《數(shù)學(xué)方法論》數(shù)學(xué)中的公理化方法與結(jié)構(gòu)方法

1、數(shù)學(xué)方法論教案第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法與結(jié)構(gòu)方法公理化方法在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對各門現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點曾導(dǎo)致一場幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運動，即“新數(shù)學(xué)”運動。兩種方法均是用來構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的，一個是局部，一個是整體。本章將概括介紹這兩種思想方法，從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)理論構(gòu)建的一般思想方法。§4.1公理化方法的歷史概述眾所周知，在長達一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展，特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德，總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識，以完全三段論

2、作為出發(fā)點，用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個不同格式的所有三段論，創(chuàng)立了人類歷史上第一個公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件。數(shù)學(xué)家歐幾里德以亞里斯多德演繹邏輯為工具，總結(jié)了人類長期以來所積累的大量幾何知識，于公元前300年代完成了他的名著幾何原本，幾何原本是演繹邏輯與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，因此，它的出現(xiàn)使演繹邏輯第一次成功地應(yīng)用于數(shù)學(xué)。反過來也推動了形式邏輯的大發(fā)展。歐幾里德幾何原本是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)史上被樹為劃時代的里程碑。而且成為以后很長時期嚴格證明的典范，人們還把嚴密的邏輯推理和完善的邏輯結(jié)構(gòu)看成是古典幾何成熟的標志。當(dāng)然，現(xiàn)在看

3、來由于受當(dāng)時整個科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的。所以后來稱它為公理化方法的初期階段。在公理化方法的初期階段，它的“嚴格性”也只是相對當(dāng)時的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過是借助于直觀等等。特別是第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個方面對它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反映了空間的性質(zhì)；其二、它本身很可能是一個定理。對于這兩個問題，人們從以下幾個方面進行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個與它等價而本身卻又是很自明的公設(shè)；三是換一個與它相反的公設(shè)。通過很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀中葉，意大利

4、數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來證明（將第五公設(shè)換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設(shè)就是一個定理，即不獨立于其它公理），并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問題。雖然薩克利的證明是錯誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）尚未導(dǎo)致矛盾，因而它與其他公理可能是協(xié)調(diào)的。一直到十九世紀，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作

5、都沒有發(fā)現(xiàn)矛盾，于是采用銳角假設(shè)的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統(tǒng)天下”的舊觀念對人們的束縛，使人們意識到邏輯上無矛盾并不只限于一種幾何，接著到了1854年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和大于180°）也成立的黎曼幾何系統(tǒng)，后來人們稱這兩種幾何為非歐幾何。非歐幾何產(chǎn)生后，還有兩方面的問題有待進一步解決。從邏輯方面看，雖然經(jīng)過大量的推導(dǎo)尚未導(dǎo)致矛盾，但并不等于永遠推不出矛盾。也就是說，這種邏輯無矛盾性還有待于從理論上得到嚴格證明；從實踐方面看，非歐幾何的客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說，非歐幾何到底到反映了哪種空間形式也沒有得到具體的解釋。到了十九世紀

6、五十年代，隨著微分幾何、射影幾何的進一步發(fā)展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。意大利的貝特拉米于1869年提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個解釋（歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線，球面上的點被解釋成黎曼幾何的點）。隨后，德國數(shù)學(xué)家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內(nèi)部構(gòu)造了一個羅氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個解釋，即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線，歐氏幾何的點解釋成羅氏平面上的點。由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型，因此非歐幾何的無矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無矛盾性，也就是說倘若歐氏幾何無矛盾，則非歐幾何也無矛盾，隨后不僅人們找到了非歐幾何

7、在天文學(xué)與相對論中的解釋和應(yīng)用，而且相繼發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立。于是，反過來歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證。從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的。為了進一步研究兩種幾何平行不悖，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對幾何基礎(chǔ)的研究，同時也促進了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實數(shù)理論的研究。從而導(dǎo)致了“分析算術(shù)化”方面的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實數(shù)理論之上，取代了直觀的幾何說明。由于對實數(shù)理論的研究，又推動了代數(shù)的重大變化，即由代數(shù)方程的求解導(dǎo)致了群論的產(chǎn)生，從而使代數(shù)的研究對象發(fā)生了質(zhì)的變化，逐漸變成一門研究各種代數(shù)運算系統(tǒng)形式

8、結(jié)構(gòu)的科學(xué)。由于形式化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過來又將幾何公理化方法的研究推向一個新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版的名著幾何基礎(chǔ)就是這個時期研究成果的突出代表。希爾伯特在他的幾何基礎(chǔ)中，放棄了歐幾里德幾何原本中公理的直觀顯然性，把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄，著眼于對象之間的聯(lián)系，強調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹?shù)男问交硐到y(tǒng)。從此公理化方法不僅是數(shù)學(xué)中一個重要方法，而且已被其他學(xué)科領(lǐng)域所采用。所以人們稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個里程碑。由于現(xiàn)代形式公理化方法的發(fā)展，需要研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)，從而就導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)理邏

9、輯的形成和發(fā)展。數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，在下列兩個方面發(fā)揮了巨大作用。其一，本世紀初以希爾伯特、哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來研究整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮，又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進一步發(fā)展的需要，反過來又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展，從而也就導(dǎo)致了證明論、模型論、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn)。特別是英國大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、和邏輯學(xué)家羅素于1902年發(fā)現(xiàn)集合論的悖論，震動了整個數(shù)學(xué)界，從而就促進了公理化集合論的形成和發(fā)展。集合論的公理化系統(tǒng)的出現(xiàn)，將形式公理化方法推向一個更高的階段。其二，為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景。電子計算機的出現(xiàn)就是突出的一例，這是因為電子計算機的設(shè)計需要研究如何用基本的邏輯運算去表示和

10、構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運算，這正是數(shù)理邏輯研究的一個基本課題。由于電子計算機的出現(xiàn)導(dǎo)致了機器證明及數(shù)學(xué)機械化方向的產(chǎn)生，從而使現(xiàn)代形式公理化方法又獲得到了一個新的用場。當(dāng)然，公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用一、公理化方法的邏輯特征公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā)，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來，從而使系統(tǒng)成為演繹體系，對于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個數(shù)最少，這三個方面構(gòu)成了公理化

11、方法的邏輯要求，此也是判別一個公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準則。（1）無矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性）無矛盾性要求在一個公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時推出命題與其否定命題，顯然，這是對公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無矛盾性呢？若想通過“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾”來證明是不可能的。為此，人們創(chuàng)造了一種特殊方法即解釋法或作模型法?；舅枷肴缦拢簩⒐硐档拿恳徊欢x的概念與對象的某一集合相對應(yīng)，而且要求對應(yīng)于不同概念的集合沒有公共元素，然后，使公理系的每一關(guān)系對應(yīng)著對應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋

12、域，公理系的每一命題可以用自然的方法對應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題。如果所得的命題為真，那么就稱公理系的命題在這個解釋下是真的，如果假，則在這個解釋下是假的，如果公理系的全部公理在這個解釋下均為真，那么這個解釋稱為所給公理系的模型。解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論的研究對象，本身同樣可以是公理化的，所以說，用解釋法能證明公理系的相對相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判斷，即是說解釋法實質(zhì)上是將一個公理系系統(tǒng)的無矛盾性證明化歸為另一個公理系統(tǒng)的無矛盾性的證明，是一種間接證明，克萊因就是采用這種方法將羅氏幾何的無矛盾性化歸為歐氏幾何的無矛盾性的。正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來得證

13、，本來并無疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑，迫使人們再去尋找歐氏幾何相容性的證明，由于解析幾何可以看成是實數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個解釋模型，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性的證明，而實數(shù)系統(tǒng)可建立在公理化集合論的基礎(chǔ)上，因此，實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性又化歸為集合論的無矛盾性證明，而后者經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力，至今尚未得到徹底解決。（2）獨立性獨立性要求在一個公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個公理都不能由其他公理推出。獨立性其實要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實質(zhì)上就是一個定理，在公理組中就是多余的，所以，獨立性要求公理組中公理數(shù)目最少。利

14、用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨立性問題，所謂公理系中公理的獨立性無非是指由其他公理既不能證實，也不能否定。因此，建立一個新的公理系，就是將公理換成它的否定,而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言在公理系中獨立，從而將獨立性問題化歸為相容性證明問題，而新公理系相容性證明可用解釋法。前述歐氏第五公設(shè)的獨立性由非歐幾何的相容性得到證明就是一例。（3）完備性完備性要求在一個公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系的所有模型或解釋

15、都彼此同構(gòu)，就稱這個公理系是完備的。所謂模型的同構(gòu)是指這個公理系的兩個模型與（這是為簡便計，假設(shè)給定的公理系中只有一個不定義的概念和一個不定義的關(guān)系。與是某兩個集合，與分別是這兩個集合中的關(guān)系）間存在一個雙射，使，當(dāng)且僅當(dāng)時成立。其中,在上述公理化方法的三個特征中，無矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨立性從理論上講，從完美簡練上講，應(yīng)該要求，因為公理和定理在整個系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點，定理是推出的，不能混在一塊。但是，即便是把一個定理不加證明地作為公理也不會出現(xiàn)什么“原則”錯誤，不會使公理系統(tǒng)產(chǎn)生矛盾，也不會影響公理體系的完備性，而且從數(shù)學(xué)角度講，根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展水平適當(dāng)將某些定理

16、當(dāng)作公理對待還可能有利于學(xué)生接受，因此，獨立性要求有時可降低。現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對象”被認為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。二、公理化方法的意義和作用公理化方法對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用，如在對公理化方法邏輯特征的研究中，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨立性產(chǎn)生的，元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的，等等。但由于公理體系要求滿足相容性、獨立性和完備性，這給公理化方法造成了很大局限性，使得它一般只能用于已經(jīng)發(fā)展到了一定成熟階段的學(xué)科分支，以揭示它的內(nèi)在規(guī)律，使

17、之系統(tǒng)化、邏輯化，所以，公理化方法一般只是重新建構(gòu)數(shù)學(xué)理論的方法。公理化方法的“整理”作用及其使理論構(gòu)建邏輯演繹體系的功能，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的，這使中學(xué)幾何成為大家公認為最有利于培養(yǎng)邏輯思維能力的科目。但正如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的，只是有實際內(nèi)容的公理體系”。現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過直觀描述引入點、直線和平面等基本概念，無形中賦予了它們直觀的、具體意義，又把那些顯而易見的、學(xué)生能夠認可的性質(zhì)如“經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線?！薄八新?lián)接兩點的線中，線段最短?！薄敖?jīng)過直線外一點，有且只有

18、一條直線與這條直線平行?！钡鹊茸鳛楣?，其他概念、性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來，即在學(xué)生可接受的情況下，充分體現(xiàn)公理化方法思想。§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介一、希爾伯特幾何基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)1、希爾伯特幾何公理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖基本性質(zhì)或公理結(jié)合公理順序公理合同公理平行公理連續(xù)公理基本對象或原始對象點、線、面幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng)結(jié)合關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系連續(xù)關(guān)系平行關(guān)系基本關(guān)系或原始關(guān)系2、希爾伯特幾何公理內(nèi)容及其簡要注釋結(jié)合公理L11：過不同兩點和，有且僅有一直線。L12：直線上至少有兩點，且至少有三點不在同一直線上。L13：過不在同一直線上的三點、，有且僅有一個平面。在每一個

19、平面上至少有三點。L14：如果一直線的兩點、在一個平面上，則該直線的每一點都在此平面上。L15：如果兩個平面有一個公共點，則它們至少還有另一個公共點。L16：至少有四點不在同一平面上。順序公理L21：若點位于點與點之間，則、為直線上的三個點，且位于與之間。L22：至少有一點位于任意兩點與作成的直線上，且位于、之間。L23：直線上的任意三點中，至少有一點位于其他兩點之間。L24：令、三點不在一直線上，又設(shè)直線位于、三點所在的平面上，但不通過、或。如果穿過線段中的一個點，則必穿過線段或中的一條上的一個點。合同公理L31：若、為一直線上的兩個點，為直線上或另一直線上的一個點，則在 的給定一側(cè)必可在或

20、上找到點，使得線段合同于線段。記作。L32：和都與合同，則與 也合同，即若 =。L33：令與為直線上無公共內(nèi)點的兩個線段。如果與為直線上無公共內(nèi)點的線段，如果且，則。L34：令為平面上過點的兩射線與所構(gòu)成的一角，又令是平面上過的一條射線，則過在的一側(cè)恰有一條射線 ，使得合同于。每個角皆與自己合同。L35：設(shè) 與為兩個三角形，如果，且，則必有。注 由此公理還可推出。平行公理設(shè)為一直線，為不在上的一個點，則在與所在的平面上過點至多有一條直線與不相交。注 過點在上至少有一直線與不相交可由其余公理推出，所以不必列為公理。連續(xù)公理L51：若與為任意兩個線段，則在直線上存在一組點 使得，都合同于，且使位于

21、和之間。注 其實可使位于和之間，又因是任意的，且，這表明與可以任意靠近，故由此可推得：存在點列，使得。倘若將直線上的線段長度用數(shù)來表示，上述公理就變成實數(shù)理論中的阿基米德公理。即對任意兩個正數(shù)與，必存在一個自然數(shù)，使得。L52：凡滿足結(jié)合公理一、順序公理、合同公理及連續(xù)公理的直線上的一切點構(gòu)成的點集不可能再擴大。注 本公理稱為線性完備公理或康托公理，它刻畫了直線上的點和所有實數(shù)可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。二、集合論公理系統(tǒng)公理系統(tǒng)1、公理系統(tǒng)形成簡介自從集合論中的羅素悖論出現(xiàn)后，很多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論的改進工作，特別突出的是著名德國數(shù)學(xué)家策墨羅，他于1908年首先提出他的改進方案，即策墨羅

22、集合論公理系統(tǒng)。后經(jīng)弗蘭克、史柯倫等人的改進，于1921-1923年間逐漸形成了一個嚴格的形式化集合論公理系統(tǒng)，這就是著名的公理系統(tǒng)。在公理系統(tǒng)中加上選擇公理，便是今天的公理系統(tǒng)。2、公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖（ZFC）集合論公理系統(tǒng)基本對象和原始對象基本關(guān)系和原始關(guān)系基本性質(zhì)或公理“集”及它的“元素”“集”及它的“元素”的隸屬關(guān)系“”外延公理 空集公理對偶公理 并集公理子集公理 冪集公理無窮公理 正則公理代換公理 選擇公理3、公理的內(nèi)容及其簡要注釋外延性公理：如果兩個集合與包含有完全相同的元素，則它們必相等，反之亦真，用符合表示為：注 本公理表明，一個集合完全由元素確定，所以人們也稱它為確定性公理。對

23、偶公理：對任何兩個不同集合與，在存在一個集合，使得恰以和為其元素。用符號表示為：注 本公理亦稱無序?qū)恚吣_稱它為基本集合公理?？占恚捍嬖谝粋€不包含任何元素的集合。用符號表示為：注 本定理保證存在不含任何元素的集，同時用外延公理還可證明空集 是唯一的。并集公理：對任何集合，存在一個集合，使中的元素恰好是中元素的全體元素。用符號表示為：注 本公理也稱和集合理。例如，則必存在集合，使得。子集公理：設(shè)是一個集合：是一個公式，則必存在一個子集合，使得中的元素恰好由中且滿足的元素所組成，簡記為：注 子集公理亦稱分離公理，因為集合中的元素是由集合中的元素利用條件分離出來的。即集合是集合中挖出來的一

24、部分。冪集公理：對任何集合，存在一個集合，使得中的元素恰好是中元素所組成的子集的全體。用符號表示為：無窮公理：存在一個包含有無窮多個元素的集合。注 用并集公理和無窮公理可定義自然數(shù)和自然數(shù)集合。代換公理：在任意集合中的每一個元素，頂多被非中一元素（如果有的話）代換，而中被代換了的那些元素構(gòu)成一個集合。正則公理：每個非空集合必存在元素,使得與的交集是空集，即選擇公理：設(shè)是一個滿足下列條件的集合：（）的每一個元素都是非空集合；（）中任意兩個元素都相不相交，即則存在集合，使得中的元素恰好由中每一個元素中的僅一個元素組成。例如：則有。顯然這樣的不是唯一的。注 選擇公理是策墨羅于1904年為證明整序定理

25、而提出來的，到目前人們已發(fā)現(xiàn)有二十余種等價形式，選擇公理的提出對近代數(shù)學(xué)的發(fā)展和邏輯的嚴密性起了很大的推動作用，而且它幾乎滲透到每一個數(shù)學(xué)分支。比如，數(shù)學(xué)分析中很多等價命題的證明（例如聚點、極限等概念的等價定義的證明）都要以它為根據(jù)。4、公理系統(tǒng)的特點、意義和作用首先，公理系統(tǒng)是一個完全形式化的抽象公理系統(tǒng)，也就是說它的結(jié)構(gòu)表達形式完全已符號化。其次，十條公理可概括為三類：即外延原則，它的主要作用是保證集合的唯一性；概括原則，它的主要作用是解決的構(gòu)造集合的問題；選擇原則，它的主要作用是解決選擇集合的問題。最后，公理系統(tǒng)為分析學(xué)奠定了嚴格地理論基礎(chǔ)。例如在無窮公理和并集公理的基礎(chǔ)上可以嚴格的建立

26、自然數(shù)、自然數(shù)集合及自然數(shù)理論；在冪集公理基礎(chǔ)上可以引出實數(shù)系；在子集公理基礎(chǔ)上可以討論實數(shù)的任何子集及其性質(zhì)等。由此可見，只要公理系統(tǒng)無矛盾，那么實數(shù)理論也就無矛盾。然而，盡管至今公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但這種無矛盾性還沒有得到嚴格的理論證明。正如彭加萊所說：“我們設(shè)置柵欄，把羊群圍住，免受狼的侵襲，但是很可能在圍柵欄時就有一條狼被圍在其中了”，而且根據(jù)哥德爾不完全性定理，公理系統(tǒng)本身不可能證明自己是無矛盾的，即它的無矛盾性只有借助外系統(tǒng)來證明。三、自然數(shù)公理系統(tǒng)1、自然數(shù)公理化的提出數(shù)學(xué)顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)，人們皆知自然數(shù)來自實踐，而且是數(shù)學(xué)的起步點。然而，由自然數(shù)的產(chǎn)生直到十九世紀末

27、，在這個漫長的歷史時期卻很少有人對自然數(shù)的理論奠基工作進行過專門的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及數(shù)學(xué)中悖論的出現(xiàn)，才迫使人們反過頭來進一步研究數(shù)學(xué)的起點，即自然數(shù)的理論奠基工作，尋求建立自然數(shù)的公理化方法。自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的算術(shù)原理：新的論述方法中所提出的公理化方法。下面我們給以簡要介紹。 2、皮亞諾自然數(shù)公理化方法內(nèi)容及其簡要注釋（1）原始（或基本）概念。（i）原始對象：自然數(shù)1、自然數(shù)集。（ii）原始關(guān)系：后繼數(shù)（例如3是2的后繼數(shù)）或后繼函數(shù)。（2）公理組（i）每個自然數(shù)都有直接后繼它的數(shù) ，即 或 這條公

28、理表明，自然數(shù)具有離散性，此性質(zhì)是自然數(shù)的一個重要特征。（ii）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，即或這條公理保證了自然數(shù)集有首元素，即自然數(shù)集是一個良序集。（iii）每一個自然數(shù)不存在多于一個直接后繼它的自然數(shù)，即（iv）每一個自然數(shù)都不直接后繼多于一個自然數(shù)，即（v）任何一個自然數(shù)集，若具有性質(zhì)：a）b）如果 ，那么 則自然數(shù)集包含了所有的自然數(shù)。也就是說自然數(shù)集與自然數(shù)集相等，即此公理稱為歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)和根據(jù)。建立在自然數(shù)歸納公理基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)歸納法的主要邏輯特征是，將一個無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，其具體邏輯結(jié)構(gòu)陳述于下：論證：（要證所有自然數(shù)具有性質(zhì)P）。證明第一

29、步（直接驗證）。第二步 （由假設(shè)任一個自然數(shù)具有性質(zhì)P能推出它的直接后繼 也必具有性質(zhì)P）。第三步 （第1、2步合取即得結(jié)論）。3、對皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特征的補充說明前面我們曾提到過哥德爾不完備性定理，從理論上證明了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個不完備的公理系統(tǒng)，最近英國青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人，在組合論中發(fā)現(xiàn)了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能肯定又不能否定的一個純粹組合問題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個具體實例。哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性在本系統(tǒng)內(nèi)通過有限步驟是無法證明的。但是，數(shù)理邏輯學(xué)家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統(tǒng)外，依據(jù)超窮歸納法用超窮步驟證明了皮亞諾公理系統(tǒng)的相

30、容性。§4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法一、結(jié)構(gòu)方法簡述19世紀至20世紀初，數(shù)學(xué)得到了前所未有的高速發(fā)展，研究領(lǐng)域越來越廣，數(shù)學(xué)這棵生長樹越長越茂密，樹岔越分越細，從而數(shù)學(xué)顯得越來越龐雜無序，使得即便是造詣高深的數(shù)學(xué)家也無法全局把握、透視，面對這種發(fā)展趨勢，于是數(shù)學(xué)界一個有意義的課題就應(yīng)運而生，那就是，用統(tǒng)一的觀點去處理這“龐雜”的內(nèi)容，使之“有序”。對于數(shù)學(xué)的局部內(nèi)容，這個想法可以實現(xiàn)，如德國數(shù)學(xué)家克萊茵利用“群論”觀點統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué)（此即愛爾朗根綱領(lǐng)），美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkhoff,G.D.1884-1944）用“格”的概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)的理論，那么，對于整個數(shù)學(xué)而言，能

31、否采用某種統(tǒng)一觀點將其重新整理呢？20世紀初，法國一批杰出的年輕數(shù)學(xué)家在愛爾朗根計劃的啟示下，于1933年成立了以尼古拉布爾巴基（Nocholas Bourbaki）為名的數(shù)學(xué)家集體，其行動目標就是從整個數(shù)學(xué)全局出發(fā)，以集合論為基礎(chǔ)，運用形式公理化方法，重新整理各個數(shù)學(xué)分支，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造。其基本出發(fā)點是：數(shù)學(xué)是研究形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來統(tǒng)一分割和歸類。這個集體不僅要求正式成員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好，善于創(chuàng)新，而且年齡不能超過50歲，他們經(jīng)常組織討論班和研究會，集思廣益，協(xié)作探索，1936年正式向法國政府申請科學(xué)基金，并以布爾巴基名義發(fā)表眾多成果和出版系列專著數(shù)學(xué)原理，他們

32、著作的獨特觀點和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號，其思想即是結(jié)構(gòu)主義，是用結(jié)構(gòu)方法處理數(shù)學(xué)。具體說來就是，利用形式公理法化方法抽象出各種數(shù)學(xué)分支各種結(jié)構(gòu)，找出各數(shù)學(xué)分支之間的結(jié)構(gòu)差異，從而獲得各數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的清晰圖像。顯然，它可以看作是現(xiàn)代形式公理方法的一種發(fā)展，因為，形式公理化方法是著眼于某一門數(shù)學(xué)的形式公理化或者結(jié)構(gòu)化，結(jié)構(gòu)的思想方法則是以現(xiàn)代形式公理化方法為工具，著眼于整個數(shù)學(xué)全局去看待各個數(shù)學(xué)分支，即不僅要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，而且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)的差異及其內(nèi)在聯(lián)系。他們首先通過抽象分析法，建立了三種基本結(jié)構(gòu)，也稱母結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)，然

33、后以這三個母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照結(jié)構(gòu)之間的“不同”關(guān)系，交叉產(chǎn)生新結(jié)構(gòu)，從而，使得數(shù)學(xué)由一個分支結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到另一個分支結(jié)構(gòu)，有層次地一直延伸出去，形成整個數(shù)學(xué)。正如他們所說：“數(shù)學(xué)好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一個個已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論體系，城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點雜亂無章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長著的數(shù)學(xué)分支，與此同時，市中心又在時時重建，每次都是根據(jù)構(gòu)思更加清晰的計劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，”二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡介1、結(jié)構(gòu)的概念我們稱由集合組成的集合為集族，稱集合的全部子集

34、構(gòu)成的集族為集合的冪集。所有序?qū)M成的集合，稱為集合的笛卡爾積，其中。對于給定的一個集族 A，從這個集族出發(fā)，利用形成冪集和笛卡爾積的運算，按下列方式可以作出所謂A上的等級：（1）集族 A 上的所有集合是 A上的等級；（2）若是A上的等級，則也是A上的等級；（3）若是A上的等級，則 也是A上的等級；（4）不存在其他形式的 A上的等級。我們把 A上全部等級的并集叫做以 A為基的（或A上的）集合的等級表。例如設(shè)是某一集合，則集合 等都是上的等級。屬于在集族A上建立起來的集合等級表中一個等級的某一元素，叫做在這一集族上的結(jié)構(gòu)。顯然，集族A的集合中的每一元素是在這些集合上的結(jié)構(gòu)(A的每一個集合即等級表

35、的一個等級)；等級表的任一等級是結(jié)構(gòu)，（等級是的元素），集族A中的集合與之間的任一對應(yīng)是A上的結(jié)構(gòu)（與之間的對應(yīng)通過指定，并且的全部序?qū)Χ耆o出。而這些序?qū)Φ募鲜堑芽柗e的子集，即是的元素）。在數(shù)學(xué)中研究的不是個別的結(jié)構(gòu)（即不是屬于A上等級表中某一等級的個別元素），而是結(jié)構(gòu)的種類（由具有同一公理體系的全部結(jié)構(gòu)組成）。2、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體實例下面以抽象群理論來具體說明結(jié)構(gòu)是怎樣產(chǎn)生和如何確定一個結(jié)構(gòu)。首先讓我們考察三種運算：（1）實數(shù)的加法：實數(shù)的和按通常的方法確定。（2）整數(shù)“按模素數(shù)”的乘法 ：兩數(shù)的“乘積”定義為兩數(shù)通常的乘積除以的余數(shù)。（3）在三維歐氏空間中的位移“合成”：兩個位移（按

36、這個順序）的“合成”（或“乘積”）定義為執(zhí)行第一個位移后再執(zhí)行第二個位移 所得到的位移。在三種不同的運算中，用統(tǒng)一符號“”表示運算，用表示兩個元素通過運算后確定的第三個元素，那么具體分析這三種不同運算的“運算性質(zhì)”，會發(fā)現(xiàn)它們之間具有一種“明顯的平行性”（即類似性、對應(yīng)性）。從中可以選出互相獨立的少數(shù)幾個性質(zhì)作為這三種運算的“共同性質(zhì)”。如（i） 對于所有的元素有(ii)存在一個元素，使得對于每一個元素，有 (iii) 對應(yīng)于每一元素，存在一個元素，使得由此看出，對這三種不同的運算，借助于統(tǒng)一的記號可以用相同的方式表達它們之間的“平行的”運算性質(zhì)。這種表達的優(yōu)點在于，在推理的過程中不必考慮元素

37、的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運算具有性質(zhì)“(i)、(ii)、(iii)”這個前提。這樣，就可以引出相應(yīng)的運算結(jié)構(gòu)，群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運算，且具有三個性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)的一種結(jié)構(gòu)。其中性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)叫做群結(jié)構(gòu)的公理，展開這些公理的推論就構(gòu)成群的理論。顯然，群理論較之“實數(shù)加”、“整數(shù)模”、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個。這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在。由上述分析看出，具體而言結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關(guān)系，一個抽象的集合只不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)，但引進了關(guān)系，就形成了結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)系是重要的，它就代表一種結(jié)

38、構(gòu)。3、三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡介（1） 代數(shù)結(jié)構(gòu) 先從代數(shù)運算談起，所謂非空集X中的n元代數(shù)運算指到X的一個映射 叫做運算的階。最常用的代數(shù)運算是二元代數(shù)運算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運算。序?qū)υ诖鷶?shù)運算下的象記作，顯然，中的二元代數(shù)運算給出了中的一個三元關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)時，三元序組滿足這個關(guān)系。而三元序組的集合是笛卡爾積的子集，是的元素，故二元運算可以視為一種結(jié)構(gòu)。若非空集中的代數(shù)運算記為，則序?qū)头Q為一個代數(shù)，即定義了運算的集合。代數(shù)的例子很多，如等。如果再給代數(shù)加上一定的公理，那它就構(gòu)成各種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。如加上群公理、環(huán)公理、域公理等就分別構(gòu)成群、環(huán)、域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu)，再以群為例具體說明之；例1 群

39、結(jié)構(gòu)二元序?qū)ΨQ為群，是指它滿足如下公理： 中的元素關(guān)于代數(shù)運算滿足結(jié)合律，即，有 中存單位元：即 ,使得，有 中每一個元素，都在中存在逆元，即 可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理，的二元代數(shù)運算的非空集合。例2 幾個具體的群（1）整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集關(guān)于通常加法分別構(gòu)成群、。（2）正有理數(shù)集關(guān)于通常乘法構(gòu)成群。（3）有理數(shù)域上的一元多項式集合關(guān)于通常多項式加法構(gòu)成群。（4）集合關(guān)于矩陣加法構(gòu)成群?？梢姡鷶?shù)結(jié)構(gòu)是由運算關(guān)系確定的結(jié)構(gòu)。（2） 序結(jié)構(gòu)集合A中的一個序是指A中規(guī)定的某些元素之間的一種關(guān)系“”，如自然數(shù)集中定義的“小于”關(guān)系，這個關(guān)系通過指定使的全部序?qū)Χ煌耆_定，

40、這些序?qū)Φ募鲜堑芽柗e的子集，即是的元素，因此，集中的小于關(guān)系是利用中的元素來確定的，故可視為結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)就稱為序結(jié)構(gòu)。常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)，建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)）。半序集：如果的元素之間定義了一個關(guān)系“”，它滿足如下公理：（i）自反性，對中的一切元素,有;(ii)反對稱性，若；（iii）傳遞性，若則。則稱為半序集，這個關(guān)系為半序關(guān)系。例 集合之間的包含關(guān)系系“”顯然滿足“三性”：；若則；若則，故冪集可以看成是一種半序集（結(jié)構(gòu)）。例 自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因為能被自身整除；若能整除能整除,則;若能整除能整除,則也能

41、整除,自然數(shù)集是一種半序結(jié)構(gòu)。例 對定義在區(qū)間上的函數(shù)集，定義其上大小關(guān)系如下：若對于任一 ，都有，則稱不大于。這一大小關(guān)系也是半序關(guān)系。該函數(shù)是一種半序結(jié)構(gòu)。全序集：滿足下列可比性條件（iv）的半序集稱為全序集；(iv)中的任意兩個元素或至少有一個成立。例 一冪集中的包含關(guān)系不具有可比性，故不是全序集。例 不難驗證，數(shù)集，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。因為像和這兩個元素，整除或整除均不成立，故不符合(iv)，但是，容易驗證，自然數(shù)集關(guān)于“”關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。例 實數(shù)集關(guān)于大小關(guān)系“”構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)?？梢?，序結(jié)構(gòu)是由次序關(guān)系所確定的結(jié)構(gòu)。（）拓撲結(jié)構(gòu)集合內(nèi)

42、的拓撲是由開子集族給出的，即由的某一元素給出的，它滿足公理： 此時，我們把二元有序組稱為拓撲空間。有時，空間的拓撲是由鄰域系描述的。的一些子集組成的集族稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時，就稱 為 X的一個拓撲結(jié)構(gòu)；（i）中的任一元素在中有一個使 。（ii）中的任一元素，若在中有使，則。(iii)若是的一個子集，而中元素（iv）中的元素，對中任一含，若有，則必存在 ，使，且。我們可以應(yīng)用鄰域系來刻劃收斂的特性，因為鄰域公理中的(ii)與(iv)能保證選取一串越來越小的鄰域，使之以為極限。所以，拓樸結(jié)構(gòu)常被說成是能夠描述極限的那種結(jié)構(gòu)。從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過增加一個或幾個新公理，就可以

43、得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu)。例如，從一般的群論出發(fā)，加上群的元素是有限的這一公理，就得到有限群結(jié)構(gòu)。母結(jié)構(gòu)的有機結(jié)合也可產(chǎn)生多重結(jié)構(gòu)。這樣，遵循從一般到特殊，從簡單到復(fù)雜的原則，一層一層地構(gòu)造下去，就可得到許許多多獨特的結(jié)構(gòu)及其理論。從而，可把古典數(shù)學(xué)作某種統(tǒng)一，給整個數(shù)學(xué)一種概括。在20世紀的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，布爾巴基學(xué)派起著承前啟后的作用，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極大的影響，在問題解決中有重要作用。布爾巴基學(xué)派認為真正能反映數(shù)學(xué)特點及本質(zhì)的東西是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，他們把數(shù)學(xué)看成是以結(jié)構(gòu)為對象的科學(xué)，這種觀點是與辯證唯物論是一致的。這是因為：結(jié)構(gòu)方法否定了數(shù)學(xué)知識的先驗觀點，主張結(jié)構(gòu)來源于人們實踐的經(jīng)驗，正確地描述了數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)概念的抽象過程。如代數(shù)結(jié)構(gòu)運算來自數(shù)量關(guān)系；序結(jié)構(gòu)先后來自時間觀念；拓撲結(jié)構(gòu)連續(xù)性來自空間經(jīng)驗。結(jié)構(gòu)方法用整體的觀點看數(shù)學(xué)，著眼于數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系，說明了是什么使數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來并使它有多樣性。結(jié)構(gòu)方法用變化觀點看數(shù)學(xué)，主張結(jié)構(gòu)不是一成不變的。結(jié)構(gòu)方法還主張數(shù)學(xué)的真理性最終要用科學(xué)的實踐來檢驗，用科學(xué)上的成功經(jīng)驗支持結(jié)構(gòu)觀點。結(jié)構(gòu)方法的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實現(xiàn)一種重要的“思維經(jīng)濟”，以往數(shù)學(xué)家為了解決一個