《數(shù)學(xué)方法論》數(shù)學(xué)中的公理化方法與結(jié)構(gòu)方法

1、數(shù)學(xué)方法論教案第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法與結(jié)構(gòu)方法公理化方法在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對(duì)各門現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點(diǎn)曾導(dǎo)致一場(chǎng)幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運(yùn)動(dòng)，即“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)。兩種方法均是用來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的，一個(gè)是局部，一個(gè)是整體。本章將概括介紹這兩種思想方法，從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)理論構(gòu)建的一般思想方法。§4.1公理化方法的歷史概述眾所周知，在長(zhǎng)達(dá)一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展，特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德，總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識(shí)，以完全三段論

2、作為出發(fā)點(diǎn)，用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個(gè)不同格式的所有三段論，創(chuàng)立了人類歷史上第一個(gè)公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件。數(shù)學(xué)家歐幾里德以亞里斯多德演繹邏輯為工具，總結(jié)了人類長(zhǎng)期以來(lái)所積累的大量幾何知識(shí)，于公元前300年代完成了他的名著幾何原本，幾何原本是演繹邏輯與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，因此，它的出現(xiàn)使演繹邏輯第一次成功地應(yīng)用于數(shù)學(xué)。反過(guò)來(lái)也推動(dòng)了形式邏輯的大發(fā)展。歐幾里德幾何原本是有史以來(lái)用公理化思想方法建立起來(lái)的第一門演繹數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)史上被樹為劃時(shí)代的里程碑。而且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證明的典范，人們還把嚴(yán)密的邏輯推理和完善的邏輯結(jié)構(gòu)看成是古典幾何成熟的標(biāo)志。當(dāng)然，現(xiàn)在看

3、來(lái)由于受當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的。所以后來(lái)稱它為公理化方法的初期階段。在公理化方法的初期階段，它的“嚴(yán)格性”也只是相對(duì)當(dāng)時(shí)的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過(guò)是借助于直觀等等。特別是第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個(gè)方面對(duì)它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反映了空間的性質(zhì)；其二、它本身很可能是一個(gè)定理。對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，人們從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個(gè)與它等價(jià)而本身卻又是很自明的公設(shè)；三是換一個(gè)與它相反的公設(shè)。通過(guò)很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀(jì)中葉，意大利

4、數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來(lái)證明（將第五公設(shè)換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設(shè)就是一個(gè)定理，即不獨(dú)立于其它公理），并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問(wèn)題。雖然薩克利的證明是錯(cuò)誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說(shuō)，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯(cuò)誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）尚未導(dǎo)致矛盾，因而它與其他公理可能是協(xié)調(diào)的。一直到十九世紀(jì)，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作

5、都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)矛盾，于是采用銳角假設(shè)的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統(tǒng)天下”的舊觀念對(duì)人們的束縛，使人們意識(shí)到邏輯上無(wú)矛盾并不只限于一種幾何，接著到了1854年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和大于180°）也成立的黎曼幾何系統(tǒng)，后來(lái)人們稱這兩種幾何為非歐幾何。非歐幾何產(chǎn)生后，還有兩方面的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決。從邏輯方面看，雖然經(jīng)過(guò)大量的推導(dǎo)尚未導(dǎo)致矛盾，但并不等于永遠(yuǎn)推不出矛盾。也就是說(shuō)，這種邏輯無(wú)矛盾性還有待于從理論上得到嚴(yán)格證明；從實(shí)踐方面看，非歐幾何的客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說(shuō)，非歐幾何到底到反映了哪種空間形式也沒(méi)有得到具體的解釋。到了十九世紀(jì)

6、五十年代，隨著微分幾何、射影幾何的進(jìn)一步發(fā)展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。意大利的貝特拉米于1869年提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個(gè)解釋（歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線，球面上的點(diǎn)被解釋成黎曼幾何的點(diǎn)）。隨后，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內(nèi)部構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個(gè)解釋，即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線，歐氏幾何的點(diǎn)解釋成羅氏平面上的點(diǎn)。由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型，因此非歐幾何的無(wú)矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無(wú)矛盾性，也就是說(shuō)倘若歐氏幾何無(wú)矛盾，則非歐幾何也無(wú)矛盾，隨后不僅人們找到了非歐幾何

7、在天文學(xué)與相對(duì)論中的解釋和應(yīng)用，而且相繼發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立。于是，反過(guò)來(lái)歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證。從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的。為了進(jìn)一步研究?jī)煞N幾何平行不悖，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對(duì)幾何基礎(chǔ)的研究，同時(shí)也促進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論的研究。從而導(dǎo)致了“分析算術(shù)化”方面的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實(shí)數(shù)理論之上，取代了直觀的幾何說(shuō)明。由于對(duì)實(shí)數(shù)理論的研究，又推動(dòng)了代數(shù)的重大變化，即由代數(shù)方程的求解導(dǎo)致了群論的產(chǎn)生，從而使代數(shù)的研究對(duì)象發(fā)生了質(zhì)的變化，逐漸變成一門研究各種代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)形式

8、結(jié)構(gòu)的科學(xué)。由于形式化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過(guò)來(lái)又將幾何公理化方法的研究推向一個(gè)新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版的名著幾何基礎(chǔ)就是這個(gè)時(shí)期研究成果的突出代表。希爾伯特在他的幾何基礎(chǔ)中，放棄了歐幾里德幾何原本中公理的直觀顯然性，把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無(wú)關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄，著眼于對(duì)象之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng)。從此公理化方法不僅是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要方法，而且已被其他學(xué)科領(lǐng)域所采用。所以人們稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。由于現(xiàn)代形式公理化方法的發(fā)展，需要研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)，從而就導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)理邏

9、輯的形成和發(fā)展。數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，在下列兩個(gè)方面發(fā)揮了巨大作用。其一，本世紀(jì)初以希爾伯特、哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮，又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展的需要，反過(guò)來(lái)又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展，從而也就導(dǎo)致了證明論、模型論、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn)。特別是英國(guó)大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、和邏輯學(xué)家羅素于1902年發(fā)現(xiàn)集合論的悖論，震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，從而就促進(jìn)了公理化集合論的形成和發(fā)展。集合論的公理化系統(tǒng)的出現(xiàn)，將形式公理化方法推向一個(gè)更高的階段。其二，為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)就是突出的一例，這是因?yàn)殡娮佑?jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)需要研究如何用基本的邏輯運(yùn)算去表示和

10、構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運(yùn)算，這正是數(shù)理邏輯研究的一個(gè)基本課題。由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)導(dǎo)致了機(jī)器證明及數(shù)學(xué)機(jī)械化方向的產(chǎn)生，從而使現(xiàn)代形式公理化方法又獲得到了一個(gè)新的用場(chǎng)。當(dāng)然，公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用一、公理化方法的邏輯特征公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā)，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來(lái)，從而使系統(tǒng)成為演繹體系，對(duì)于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個(gè)數(shù)最少，這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化

11、方法的邏輯要求，此也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則。（1）無(wú)矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性）無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題與其否定命題，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性呢？若想通過(guò)“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒(méi)有矛盾”來(lái)證明是不可能的。為此，人們創(chuàng)造了一種特殊方法即解釋法或作模型法。基本思想如下：將公理系的每一不定義的概念與對(duì)象的某一集合相對(duì)應(yīng)，而且要求對(duì)應(yīng)于不同概念的集合沒(méi)有公共元素，然后，使公理系的每一關(guān)系對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋

12、域，公理系的每一命題可以用自然的方法對(duì)應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題。如果所得的命題為真，那么就稱公理系的命題在這個(gè)解釋下是真的，如果假，則在這個(gè)解釋下是假的，如果公理系的全部公理在這個(gè)解釋下均為真，那么這個(gè)解釋稱為所給公理系的模型。解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論的研究對(duì)象，本身同樣可以是公理化的，所以說(shuō)，用解釋法能證明公理系的相對(duì)相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判斷，即是說(shuō)解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系系統(tǒng)的無(wú)矛盾性證明化歸為另一個(gè)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，是一種間接證明，克萊因就是采用這種方法將羅氏幾何的無(wú)矛盾性化歸為歐氏幾何的無(wú)矛盾性的。正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來(lái)得證

13、，本來(lái)并無(wú)疑問(wèn)的歐氏幾何相容性問(wèn)題也引起了人們的懷疑，迫使人們?cè)偃ふ覛W氏幾何相容性的證明，由于解析幾何可以看成是實(shí)數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個(gè)解釋模型，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，而實(shí)數(shù)系統(tǒng)可建立在公理化集合論的基礎(chǔ)上，因此，實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性又化歸為集合論的無(wú)矛盾性證明，而后者經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家們的努力，至今尚未得到徹底解決。（2）獨(dú)立性獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個(gè)公理都不能由其他公理推出。獨(dú)立性其實(shí)要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理，在公理組中就是多余的，所以，獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目最少。利

14、用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨(dú)立性問(wèn)題，所謂公理系中公理的獨(dú)立性無(wú)非是指由其他公理既不能證實(shí)，也不能否定。因此，建立一個(gè)新的公理系，就是將公理?yè)Q成它的否定,而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言在公理系中獨(dú)立，從而將獨(dú)立性問(wèn)題化歸為相容性證明問(wèn)題，而新公理系相容性證明可用解釋法。前述歐氏第五公設(shè)的獨(dú)立性由非歐幾何的相容性得到證明就是一例。（3）完備性完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過(guò)少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系的所有模型或解釋

15、都彼此同構(gòu)，就稱這個(gè)公理系是完備的。所謂模型的同構(gòu)是指這個(gè)公理系的兩個(gè)模型與（這是為簡(jiǎn)便計(jì)，假設(shè)給定的公理系中只有一個(gè)不定義的概念和一個(gè)不定義的關(guān)系。與是某兩個(gè)集合，與分別是這兩個(gè)集合中的關(guān)系）間存在一個(gè)雙射，使，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。其中,在上述公理化方法的三個(gè)特征中，無(wú)矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨(dú)立性從理論上講，從完美簡(jiǎn)練上講，應(yīng)該要求，因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點(diǎn)，定理是推出的，不能混在一塊。但是，即便是把一個(gè)定理不加證明地作為公理也不會(huì)出現(xiàn)什么“原則”錯(cuò)誤，不會(huì)使公理系統(tǒng)產(chǎn)生矛盾，也不會(huì)影響公理體系的完備性，而且從數(shù)學(xué)角度講，根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展水平適當(dāng)將某些定理

16、當(dāng)作公理對(duì)待還可能有利于學(xué)生接受，因此，獨(dú)立性要求有時(shí)可降低?，F(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對(duì)象”被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。二、公理化方法的意義和作用公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用，如在對(duì)公理化方法邏輯特征的研究中，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨(dú)立性產(chǎn)生的，元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的，等等。但由于公理體系要求滿足相容性、獨(dú)立性和完備性，這給公理化方法造成了很大局限性，使得它一般只能用于已經(jīng)發(fā)展到了一定成熟階段的學(xué)科分支，以揭示它的內(nèi)在規(guī)律，使

17、之系統(tǒng)化、邏輯化，所以，公理化方法一般只是重新建構(gòu)數(shù)學(xué)理論的方法。公理化方法的“整理”作用及其使理論構(gòu)建邏輯演繹體系的功能，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的，這使中學(xué)幾何成為大家公認(rèn)為最有利于培養(yǎng)邏輯思維能力的科目。但正如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的，只是有實(shí)際內(nèi)容的公理體系”。現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過(guò)直觀描述引入點(diǎn)、直線和平面等基本概念，無(wú)形中賦予了它們直觀的、具體意義，又把那些顯而易見的、學(xué)生能夠認(rèn)可的性質(zhì)如“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線?！薄八新?lián)接兩點(diǎn)的線中，線段最短?！薄敖?jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有

18、一條直線與這條直線平行。”等等作為公理，其他概念、性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來(lái)，即在學(xué)生可接受的情況下，充分體現(xiàn)公理化方法思想。§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介一、希爾伯特幾何基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)1、希爾伯特幾何公理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖基本性質(zhì)或公理結(jié)合公理順序公理合同公理平行公理連續(xù)公理基本對(duì)象或原始對(duì)象點(diǎn)、線、面幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng)結(jié)合關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系連續(xù)關(guān)系平行關(guān)系基本關(guān)系或原始關(guān)系2、希爾伯特幾何公理內(nèi)容及其簡(jiǎn)要注釋結(jié)合公理L11：過(guò)不同兩點(diǎn)和，有且僅有一直線。L12：直線上至少有兩點(diǎn)，且至少有三點(diǎn)不在同一直線上。L13：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)、，有且僅有一個(gè)平面。在每一個(gè)

19、平面上至少有三點(diǎn)。L14：如果一直線的兩點(diǎn)、在一個(gè)平面上，則該直線的每一點(diǎn)都在此平面上。L15：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們至少還有另一個(gè)公共點(diǎn)。L16：至少有四點(diǎn)不在同一平面上。順序公理L21：若點(diǎn)位于點(diǎn)與點(diǎn)之間，則、為直線上的三個(gè)點(diǎn)，且位于與之間。L22：至少有一點(diǎn)位于任意兩點(diǎn)與作成的直線上，且位于、之間。L23：直線上的任意三點(diǎn)中，至少有一點(diǎn)位于其他兩點(diǎn)之間。L24：令、三點(diǎn)不在一直線上，又設(shè)直線位于、三點(diǎn)所在的平面上，但不通過(guò)、或。如果穿過(guò)線段中的一個(gè)點(diǎn)，則必穿過(guò)線段或中的一條上的一個(gè)點(diǎn)。合同公理L31：若、為一直線上的兩個(gè)點(diǎn)，為直線上或另一直線上的一個(gè)點(diǎn)，則在 的給定一側(cè)必可在或

20、上找到點(diǎn)，使得線段合同于線段。記作。L32：和都與合同，則與 也合同，即若 =。L33：令與為直線上無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的兩個(gè)線段。如果與為直線上無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的線段，如果且，則。L34：令為平面上過(guò)點(diǎn)的兩射線與所構(gòu)成的一角，又令是平面上過(guò)的一條射線，則過(guò)在的一側(cè)恰有一條射線 ，使得合同于。每個(gè)角皆與自己合同。L35：設(shè) 與為兩個(gè)三角形，如果，且，則必有。注 由此公理還可推出。平行公理設(shè)為一直線，為不在上的一個(gè)點(diǎn)，則在與所在的平面上過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與不相交。注 過(guò)點(diǎn)在上至少有一直線與不相交可由其余公理推出，所以不必列為公理。連續(xù)公理L51：若與為任意兩個(gè)線段，則在直線上存在一組點(diǎn) 使得，都合同于，且使位于

21、和之間。注 其實(shí)可使位于和之間，又因是任意的，且，這表明與可以任意靠近，故由此可推得：存在點(diǎn)列，使得。倘若將直線上的線段長(zhǎng)度用數(shù)來(lái)表示，上述公理就變成實(shí)數(shù)理論中的阿基米德公理。即對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)與，必存在一個(gè)自然數(shù)，使得。L52：凡滿足結(jié)合公理一、順序公理、合同公理及連續(xù)公理的直線上的一切點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集不可能再擴(kuò)大。注 本公理稱為線性完備公理或康托公理，它刻畫了直線上的點(diǎn)和所有實(shí)數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。二、集合論公理系統(tǒng)公理系統(tǒng)1、公理系統(tǒng)形成簡(jiǎn)介自從集合論中的羅素悖論出現(xiàn)后，很多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論的改進(jìn)工作，特別突出的是著名德國(guó)數(shù)學(xué)家策墨羅，他于1908年首先提出他的改進(jìn)方案，即策墨羅

22、集合論公理系統(tǒng)。后經(jīng)弗蘭克、史柯倫等人的改進(jìn)，于1921-1923年間逐漸形成了一個(gè)嚴(yán)格的形式化集合論公理系統(tǒng)，這就是著名的公理系統(tǒng)。在公理系統(tǒng)中加上選擇公理，便是今天的公理系統(tǒng)。2、公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖（ZFC）集合論公理系統(tǒng)基本對(duì)象和原始對(duì)象基本關(guān)系和原始關(guān)系基本性質(zhì)或公理“集”及它的“元素”“集”及它的“元素”的隸屬關(guān)系“”外延公理 空集公理對(duì)偶公理 并集公理子集公理 冪集公理無(wú)窮公理 正則公理代換公理 選擇公理3、公理的內(nèi)容及其簡(jiǎn)要注釋外延性公理：如果兩個(gè)集合與包含有完全相同的元素，則它們必相等，反之亦真，用符合表示為：注 本公理表明，一個(gè)集合完全由元素確定，所以人們也稱它為確定性公理。對(duì)

23、偶公理：對(duì)任何兩個(gè)不同集合與，在存在一個(gè)集合，使得恰以和為其元素。用符號(hào)表示為：注 本公理亦稱無(wú)序?qū)恚吣_稱它為基本集合公理。空集公理：存在一個(gè)不包含任何元素的集合。用符號(hào)表示為：注 本定理保證存在不含任何元素的集，同時(shí)用外延公理還可證明空集 是唯一的。并集公理：對(duì)任何集合，存在一個(gè)集合，使中的元素恰好是中元素的全體元素。用符號(hào)表示為：注 本公理也稱和集合理。例如，則必存在集合，使得。子集公理：設(shè)是一個(gè)集合：是一個(gè)公式，則必存在一個(gè)子集合，使得中的元素恰好由中且滿足的元素所組成，簡(jiǎn)記為：注 子集公理亦稱分離公理，因?yàn)榧现械脑厥怯杉现械脑乩脳l件分離出來(lái)的。即集合是集合中挖出來(lái)的一

24、部分。冪集公理：對(duì)任何集合，存在一個(gè)集合，使得中的元素恰好是中元素所組成的子集的全體。用符號(hào)表示為：無(wú)窮公理：存在一個(gè)包含有無(wú)窮多個(gè)元素的集合。注 用并集公理和無(wú)窮公理可定義自然數(shù)和自然數(shù)集合。代換公理：在任意集合中的每一個(gè)元素，頂多被非中一元素（如果有的話）代換，而中被代換了的那些元素構(gòu)成一個(gè)集合。正則公理：每個(gè)非空集合必存在元素,使得與的交集是空集，即選擇公理：設(shè)是一個(gè)滿足下列條件的集合：（）的每一個(gè)元素都是非空集合；（）中任意兩個(gè)元素都相不相交，即則存在集合，使得中的元素恰好由中每一個(gè)元素中的僅一個(gè)元素組成。例如：則有。顯然這樣的不是唯一的。注 選擇公理是策墨羅于1904年為證明整序定理

25、而提出來(lái)的，到目前人們已發(fā)現(xiàn)有二十余種等價(jià)形式，選擇公理的提出對(duì)近代數(shù)學(xué)的發(fā)展和邏輯的嚴(yán)密性起了很大的推動(dòng)作用，而且它幾乎滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)分支。比如，數(shù)學(xué)分析中很多等價(jià)命題的證明（例如聚點(diǎn)、極限等概念的等價(jià)定義的證明）都要以它為根據(jù)。4、公理系統(tǒng)的特點(diǎn)、意義和作用首先，公理系統(tǒng)是一個(gè)完全形式化的抽象公理系統(tǒng)，也就是說(shuō)它的結(jié)構(gòu)表達(dá)形式完全已符號(hào)化。其次，十條公理可概括為三類：即外延原則，它的主要作用是保證集合的唯一性；概括原則，它的主要作用是解決的構(gòu)造集合的問(wèn)題；選擇原則，它的主要作用是解決選擇集合的問(wèn)題。最后，公理系統(tǒng)為分析學(xué)奠定了嚴(yán)格地理論基礎(chǔ)。例如在無(wú)窮公理和并集公理的基礎(chǔ)上可以嚴(yán)格的建立

26、自然數(shù)、自然數(shù)集合及自然數(shù)理論；在冪集公理基礎(chǔ)上可以引出實(shí)數(shù)系；在子集公理基礎(chǔ)上可以討論實(shí)數(shù)的任何子集及其性質(zhì)等。由此可見，只要公理系統(tǒng)無(wú)矛盾，那么實(shí)數(shù)理論也就無(wú)矛盾。然而，盡管至今公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但這種無(wú)矛盾性還沒(méi)有得到嚴(yán)格的理論證明。正如彭加萊所說(shuō)：“我們?cè)O(shè)置柵欄，把羊群圍住，免受狼的侵襲，但是很可能在圍柵欄時(shí)就有一條狼被圍在其中了”，而且根據(jù)哥德爾不完全性定理，公理系統(tǒng)本身不可能證明自己是無(wú)矛盾的，即它的無(wú)矛盾性只有借助外系統(tǒng)來(lái)證明。三、自然數(shù)公理系統(tǒng)1、自然數(shù)公理化的提出數(shù)學(xué)顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)，人們皆知自然數(shù)來(lái)自實(shí)踐，而且是數(shù)學(xué)的起步點(diǎn)。然而，由自然數(shù)的產(chǎn)生直到十九世紀(jì)末

27、，在這個(gè)漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期卻很少有人對(duì)自然數(shù)的理論奠基工作進(jìn)行過(guò)專門的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及數(shù)學(xué)中悖論的出現(xiàn)，才迫使人們反過(guò)頭來(lái)進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，即自然數(shù)的理論奠基工作，尋求建立自然數(shù)的公理化方法。自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的算術(shù)原理：新的論述方法中所提出的公理化方法。下面我們給以簡(jiǎn)要介紹。 2、皮亞諾自然數(shù)公理化方法內(nèi)容及其簡(jiǎn)要注釋（1）原始（或基本）概念。（i）原始對(duì)象：自然數(shù)1、自然數(shù)集。（ii）原始關(guān)系：后繼數(shù)（例如3是2的后繼數(shù)）或后繼函數(shù)。（2）公理組（i）每個(gè)自然數(shù)都有直接后繼它的數(shù) ，即 或 這條公

28、理表明，自然數(shù)具有離散性，此性質(zhì)是自然數(shù)的一個(gè)重要特征。（ii）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，即或這條公理保證了自然數(shù)集有首元素，即自然數(shù)集是一個(gè)良序集。（iii）每一個(gè)自然數(shù)不存在多于一個(gè)直接后繼它的自然數(shù)，即（iv）每一個(gè)自然數(shù)都不直接后繼多于一個(gè)自然數(shù)，即（v）任何一個(gè)自然數(shù)集，若具有性質(zhì)：a）b）如果 ，那么 則自然數(shù)集包含了所有的自然數(shù)。也就是說(shuō)自然數(shù)集與自然數(shù)集相等，即此公理稱為歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)和根據(jù)。建立在自然數(shù)歸納公理基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)歸納法的主要邏輯特征是，將一個(gè)無(wú)窮歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程，其具體邏輯結(jié)構(gòu)陳述于下：論證：（要證所有自然數(shù)具有性質(zhì)P）。證明第一

29、步（直接驗(yàn)證）。第二步 （由假設(shè)任一個(gè)自然數(shù)具有性質(zhì)P能推出它的直接后繼 也必具有性質(zhì)P）。第三步 （第1、2步合取即得結(jié)論）。3、對(duì)皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特征的補(bǔ)充說(shuō)明前面我們?cè)岬竭^(guò)哥德爾不完備性定理，從理論上證明了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個(gè)不完備的公理系統(tǒng)，最近英國(guó)青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人，在組合論中發(fā)現(xiàn)了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能肯定又不能否定的一個(gè)純粹組合問(wèn)題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個(gè)具體實(shí)例。哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性在本系統(tǒng)內(nèi)通過(guò)有限步驟是無(wú)法證明的。但是，數(shù)理邏輯學(xué)家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統(tǒng)外，依據(jù)超窮歸納法用超窮步驟證明了皮亞諾公理系統(tǒng)的相

30、容性。§4.4 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法一、結(jié)構(gòu)方法簡(jiǎn)述19世紀(jì)至20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)得到了前所未有的高速發(fā)展，研究領(lǐng)域越來(lái)越廣，數(shù)學(xué)這棵生長(zhǎng)樹越長(zhǎng)越茂密，樹岔越分越細(xì)，從而數(shù)學(xué)顯得越來(lái)越龐雜無(wú)序，使得即便是造詣高深的數(shù)學(xué)家也無(wú)法全局把握、透視，面對(duì)這種發(fā)展趨勢(shì)，于是數(shù)學(xué)界一個(gè)有意義的課題就應(yīng)運(yùn)而生，那就是，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)去處理這“龐雜”的內(nèi)容，使之“有序”。對(duì)于數(shù)學(xué)的局部?jī)?nèi)容，這個(gè)想法可以實(shí)現(xiàn)，如德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵利用“群論”觀點(diǎn)統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué)（此即愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)），美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkhoff,G.D.1884-1944）用“格”的概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)的理論，那么，對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)而言，能

31、否采用某種統(tǒng)一觀點(diǎn)將其重新整理呢？20世紀(jì)初，法國(guó)一批杰出的年輕數(shù)學(xué)家在愛(ài)爾朗根計(jì)劃的啟示下，于1933年成立了以尼古拉布爾巴基（Nocholas Bourbaki）為名的數(shù)學(xué)家集體，其行動(dòng)目標(biāo)就是從整個(gè)數(shù)學(xué)全局出發(fā)，以集合論為基礎(chǔ)，運(yùn)用形式公理化方法，重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造。其基本出發(fā)點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是研究形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來(lái)統(tǒng)一分割和歸類。這個(gè)集體不僅要求正式成員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好，善于創(chuàng)新，而且年齡不能超過(guò)50歲，他們經(jīng)常組織討論班和研究會(huì)，集思廣益，協(xié)作探索，1936年正式向法國(guó)政府申請(qǐng)科學(xué)基金，并以布爾巴基名義發(fā)表眾多成果和出版系列專著數(shù)學(xué)原理，他們

32、著作的獨(dú)特觀點(diǎn)和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號(hào)，其思想即是結(jié)構(gòu)主義，是用結(jié)構(gòu)方法處理數(shù)學(xué)。具體說(shuō)來(lái)就是，利用形式公理法化方法抽象出各種數(shù)學(xué)分支各種結(jié)構(gòu)，找出各數(shù)學(xué)分支之間的結(jié)構(gòu)差異，從而獲得各數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的清晰圖像。顯然，它可以看作是現(xiàn)代形式公理方法的一種發(fā)展，因?yàn)?，形式公理化方法是著眼于某一門數(shù)學(xué)的形式公理化或者結(jié)構(gòu)化，結(jié)構(gòu)的思想方法則是以現(xiàn)代形式公理化方法為工具，著眼于整個(gè)數(shù)學(xué)全局去看待各個(gè)數(shù)學(xué)分支，即不僅要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，而且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)的差異及其內(nèi)在聯(lián)系。他們首先通過(guò)抽象分析法，建立了三種基本結(jié)構(gòu)，也稱母結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然

33、后以這三個(gè)母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照結(jié)構(gòu)之間的“不同”關(guān)系，交叉產(chǎn)生新結(jié)構(gòu)，從而，使得數(shù)學(xué)由一個(gè)分支結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)分支結(jié)構(gòu)，有層次地一直延伸出去，形成整個(gè)數(shù)學(xué)。正如他們所說(shuō)：“數(shù)學(xué)好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論體系，城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點(diǎn)雜亂無(wú)章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長(zhǎng)著的數(shù)學(xué)分支，與此同時(shí)，市中心又在時(shí)時(shí)重建，每次都是根據(jù)構(gòu)思更加清晰的計(jì)劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時(shí)，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，”二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介1、結(jié)構(gòu)的概念我們稱由集合組成的集合為集族，稱集合的全部子集

34、構(gòu)成的集族為集合的冪集。所有序?qū)M成的集合，稱為集合的笛卡爾積，其中。對(duì)于給定的一個(gè)集族 A，從這個(gè)集族出發(fā)，利用形成冪集和笛卡爾積的運(yùn)算，按下列方式可以作出所謂A上的等級(jí)：（1）集族 A 上的所有集合是 A上的等級(jí)；（2）若是A上的等級(jí)，則也是A上的等級(jí)；（3）若是A上的等級(jí)，則 也是A上的等級(jí)；（4）不存在其他形式的 A上的等級(jí)。我們把 A上全部等級(jí)的并集叫做以 A為基的（或A上的）集合的等級(jí)表。例如設(shè)是某一集合，則集合 等都是上的等級(jí)。屬于在集族A上建立起來(lái)的集合等級(jí)表中一個(gè)等級(jí)的某一元素，叫做在這一集族上的結(jié)構(gòu)。顯然，集族A的集合中的每一元素是在這些集合上的結(jié)構(gòu)(A的每一個(gè)集合即等級(jí)表

35、的一個(gè)等級(jí))；等級(jí)表的任一等級(jí)是結(jié)構(gòu)，（等級(jí)是的元素），集族A中的集合與之間的任一對(duì)應(yīng)是A上的結(jié)構(gòu)（與之間的對(duì)應(yīng)通過(guò)指定，并且的全部序?qū)Χ耆o出。而這些序?qū)Φ募鲜堑芽柗e的子集，即是的元素）。在數(shù)學(xué)中研究的不是個(gè)別的結(jié)構(gòu)（即不是屬于A上等級(jí)表中某一等級(jí)的個(gè)別元素），而是結(jié)構(gòu)的種類（由具有同一公理體系的全部結(jié)構(gòu)組成）。2、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體實(shí)例下面以抽象群理論來(lái)具體說(shuō)明結(jié)構(gòu)是怎樣產(chǎn)生和如何確定一個(gè)結(jié)構(gòu)。首先讓我們考察三種運(yùn)算：（1）實(shí)數(shù)的加法：實(shí)數(shù)的和按通常的方法確定。（2）整數(shù)“按模素?cái)?shù)”的乘法 ：兩數(shù)的“乘積”定義為兩數(shù)通常的乘積除以的余數(shù)。（3）在三維歐氏空間中的位移“合成”：兩個(gè)位移（按

36、這個(gè)順序）的“合成”（或“乘積”）定義為執(zhí)行第一個(gè)位移后再執(zhí)行第二個(gè)位移 所得到的位移。在三種不同的運(yùn)算中，用統(tǒng)一符號(hào)“”表示運(yùn)算，用表示兩個(gè)元素通過(guò)運(yùn)算后確定的第三個(gè)元素，那么具體分析這三種不同運(yùn)算的“運(yùn)算性質(zhì)”，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間具有一種“明顯的平行性”（即類似性、對(duì)應(yīng)性）。從中可以選出互相獨(dú)立的少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)作為這三種運(yùn)算的“共同性質(zhì)”。如（i） 對(duì)于所有的元素有(ii)存在一個(gè)元素，使得對(duì)于每一個(gè)元素，有 (iii) 對(duì)應(yīng)于每一元素，存在一個(gè)元素，使得由此看出，對(duì)這三種不同的運(yùn)算，借助于統(tǒng)一的記號(hào)可以用相同的方式表達(dá)它們之間的“平行的”運(yùn)算性質(zhì)。這種表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)在于，在推理的過(guò)程中不必考慮元素

37、的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運(yùn)算具有性質(zhì)“(i)、(ii)、(iii)”這個(gè)前提。這樣，就可以引出相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運(yùn)算，且具有三個(gè)性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)的一種結(jié)構(gòu)。其中性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)叫做群結(jié)構(gòu)的公理，展開這些公理的推論就構(gòu)成群的理論。顯然，群理論較之“實(shí)數(shù)加”、“整數(shù)?！?、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個(gè)。這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在。由上述分析看出，具體而言結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關(guān)系，一個(gè)抽象的集合只不過(guò)是一組元素而已，無(wú)所謂結(jié)構(gòu)，但引進(jìn)了關(guān)系，就形成了結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)系是重要的，它就代表一種結(jié)

38、構(gòu)。3、三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介（1） 代數(shù)結(jié)構(gòu) 先從代數(shù)運(yùn)算談起，所謂非空集X中的n元代數(shù)運(yùn)算指到X的一個(gè)映射 叫做運(yùn)算的階。最常用的代數(shù)運(yùn)算是二元代數(shù)運(yùn)算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運(yùn)算。序?qū)υ诖鷶?shù)運(yùn)算下的象記作，顯然，中的二元代數(shù)運(yùn)算給出了中的一個(gè)三元關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三元序組滿足這個(gè)關(guān)系。而三元序組的集合是笛卡爾積的子集，是的元素，故二元運(yùn)算可以視為一種結(jié)構(gòu)。若非空集中的代數(shù)運(yùn)算記為，則序?qū)头Q為一個(gè)代數(shù)，即定義了運(yùn)算的集合。代數(shù)的例子很多，如等。如果再給代數(shù)加上一定的公理，那它就構(gòu)成各種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。如加上群公理、環(huán)公理、域公理等就分別構(gòu)成群、環(huán)、域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu)，再以群為例具體說(shuō)明之；例1 群

39、結(jié)構(gòu)二元序?qū)ΨQ為群，是指它滿足如下公理： 中的元素關(guān)于代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，即，有 中存單位元：即 ,使得，有 中每一個(gè)元素，都在中存在逆元，即 可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理，的二元代數(shù)運(yùn)算的非空集合。例2 幾個(gè)具體的群（1）整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集關(guān)于通常加法分別構(gòu)成群、。（2）正有理數(shù)集關(guān)于通常乘法構(gòu)成群。（3）有理數(shù)域上的一元多項(xiàng)式集合關(guān)于通常多項(xiàng)式加法構(gòu)成群。（4）集合關(guān)于矩陣加法構(gòu)成群?？梢姡鷶?shù)結(jié)構(gòu)是由運(yùn)算關(guān)系確定的結(jié)構(gòu)。（2） 序結(jié)構(gòu)集合A中的一個(gè)序是指A中規(guī)定的某些元素之間的一種關(guān)系“”，如自然數(shù)集中定義的“小于”關(guān)系，這個(gè)關(guān)系通過(guò)指定使的全部序?qū)Χ煌耆_定，

40、這些序?qū)Φ募鲜堑芽柗e的子集，即是的元素，因此，集中的小于關(guān)系是利用中的元素來(lái)確定的，故可視為結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)就稱為序結(jié)構(gòu)。常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)，建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)）。半序集：如果的元素之間定義了一個(gè)關(guān)系“”，它滿足如下公理：（i）自反性，對(duì)中的一切元素,有;(ii)反對(duì)稱性，若；（iii）傳遞性，若則。則稱為半序集，這個(gè)關(guān)系為半序關(guān)系。例 集合之間的包含關(guān)系系“”顯然滿足“三性”：；若則；若則，故冪集可以看成是一種半序集（結(jié)構(gòu)）。例 自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因?yàn)槟鼙蛔陨碚?；若能整除能整?則;若能整除能整除,則也能

41、整除,自然數(shù)集是一種半序結(jié)構(gòu)。例 對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)集，定義其上大小關(guān)系如下：若對(duì)于任一 ，都有，則稱不大于。這一大小關(guān)系也是半序關(guān)系。該函數(shù)是一種半序結(jié)構(gòu)。全序集：滿足下列可比性條件（iv）的半序集稱為全序集；(iv)中的任意兩個(gè)元素或至少有一個(gè)成立。例 一冪集中的包含關(guān)系不具有可比性，故不是全序集。例 不難驗(yàn)證，數(shù)集，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。因?yàn)橄窈瓦@兩個(gè)元素，整除或整除均不成立，故不符合(iv)，但是，容易驗(yàn)證，自然數(shù)集關(guān)于“”關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。例 實(shí)數(shù)集關(guān)于大小關(guān)系“”構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)?？梢?，序結(jié)構(gòu)是由次序關(guān)系所確定的結(jié)構(gòu)。（）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)集合內(nèi)

42、的拓?fù)涫怯砷_子集族給出的，即由的某一元素給出的，它滿足公理： 此時(shí)，我們把二元有序組稱為拓?fù)淇臻g。有時(shí)，空間的拓?fù)涫怯舌徲蛳得枋龅?。的一些子集組成的集族稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時(shí)，就稱 為 X的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；（i）中的任一元素在中有一個(gè)使 。（ii）中的任一元素，若在中有使，則。(iii)若是的一個(gè)子集，而中元素（iv）中的元素，對(duì)中任一含，若有，則必存在 ，使，且。我們可以應(yīng)用鄰域系來(lái)刻劃收斂的特性，因?yàn)猷徲蚬碇械?ii)與(iv)能保證選取一串越來(lái)越小的鄰域，使之以為極限。所以，拓樸結(jié)構(gòu)常被說(shuō)成是能夠描述極限的那種結(jié)構(gòu)。從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)增加一個(gè)或幾個(gè)新公理，就可以

43、得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu)。例如，從一般的群論出發(fā)，加上群的元素是有限的這一公理，就得到有限群結(jié)構(gòu)。母結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合也可產(chǎn)生多重結(jié)構(gòu)。這樣，遵循從一般到特殊，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則，一層一層地構(gòu)造下去，就可得到許許多多獨(dú)特的結(jié)構(gòu)及其理論。從而，可把古典數(shù)學(xué)作某種統(tǒng)一，給整個(gè)數(shù)學(xué)一種概括。在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，布爾巴基學(xué)派起著承前啟后的作用，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極大的影響，在問(wèn)題解決中有重要作用。布爾巴基學(xué)派認(rèn)為真正能反映數(shù)學(xué)特點(diǎn)及本質(zhì)的東西是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，他們把數(shù)學(xué)看成是以結(jié)構(gòu)為對(duì)象的科學(xué)，這種觀點(diǎn)是與辯證唯物論是一致的。這是因?yàn)椋航Y(jié)構(gòu)方法否定了數(shù)學(xué)知識(shí)的先驗(yàn)觀點(diǎn)，主張結(jié)構(gòu)來(lái)源于人們實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，正確地描述了數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)概念的抽象過(guò)程。如代數(shù)結(jié)構(gòu)運(yùn)算來(lái)自數(shù)量關(guān)系；序結(jié)構(gòu)先后來(lái)自時(shí)間觀念；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)連續(xù)性來(lái)自空間經(jīng)驗(yàn)。結(jié)構(gòu)方法用整體的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)，著眼于數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系，說(shuō)明了是什么使數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來(lái)并使它有多樣性。結(jié)構(gòu)方法用變化觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)，主張結(jié)構(gòu)不是一成不變的。結(jié)構(gòu)方法還主張數(shù)學(xué)的真理性最終要用科學(xué)的實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)，用科學(xué)上的成功經(jīng)驗(yàn)支持結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)。結(jié)構(gòu)方法的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實(shí)現(xiàn)一種重要的“思維經(jīng)濟(jì)”，以往數(shù)學(xué)家為了解決一個(gè)