(xué)模型田 俊 忠（西北第二民族學(xué)院信息與計算科學(xué)系，寧夏銀川市，750021）摘 要：高考作文網(wǎng)上閱卷的核心問題之一是如何確定考生成績的取分函數(shù)，它將直接影響作文網(wǎng)上閱卷的科學(xué)性與對考生的公平性。本文在2002年寧夏高考作文網(wǎng)上閱卷成績的現(xiàn)場數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)方法，建立了取分函數(shù)的三種數(shù)學(xué)模型，并進行數(shù)據(jù)模擬和比較，給出了比較科學(xué)合理最優(yōu)的取分函數(shù)模型，而且在分析數(shù)據(jù)和總結(jié)歷史經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，闡述了取分函數(shù)模型的思想過程及求解算法。關(guān)鍵詞： 作文網(wǎng)上閱卷 取分函數(shù) 數(shù)學(xué)建模 數(shù)據(jù)模擬1 問題的提出作文網(wǎng)上閱卷是主觀性試題網(wǎng)上閱

2、卷難度最大的一個課題，是整個閱卷工作電子信息化與自動化技術(shù)的一個最后的瓶頸。作文網(wǎng)上閱卷電子信息化解決方案形成意味著各種考試，各門課程主觀性試題網(wǎng)上閱卷的徹底解決；可是作文網(wǎng)上閱卷在數(shù)學(xué)上存在著兩大關(guān)鍵性的核心問題：1：每份試卷都先由兩位閱卷老師獨立地按照評分標(biāo)準(zhǔn)進行評分，在什么樣的情況下進行對考生的作文進行三評，能使得這種區(qū)分方法在理論上是科學(xué)合理的，對考生是公正公平的，在工作量上是現(xiàn)實可行的。2：面對考生的二評或三評的評分，如何計算考生的成績等問題，使得這種成績的取分函數(shù)在理論上是科學(xué)的，對所有的考生是公平的。2 模型假設(shè)（1）作文試卷電子化經(jīng)過電子掃描處理過的電子作文完全消去了影響試卷公

3、平閱卷的任何外在因素,不久有關(guān)考生的個人特征信息完全消去(如:考生姓名,考號,考區(qū)),評分多少,已評還是未評,是二評還是三評,是自評還是他評等方面的信息對評卷人員完全不存在;電子化的作文還可以多次分發(fā),可以在同一時間發(fā)給不同教師,也可以在不同時間分發(fā)給不同的教師或同一教師,在時間上,評卷人員是分離的,相互獨立的。（2）試卷分發(fā)的隨機化作文電子化處理之后,可以使用隨機化方法進行分發(fā),比如可以用抽簽法,隨機數(shù)表法或人工隨機抽取等方法.其隨機化的方法可以使一篇電子作文在閱卷期限內(nèi)的任何時間上都有同等的概率分發(fā)到每位評卷人員上;閱卷人員在評閱同一份作文是有差異的,盡管在評卷之前進行了認(rèn)真培訓(xùn),討論評分

4、標(biāo)準(zhǔn)，模擬評閱，使閱卷評分更加趨同；但由于評卷人員在知識背景，閱歷，對評分標(biāo)準(zhǔn)的理解力與個人傾向偏好等因素的存在與影響，評卷人員的差異總是存在的。隨機化分發(fā)，使得這種差異對每位考生的影響是等概的，因而是公平的。（3）評閱的獨立化由于作文的電子化處理與多次分發(fā)，第一位評卷人員在任何時間上評閱一篇作文時，不受任何外在信息的干擾，保證其獨立自由地認(rèn)真評閱，若干評卷人員即使評閱同一篇電子作文，也無法交流各自的觀點與傳遞信息，試卷上也無已評的任何標(biāo)記，互不影響，獨立自主。任何一位評卷人員對任何一篇電子作文的評分都是相互獨立的。（4）評分X的正態(tài)性由于評卷老師都是長期任教，多次參加高考作文閱卷，進行了嚴(yán)格

5、培訓(xùn)與選拔，充分討論評分標(biāo)準(zhǔn),模擬評卷，規(guī)范評卷行為,統(tǒng)一基調(diào)。由于所有閱卷人員都是獨立自主地按照評分標(biāo)準(zhǔn)評閱作文,那么所評成績服從正態(tài)分布。即XN(m,s)。其中：m表示作文成績的理論值，s表示所有閱卷老師評分差異的平均水平。(寧夏高考作文網(wǎng)上閱卷研究報告之一支持此結(jié)論) 23 模型分析由模型假設(shè)，設(shè)X是考生作文的評分，則應(yīng)有評分的分解式：X=m+e2因為 E(X)=m, 那么 E(e)=0 ，D(e)=s那么一篇作文的評分X的數(shù)學(xué)模型為:ìX=m+eí2 eN(0,s)î其中：m是考生作文成績的理論值，e是評卷人員的評分與真值的偏差， e的大小反映了評卷老師閱

6、卷水平與對評分標(biāo)準(zhǔn)的理解把握程度的好壞。對任意一篇電子作文而言，m與e是未知的，也是不可測的。 造成考生成績偏差來自e，所以e的偏差等于考生成績偏差。設(shè)Xi是一篇電子作文第i評的評分，（i=1,2或i=1,2,3）為了使考生的成績更加公平，應(yīng)使e的偏差處在一定的范圍內(nèi)，為此提出區(qū)分度A 當(dāng)當(dāng)X1-X2<A，僅有兩評的成績X1與X2 X1-X2³A，則進行三評，設(shè)三評成績?yōu)閄3如何根據(jù)兩評的成績X1與X2或三評的成績X1,X2,X3來計算作文的應(yīng)得成績,我們在二評時在兼顧兩位老師評分的同時，也應(yīng)該注意到，得高分比較難，概率也比較低,得高分的考生說明他們的素質(zhì)水平高,所以要保護高分

7、即加大其權(quán)重。 當(dāng)X1-X2³A，則進行三評，說明前兩位閱卷老師中至少有一位閱卷有偏差，所以在三評時應(yīng)在兼顧三位閱卷老師打分的同時，也要加重前兩位閱卷老師其中一位與第三位閱卷老師分值相差不大分值的權(quán)重,同時也要減低出現(xiàn)誤差值的權(quán)重,這樣才能很好地維護考生的利益,使考生的成績是合理的,公平的。第三位閱卷老師的打分其實就是為了驗證前兩位閱卷老師，前二位閱卷老師的評分: 如果Xi-X3<A，i=1,2，則表明Xi的評分是合理的，偏差不大,應(yīng)加大其權(quán)重。 如果Xi-X3³A，i=1,2，則表明Xi的評分是不合理的，偏差很大,應(yīng)盡可能地減低其權(quán)重,但是不能使其為零,因為它還是有

8、一點貢獻,只不過小而已。4 模型建立由上述模型假設(shè)和模型分析可知，每位閱卷老師在打分時相互獨立的，互不干涉，所以Xi之間沒有相關(guān)性，是獨立的，即他們在構(gòu)成考生成績是線性的。由于閱卷老師在評分時存在一定的偏差，有的影響大點，有的影響小點，而且他們分?jǐn)?shù)高低不同，難度程度也不同，所以他們評分的權(quán)重是不同的，即評分系數(shù)是不同的，并設(shè)bi（i成績。于是建立考生取分函數(shù)模型： =1,2,3）Xi的系數(shù)，Y為考生Y=b1X1+b2X2+b3X3 (4.1)其中: bi（i=1,2,3）是待定系數(shù)，Xi（i=1,2,3）是已知閱卷老師的評分值。根據(jù)2002年寧夏高考網(wǎng)上作文閱卷數(shù)據(jù)并經(jīng)統(tǒng)計分析，知考生得分主要

9、集中在一定分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，說明其得分的頻率是不同的，而且得高低分頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于得中間分?jǐn)?shù)的頻率，基于此我們以人數(shù)為衡量的標(biāo)準(zhǔn)用MatLab畫出考生分?jǐn)?shù)分布圖,其x軸為考生的得分值(060)，y軸為考生某一分?jǐn)?shù)所對應(yīng)的人數(shù)比例 (01),如圖1所示:圖1從上圖可以看出考生在得分時是有差別的，處在不同的分?jǐn)?shù)段有不同的難易度，所以我們根據(jù)考生成績處在不同分值內(nèi)，得分的系數(shù)是不同的。設(shè)難度系數(shù) F(x)=åi<xfiåfi （4.2）其中fi是分?jǐn)?shù)為i的人數(shù)（2）式的實際意義是考生得x分?jǐn)?shù)前有多少人得分小于x，得分小于x人數(shù)多少反映了得x分?jǐn)?shù)人的能力的大小，比åfi是為了

10、歸一化?，F(xiàn)在要求Y，必須先求bi（i=1,2,3）。在求bi時必須給出bi滿足的條件，從而根據(jù)這些條件構(gòu)造出bi41 兩評的取分函數(shù)模型： 當(dāng)X1-X2<A時，則進行二評，于是 ，X3=0，b3=0根據(jù)實驗數(shù)據(jù)要求和假設(shè)分析可知，在二評時，認(rèn)為二位閱卷老師的評分是符合誤差范圍的，所以它們的系數(shù)大小只于他的難度有關(guān)，于是得到二評滿足的條件：若F(x1)越大，則b1越大， 若F(x2)越大，則b2越大 所以，b1，b2滿足條件的數(shù)學(xué)模型為：ìb1=kF(X1)ïíb2=kF(X2)（4.3）ïb+b=112î由方程（4.3） 解得： k=1F

11、(X1)+F(X2)（4.4）F(X1)ìb1=ïïF(X1)+F(X2)íF(X2) 那么 （4.5）ïb2=ïF(X1)+F(X2)î于是得兩評的取分函數(shù)S=F(X1)F(X1)+F(X2)X1+F(X2)F(X1)+F(X2)X2（4.6）42 三評的取分函數(shù)模型：模型一：當(dāng)X1-X2³A時，則進行三評，于是，X3¹0，b3¹0 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)和模型分析可知出現(xiàn)三評是由于前二位閱卷老師其中一位出現(xiàn)偏差，三評是為了驗證那一位出現(xiàn)偏差，并糾正其偏差，所以它們的系數(shù)大小不久與他的難度有關(guān)，而且與X

12、i-X3（i=1,2）大小有關(guān)，于是得到三評滿足條件：（1） 若X1-X3越小，則b1，b3越大 （2） 若X2-X3越小，則b2，b3越大 （3） 若F(x1)越大，b1越大 （4） 若F(x2)越大，b2越大 （5） 若F(x3)越大，b3越大所以，得出b1，b2，b3滿足條件的數(shù)學(xué)模型為：ìkF(Xïb1)1=ïX1-X3ïkF(Xíb2)2=ïX2-X3ïb3=kF(X3)ïîb1+b2+b3=1由方程(4.7)解,得k=X1-X3×X2-X3F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+

13、F(X3)X1-X3×X2-X3于是得：ìF(Xïb1)X2-X31=ïF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3ïï=F(X2)X1-X íb32ïF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3 ïF(Xï3)X1-X3×Xïb2-X33=îF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3(4.7)(4.8)（4.9）7那么三評取分函數(shù)T=F(

14、X1)X2-X3F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3F(X2)X1-X3X1+F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3F(X3)X1-X3×X2-X3F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X3×X2-X3X2+X3模型二：同理根據(jù)三評模型一滿足的條件可知，我們把自身影響因素轉(zhuǎn)化到對方相應(yīng)的對立因素即得出三評滿足條件： （1） 若X1-X3越大，則b2越大 （2） 若X2-X3越大，則b1越大 （3） 若F(x1)越大，b1越大 （4） 若F(x2)越大，b2

15、越大 （5） 若F(x3)越大，b3越大所以，得出b1，b2，b3滿足條件的數(shù)學(xué)模型為：ìb1=kF(X1)X2-X3ïïb2=kF(X2)X1-X3íb3=kF(X3) ï （4.10） ïb1+b2+b3=1î由方程(4.10)解,得k=1F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3) (4.11)那么：ìF(X1)X2-X3ïb1=F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)ïïF(X2)X1-X3íb2=F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F

16、(X3) (4.12) ïF(X3)ïïb3=F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)î于是得三評取分函數(shù)T=F(X1)XF(X1)X22-X3-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X2X1+F(X2)X1-X3F(X1)XF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)F(X3)-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)+(4.13)X32模型三：并考慮到X1-X2自身偏差大小還對其系數(shù)大小有一定的貢獻，于是得到三評滿足條件：（1） 若X1-X3越小，則b1，b3越大 （2） 若X2-X3越小，則b2，b3越大 （3） 若X1-X2

17、越小，則b1，b2越大 （4） 若F(x1)越大，b1越大 （5） 若F(x2)越大，b2越大 （6） 若F(x3)越大，b3越大所以，得出b1，b2，b3滿足條件的數(shù)學(xué)模型為：ìïb1=X-1ïïbï2=X2-íkF(XXX31)2×X1-X2kF(X3)1×X-X2(4.14)ïïbkF(X3)3=ïX1-X3×X2-X3ïîb1+b2+b3=1由方程(4.14)解,得X3×X2-X3×X1-X2k=X1-F(X 1)X2-X3+F

18、(X2)X1-X3+F(X3)X1-X 2那么：ìF(X-Xïb1)X231=ïF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X2ïïF(X-Xíb2)X132=ïF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X2 ïF(X-Xïb3)X12ï3=îF(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X2于是得三評取分函數(shù)T=F(X1)X2-X3F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)XX1+1-X2F(X2)X1-X3F(XX2+1)

19、X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-X2F(X3)X1-X2F(X1)X2-X3+F(X2)X1-X3+F(X3)X1-XX32(4.15)4.16）10（5 模型求解根據(jù)難度系數(shù) F(x)=åi<xfiåfi并統(tǒng)計2002年寧夏高考網(wǎng)上作文閱卷數(shù)據(jù)，得到F(x)的值，如表所示此表中出現(xiàn)一些分?jǐn)?shù)沒有對應(yīng)的難度系數(shù)，主要是因為去年高考沒有這些分?jǐn)?shù)，所以認(rèn)為這些分?jǐn)?shù)難度系數(shù)等于它前一個分?jǐn)?shù)的難度系數(shù)，零的難度系數(shù)為零，一分的難度系數(shù)等于零分的難度系數(shù)，依次類推，六十分的難度系數(shù)等于1。關(guān)于Xi-X3（i=1,2）值的計算只是在閱卷老師分?jǐn)?shù)打出后，再進行簡單的

20、求絕對值，然后由F(Xi)（i=1,2,3）組合計算就得到考生二評、三評成績。6 數(shù)據(jù)模擬二評取分函數(shù)模擬：三評取分函數(shù)模擬模型一：模型二：模型三：我們從以上數(shù)據(jù)模擬可以看出二評的現(xiàn)評成績與歷史成績相差不是很 大，主要因為現(xiàn)在所用的算法基本上符合原來兩個成績簡單平均而得到的成績，差值都是現(xiàn)評成績大于歷史成績，這說明現(xiàn)在算法更有效地保護高分，更加具有區(qū)分度，使考生成績更加合理化。三評取分函數(shù)數(shù)據(jù)模擬時出現(xiàn)一些現(xiàn)評成績與歷史成績偏差很大，一些偏差不是很大，造成上述主要原因是：1：歷史成績?nèi)》趾瘮?shù)在判斷當(dāng)T=Xi+X32Xi-X3<A（i=1,2）時，則得，沒有考慮Xi-X3³A（i

21、=1,2）中Xi的影響，所以造成成績要么偏高，要么偏低。2：現(xiàn)評成績?nèi)》趾瘮?shù)是在兼顧三位閱卷老師打分的同時，沒有完全丟掉Xi-X3³A中Xi的貢獻，Xi也起到調(diào)節(jié)考生分?jǐn)?shù)的作用，不過，從差值來看如果Xi與其他二個分?jǐn)?shù)相差不大，它的調(diào)節(jié)作用不是很大，基本上和歷史數(shù)據(jù)吻合，相反，則很好地體現(xiàn)了Xi的貢獻和調(diào)節(jié)作用，使考生的成績具有全面性，既不是片面地夸大或偏低某一分?jǐn)?shù)的影響，又不加大偏差很大成績的影響，所以對考生成績的計算是全面的，合理的。7 誤差分析由于三評取分函數(shù)有三個模型，所以我們現(xiàn)在比較他們之間的誤差：從以上簡單的比較運算，可知三個模型接近歷史評分的程度不同，出現(xiàn)誤差的大小可以說明：1：模型2取分函數(shù)成績與歷史成績相差很大，由于模型2三評時只考慮它的難度系數(shù)，沒有考慮它與X1,X2的距離即閱卷老師打分偏差。2：模型1取分函數(shù)成績與歷史成績相差不是很大，由于模型1三評時，考慮到它與X1,X2打分偏差，但是沒有考慮X1,X2自身的偏差。3：模型3取分函數(shù)成績與歷史成績相差比較小，由于模型3一、二評時，既考慮到它與X3的打分偏差，又考慮到X1,