數(shù)學(xué)模型在機(jī)械設(shè)計中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)模型在機(jī)械設(shè)計中的應(yīng)用目錄目錄1第1章 緒論11.1 數(shù)學(xué)模型概述11.2 機(jī)械設(shè)計11.3 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計2第二章 數(shù)學(xué)模型在機(jī)械設(shè)計中的應(yīng)用32.1數(shù)學(xué)模型在機(jī)械故障診斷技術(shù)中的應(yīng)用32.1.1 故障診斷技術(shù)中的數(shù)學(xué)模型32.1.2 故障診斷技術(shù)中傅里葉變換的使用32.2基于數(shù)學(xué)模型的圓柱齒輪減速機(jī)的設(shè)計42.2.1 基于數(shù)學(xué)模型的圓柱齒輪減速器的設(shè)計的優(yōu)勢42.2.2 減速器數(shù)學(xué)模型設(shè)計研究52.3數(shù)學(xué)模型在可靠性設(shè)計中的應(yīng)用62.3.1 可靠性設(shè)計的數(shù)學(xué)模型62.3.2 可靠性數(shù)學(xué)模型分析6第3章 總結(jié)與展望8參考文獻(xiàn)99數(shù)學(xué)模型在機(jī)械設(shè)計中的應(yīng)用第1章 緒論1.1 數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)

2、模型就是針對或參照某種問題的特征和數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化語言，概括或近似地表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型因問題不同而異，建立數(shù)學(xué)模型也沒有固定的格式和標(biāo)準(zhǔn)，甚至對同一個問題，從不同角度、不同要求出發(fā)，可以建立起不同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程有一些區(qū)別，它需要熟練的數(shù)學(xué)技巧、豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要大量閱讀、思考別人的模型，尤其要自己動手，親身體驗。建立數(shù)學(xué)模型的一般分為以下幾步：確定問題系統(tǒng)及變量關(guān)系；確定最佳的試驗方案和方法；確定合理的模型結(jié)構(gòu)；確定模型中的最佳參數(shù)；檢驗修改模型。首先，基于一系列基本的簡化假設(shè)，把實際問題中的數(shù)學(xué)描繪明確地表述出來，也就是說，通過對

3、實際問題的分析、歸納、簡化，給出用以描述該問題的數(shù)學(xué)提法；然后采用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行求解，得出結(jié)論；最后再返回去闡釋所研究的實際問題，總結(jié)一般規(guī)律。詳細(xì)來講，就是在對目標(biāo)系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，確定描述問題的變量及相互關(guān)系以及問題所屬系統(tǒng)，模型大概的類型，提出有關(guān)假說。在進(jìn)行試驗時，必須配置性能穩(wěn)定，要嚴(yán)格保持試驗條件穩(wěn)定，精心操作，詳細(xì)記錄，對數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的判斷、篩選和分析。模型結(jié)構(gòu)反映了實際過程的內(nèi)在規(guī)律，對試驗數(shù)據(jù)的擬合精度有著本質(zhì)的影響。模型建立之后，能否與生產(chǎn)實際吻合，還需進(jìn)行重復(fù)試驗，確認(rèn)后才能在生產(chǎn)中應(yīng)用。模型只有在被檢驗評價、確認(rèn)基本符合要求。才能被接受，否則需要修改模型，這種修改

4、有時是局部的，有時甚至要全部推倒重來。1.2 機(jī)械設(shè)計機(jī)械設(shè)計是根據(jù)用戶的使用要求對專用機(jī)械的工作原理、結(jié)構(gòu)、運(yùn)動方式、力和能量的傳遞方式、各個零件的材料和形狀尺寸、潤滑方法等進(jìn)行構(gòu)思、分析和計算并將其轉(zhuǎn)化為具體的描述以作為制造依據(jù)的工作過程。機(jī)械設(shè)計是機(jī)械工程的重要組成部分，是機(jī)械生產(chǎn)的第一步，是決定機(jī)械性能的最主要的因素。機(jī)械設(shè)計的努力目標(biāo)是：在各種限定的條件下，如材料、加工能力、理論知識和計算手段等，設(shè)計出最好的機(jī)械，即做出優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化設(shè)計需要綜合地考慮許多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中可靠性、最低消耗和最少環(huán)境污染。這些要求常是互相矛盾的，而且它們之

5、間的相對重要性因機(jī)械種類和用途的不同而異。設(shè)計者按具體情況權(quán)衡輕重，統(tǒng)籌兼顧，使設(shè)計的機(jī)械有最優(yōu)的綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)效果。隨著機(jī)械工程基礎(chǔ)理論和價值工程、系統(tǒng)分析等新學(xué)科的發(fā)展，制造和使用的技術(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)資料的積累，以及計算機(jī)的推廣應(yīng)用，優(yōu)化逐漸依靠科學(xué)計算。1.3 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計人們在長期的生產(chǎn)實踐中，很早就已經(jīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決了諸如給定周長求其所圍面積最大的問題、給定表面積求其所圍體積最大的問題。實際上，這些問題就是最優(yōu)化問題的雛形。優(yōu)化設(shè)計主要包括兩個方面：一是如何將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為確切反映問題實質(zhì)并適合于優(yōu)化計算的數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型包括:選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計變量，建立優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目

6、標(biāo)函數(shù)是設(shè)計問題所要求的最優(yōu)指標(biāo)與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系式，約束條件反映的是設(shè)計變量取得范圍和相互之間的關(guān)系；二是如何求得該數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解：可歸結(jié)為在給定的條件下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)值的問題?？偟膩碚f，建立合理的數(shù)學(xué)模型，是解決機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵。在機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計建模及求解過程中，應(yīng)注意下列幾方面的問題： （1）數(shù)學(xué)模型要能在滿足各種限制條件下準(zhǔn)確和可靠地說明設(shè)計問題所要實現(xiàn)的目標(biāo)，計算過程穩(wěn)定，計算結(jié)果可靠，從而實現(xiàn)設(shè)計方案。 （2）所建立的數(shù)學(xué)模型要與當(dāng)前計算機(jī)軟硬件發(fā)展水平相適應(yīng)，在算法上容易處理。第二章 數(shù)學(xué)模型在機(jī)械設(shè)計中的應(yīng)用2.1數(shù)學(xué)模型在機(jī)械故障診斷技

7、術(shù)中的應(yīng)用2.1.1 故障診斷技術(shù)中的數(shù)學(xué)模型故障診斷技術(shù)是近40多年來發(fā)展起來的一門新學(xué)科。它是適應(yīng)工程實際需要而形成的各學(xué)科交叉的一門應(yīng)用型的邊緣綜合學(xué)科，隨著現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備日趨大型化、復(fù)雜化、自動化和連續(xù)化的發(fā)展，設(shè)備一旦發(fā)生故障，將給人民的生命財產(chǎn)安全造成難以估量的損失。因此，開展故障診斷與狀態(tài)預(yù)測技術(shù)研究具有重要的現(xiàn)實意義。同時，幾乎所有的工程問題，都是與數(shù)學(xué)模型緊密聯(lián)系在一起的。建立合理的數(shù)學(xué)模型，是解決設(shè)計問題的關(guān)鍵所在?；跀?shù)學(xué)模型的故障診斷方法的研究極大的豐富了故障診斷系統(tǒng)的內(nèi)涵，建立的數(shù)學(xué)模型在故障診斷系統(tǒng)的開發(fā)過程中產(chǎn)生了很大的實際效應(yīng)，提高了系統(tǒng)的診斷效率和準(zhǔn)確率。2.1

8、.2 故障診斷技術(shù)中傅里葉變換的使用旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷主要分四個步驟，首先是獲取運(yùn)行狀態(tài)的信號；其次是提取故障的特征；再次是模式識別和故障診斷；最后是診斷決策。其中最關(guān)鍵的是對測試信號進(jìn)行分析、處理，提取故障信號的特征。圖 2.1 為故障診斷的基本過程。旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷過程的具體內(nèi)容如下：圖2.1 為故障診斷的基本過程傅里葉正變換建立了信號從時域到頻域的變換橋梁，而傅立葉逆變換則建立了信號從頻域到時域的變換橋梁，這兩個域之間的變換為一對一的映射。傅里葉變換及其逆變換的定義： (2-1) (2-2) 由式(2-1)和式(2-2)可見，傅里葉變換是從整體上將信號分解成不同的頻率分量。式(2-1)，(

9、2-2)可以用內(nèi)積形式簡潔表示為：0 (2-3)0 (2-4)傅立葉變換的最大貢獻(xiàn)不在于把時間域與頻率域聯(lián)系了起來，而是把在時間域內(nèi)難以觀察到的信號特征，在頻率域內(nèi)往往能十分清楚地顯示出來，反之亦然。傅立葉變換的最大貢獻(xiàn)也不在于使一些數(shù)學(xué)問題的求解變得更加簡潔、高效。傅立葉變換的最大貢獻(xiàn)在于產(chǎn)生了信號的頻譜分析方法。根據(jù)產(chǎn)生的頻譜可以分析出設(shè)備故障產(chǎn)生的振動信號的頻率成分、不同測點振動信號的相位差，根據(jù)頻率成分和相位差判斷出是哪種故障。2.2基于數(shù)學(xué)模型的圓柱齒輪減速機(jī)的設(shè)計2.2.1 基于數(shù)學(xué)模型的圓柱齒輪減速器的設(shè)計的優(yōu)勢目前通用圓柱齒輪減速機(jī)已有標(biāo)準(zhǔn)系列，但其成本與工作可靠性都不是最佳情

10、況?，F(xiàn)代機(jī)械普遍采用電動機(jī)驅(qū)動式，為滿足工作機(jī)輸入轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩的要求，需要在電動機(jī)與工作機(jī)之間安裝減速器，以得到合理的轉(zhuǎn)速。因此，作為一種獨立的閉式傳動裝置，減速器在現(xiàn)代機(jī)械領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重依賴于所選初始解，當(dāng)初始解選擇不當(dāng)時，優(yōu)化過程易陷入局部最優(yōu)解；需要對變量進(jìn)行微分操作運(yùn)算，計算量大，求解效率低，而且無法求解多元約束下的優(yōu)化問題；迭代運(yùn)算時迭代次數(shù)很大，收斂速度慢，不能同時保證計算精度和計算效率，優(yōu)化結(jié)果不理想。應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法對其進(jìn)行了設(shè)計，在不改變原來轉(zhuǎn)動零件的材質(zhì)、傳動比、輸入功率和轉(zhuǎn)速等條件下，根據(jù)可靠度要求優(yōu)選出一組最佳齒輪嚙合參數(shù)，從而使標(biāo)準(zhǔn)系列的減速

11、機(jī)的體積最小，成本最低，工作可靠度達(dá)到預(yù)定要求。該模型提出的減速機(jī)的概率設(shè)計方法為通用模式，只要輸入設(shè)計要求的原始數(shù)據(jù)，就能較快地計算出減速機(jī)主要零件的最佳參數(shù)對二級圓柱齒輪減速器進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。建立以二級圓柱齒輪減速器結(jié)構(gòu)參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用復(fù)合形法對實例進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化計算，效果是顯著。2.2.2 減速器數(shù)學(xué)模型設(shè)計研究a) 接觸承載能力一對變位齒輪傳動的接觸承載能力可用只與嚙合參數(shù)有關(guān)的接觸承載能力系數(shù)j表示，其函數(shù)形式為：=0.2a2u(cost)3tantKv(u+1)2cos (2-5)其中：a嚙合中心距 u齒數(shù)比 分度圓螺旋角 t端面壓力角 t端面嚙合角 Kv動載系數(shù)

12、b) 設(shè)計變量的確定將影響齒輪接觸承載能力系數(shù)的獨立參數(shù)列為設(shè)計變量，即：x=x1;x2;x3;x4T=u1;yt1;yt2T (2-6)其中：u1高速級的齒數(shù)比 yt1、yt2分別為高速和低速級齒輪傳動的中心距分離系數(shù)c) 目標(biāo)函數(shù)的確定這個問題要求提高高速級和低速級齒輪傳動的承載能力，同時要求兩級傳動達(dá)到等強(qiáng)度，所以這是一個具有三個指標(biāo)的多目標(biāo)函數(shù)問題?？梢詫⒏咚偌壓偷退偌夶X輪傳動的承載能力系數(shù)轉(zhuǎn)化為第一、二個分目標(biāo)函數(shù)f1(x)、 f2(x)。用中間軸上兩個齒輪所允許傳遞轉(zhuǎn)矩差的相對值最小來建立等強(qiáng)度條件f3(x)，采用線性組合法將三個分目標(biāo)函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)。采用線性組合法將三個

13、分目標(biāo)函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)圍：fx=1f1x+2f2x+3f3(x) (2-7)d) 約束條件確定保證軸的重合度和螺旋角不大于15°；高速級和低速級齒數(shù)比分配由潤滑條件決定；限制低速級大齒輪直徑，使其不超過原箱體，且滿足中心距要求。 綜上所述，二級齒輪減速器的設(shè)計可以變?yōu)橐粋€有四個設(shè)計變量、八個不等式約束、三個分目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用matlab軟件，對任意參數(shù)，只要輸入進(jìn)去，便可得出減速器設(shè)計時所要的最優(yōu)解。2.3數(shù)學(xué)模型在可靠性設(shè)計中的應(yīng)用2.3.1 可靠性設(shè)計的數(shù)學(xué)模型可靠性設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是概率論。則依據(jù)概率論建立了可靠性設(shè)計的數(shù)學(xué)模型應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型。

14、圖2.2 應(yīng)力-強(qiáng)度分布的干涉模型在進(jìn)行機(jī)械強(qiáng)度可靠性設(shè)計或分析時, 考慮到變量的不確定性, 認(rèn)為機(jī)械零部件的設(shè)計變量（如載荷、幾何尺寸及其它影響因素等）和強(qiáng)度參量（如材料的機(jī)械性能, 影響零件強(qiáng)度的尺寸系數(shù)、形狀系數(shù)、表面質(zhì)量系數(shù)及工作環(huán)境影響系數(shù)等）都是隨機(jī)變量, 遵守某一分布規(guī)律, 并且可以求得合成的應(yīng)力s的分布函數(shù)fs和強(qiáng)度的分布密度函數(shù)f，如圖2.2所示。2.3.2 可靠性數(shù)學(xué)模型分析提高設(shè)備的可靠性就必須從提高每一個機(jī)件的可靠性入手，強(qiáng)調(diào)所有機(jī)件在整機(jī)使用壽命內(nèi)的最佳無故障配合。無論何種失效形式，如果用數(shù)學(xué)模型來描述，可表述為：失效故障的發(fā)生僅隨運(yùn)行時間的增加而上升；失效故障的發(fā)生

15、與設(shè)計參數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)?？煽啃允侵赶到y(tǒng)在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力。如果用“概率”來量度這一“能力”，就是可靠度。累積失效概率是指機(jī)械產(chǎn)品在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)失效的概率?？梢苑奖愕倪\(yùn)用概率論的相關(guān)結(jié)論建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型。通過對大量機(jī)件故障案例的分析與研究，發(fā)現(xiàn)在排除設(shè)備的偶然性故障的前提下，隨著設(shè)備使用時間的推移及老化，其故障模型主要有6種，如圖2.3所示。對這6種模型進(jìn)一步分析研究后,得出了以下結(jié)論：在壽命期內(nèi)，前3種(A，B，C) 圖2.3(a)(c)故障模型為與使用時間相關(guān)的故障，主要適用于那些非常簡單的零部件和設(shè)備，尤其是存在直接接觸磨損或接觸腐蝕介質(zhì)的。

16、后3種(D、E、F)圖2.3(d)(f)為與使用年限不相關(guān)的故障。一般來講，部件越復(fù)雜或越簡單，它就越可能服從于故障模型E、F，即存在于設(shè)備或部件復(fù)雜程度兩極。D、E、F這3種模型的主要特征是設(shè)備運(yùn)行初期以后的一段時間內(nèi)與可靠性設(shè)計沒有多少關(guān)系或根本無關(guān)。像這類部件往往在其使用壽命內(nèi)都不發(fā)生故障、如一旦發(fā)生故障，往往是不可再修復(fù)的。造成這些部件出現(xiàn)故障而失效的原因,往往是與設(shè)計過程中的參數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)有關(guān),與疲勞、剛度、強(qiáng)度有關(guān)。圖2.3六種故障模型第3章 總結(jié)與展望故障診斷技術(shù)、減速器設(shè)計、可靠性設(shè)計中用到的數(shù)學(xué)模型是從不同的角度解決實際生活生產(chǎn)中的工程問題，從中可以看出數(shù)學(xué)在實際應(yīng)用中的重要性。

17、數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應(yīng)用問題緊密相關(guān)的。數(shù)學(xué)的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性和體系的完整性，而且在于它應(yīng)用的廣泛性。為更好的進(jìn)行機(jī)械設(shè)計理論的深入研究及工程上的廣泛應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)有效模型具有重要意義。只有機(jī)械設(shè)計具體問題中的模型更加廣泛、更加簡便、更加貼近實際工程，才能使得機(jī)械設(shè)計理論得以改善和發(fā)展。由于新方法和理論的不斷研制及在機(jī)械工程中不斷的應(yīng)用，機(jī)械設(shè)計理論數(shù)學(xué)模型的不斷改善、不斷貼近實際、不斷簡化的工作將要一直進(jìn)行，并與時俱進(jìn)。數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象的過程。是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。參考文獻(xiàn)1. 韓捷，張瑞林，等.旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障機(jī)理及診斷技術(shù)M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1996.2. 傅祥炯編著結(jié)構(gòu)疲勞與斷裂M西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，20053. 王世杰，閆明，佟玲循環(huán)載荷下熱疲勞裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子J機(jī)械工程學(xué)報，