2018-2019學(xué)年江蘇省蘇州陸慕高級(jí)中學(xué)等三校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題(Word版)

1、1江蘇省蘇州陸慕高級(jí)中學(xué)等三校2018-2019學(xué)年高二 下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（理科）一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1. 已知 凡是 9 的倍數(shù)的自然數(shù)都是 3 的倍數(shù)”和 自然數(shù)n是 9 的倍數(shù)”根據(jù)三段論推理規(guī)則，我們可以得到的結(jié)論是 _ _ .2.X I 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為I 2仮丿3. 用反證法證明命題：如果a,bN，ab可被5整除，那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 .n*4. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明（n 1）（n 2） （n，n）=213：（2n-1）,N”時(shí)，從h二k”變到h二k T時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式

2、是.5.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明設(shè)a b c，且a b 0，求證:.b2-ac .3a”索的因應(yīng)是.a -b 0:a -c 0:（a -b）（a -c） 0:（a -b）（a -c）：0.6.若C：=Cch(N*)，貝 Hn=7.現(xiàn)從 8 名學(xué)生中選出 4 人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，若甲、乙兩名同學(xué)不能同時(shí)入選，則共有 種不同的選派方案.（用數(shù)字作答）宀丄13*丄1丄15*丄1丄1丄178.觀祭下列式子：1 _,1 _2,1222222223232232424子可以猜想第 2019 個(gè)式子是9.平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，AAB二AAD二BAD= 60；,A且AB =1, A

3、D =2,AA=3,則AG等于_ 10.設(shè)復(fù)數(shù) z =口 （i為虛數(shù)單位），則，根據(jù)以上式Cl21 ic8N+C；N2+C84-zCaZ4+C：N5+CZ6+C；z7=311.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，現(xiàn)有5 種不同顏色可用，則不同染色方法的總數(shù)是12.若多項(xiàng)式x22x11二a0a!(x1) Jl|a10(x1)10an(x1)11,則 怖 二 _13.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是2一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有4兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩

4、個(gè)正方體重疊部分的體積恒為14.觀察下列等式：1COS 2a=2cos2a1；2COS 4a=8cos4a8COS2a+1;3COS 6a=32COS6a48COS4a+18COS2a1；4COS 8a=128COS8a256COSa+160COS4a32COS2a+1；1086425COS 10a=mcosa1280COSa+1120COSa+nC0Sa+PCOSa1.可以推測(cè)，m n+ p=.、解答題：本大題共 6 小題，共 90 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 115.(本小題滿分 14 分)已知z是虛數(shù)，z是實(shí)數(shù).z(1 )求z為何值時(shí)，z +

5、 2-i有最小值，并求出|z+2-i的最小值;1 z(2 )設(shè) u =-，求證：U為純虛數(shù).1 +z16.(本小題滿分 14 分)從1,3,5,7,9中任取 2 個(gè)數(shù)，從0,2,4,6中任取 2 個(gè)數(shù)，(1) 能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)若將(1)中所有個(gè)位是5的四位數(shù)從小到大排成一列，則第100個(gè)數(shù)是多少?17.(本小題滿分 14 分)x 2已知函數(shù)f(x)x，其中a 1.證明：(1) f(x)在區(qū)間(T,；)上為單調(diào)增函數(shù);(2)方程 f(x) =0 無(wú)負(fù)實(shí)數(shù)根.18.(本小題滿分 16 分)已知(3x - x2)2n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x -1)n的展開(kāi)式的系數(shù)和大

6、992.求1(2x -一)2n的展開(kāi)式中：x(1 )二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2 )系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).a的正方形，其中419.(本小題滿分 16 分)如圖，平行四邊形ABCD所在平面與直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且1丿兀AB二BE AF =1,BE/AF,AB AF , CBA , BC = 2,P為DF中235(1)求異面直線DA與PE所成的角；(2)求平面DEF與平面ABCD所成的二面角(銳角)的余弦值.20.(本題滿分 16 分) 已知m, n為正整數(shù)，(1 )證明：當(dāng)x -1時(shí)，(1 x)m1 mx；(3)求出滿足等式3n- 4n(n - 2)n=(n 3)n的所有正整數(shù) n .

7、占八、(2)對(duì)于n6，已知(11 1一2,求證:(11,2,n；6表示點(diǎn)P(a,b )到點(diǎn)A(2,1的距離，所以z + 2-i最小值為AO1 = J511i v = x解方程組y 2并結(jié)合圖形得2018-2019學(xué)年度高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科第二學(xué)期期中試題(理科)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. 自然數(shù)n是 3 的倍數(shù)”2. C；(丄)4二352 83. a、b 都不能被 5 整除(2k+1)(2k+2)=2k 1=4.左邊=(2k+1) =4k 256.57.5518. 1 p2239.5403910.15i11.42012.-223a13. 8915解：設(shè)z =a bi(-0)，則1 . . 1 z z所以,(1)

8、丄丄-丄a _bi=a + bi +-= a + bi +-2=a +bia+b kbia2+b2丿z 2 iz-口 7又b = 0，所以u(píng)為純虛數(shù) .16.不用 0 時(shí)，有C；C；A：=720個(gè)；用 0 時(shí)，有C；C33A540個(gè)；共有 數(shù).“1*5”，中間所缺的兩數(shù)只能從0,2,4,6中選排，有A2=12個(gè)；2“2*5”，中間所缺的兩數(shù)是奇偶數(shù)各一個(gè)，有C：C3A2=24個(gè)；3“3*5”，仿“1*5”，也有Af =12個(gè)；4“4*5”，仿“2*5”，也有C：C3A|= 24個(gè)；“65”也有C1C3A=24個(gè)；即小于7000的數(shù)共有96個(gè).故第97個(gè)數(shù)是7025，第98個(gè)數(shù)是7045，第99

9、個(gè)數(shù)是7065，第100個(gè)數(shù)是7205. 1分17.證明：(1 )當(dāng) x $-1 時(shí) f (x) =axlnax(x2axlna匚 0 ,(x+1)(x+1)所以，f(x)在區(qū)間(-1,；)上為單調(diào)增函數(shù)； .5(2)假設(shè)方程 f(x) =0 有負(fù)實(shí)數(shù)根 x0, .7分所以-2,人+1因?yàn)?a 1 , x：0 ,所以 0 :ax0：1，所以 0：-2：1 ,人+1人一 2則 -1：勺 0 ,X。+1當(dāng) 一 1：:x 2時(shí)，X。：:：-1 ;當(dāng) X。_2: 0 時(shí)，_1 :：x0 : 2 .人十 1X +1所以人不存在，這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立， 所以，方程 f(x)=0 無(wú)負(fù)實(shí)數(shù)根. .

10、 1 分18解：由題意22n-2n=992,解得n=5110(1)(2X-)的展開(kāi)式中第 6 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，x即T6(2X)5(丄)5=8064. .5分x(2)1 -zu =1 z1 -a Fbi1 -a Lbi-1 a Lbi】(1 +a片bi(1 + a2+b2-bi一1 a14 分1260個(gè)四位.7分8(2)設(shè)第r 1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則 T-1 =Go(2x)( )(-1) Co 2 xx.IC1；210丄蘭 C；。210得 IC1；20即r K2rG；210亠 _Gr01侍 2G；耳12(r1)_10 r.8乞 r11,. r=3,故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第 4 項(xiàng)33即無(wú)

11、=G0(2x)7(-1)3=T5360 x4x. 1 分19.在ABC中，AB =1, CBA , BC = 2,3所以AC2二BA2BC2-2BA BC cos CBA = 32 2 2所以AC2BA =BC2，所以AB _ AC又因?yàn)槠矫鍭BCD_平面ABEF，平面ABCD平面ABEF二AB,AC平面ABCD，所以AC斗平面ABEF .4分如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B,AF,AC，貝 UA(0,0,0), B(1,0,0),C(0,0,、3), D(T,0, .3), E(1,1,0),F(0,2,0), P(-丄,1,)2. 26分33DA =(1,0, I 3), PE =(,0,)2

12、 29設(shè)異面直線DA與PE所成的角為：，則cos：=1 DA蛋蛋 口 一3卜|DA|H|PE| 2/32所以異面直線DA與PE所成的角為_(kāi)|；AF =(0,2,0)是平面ABCD的一個(gè)法向量,設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量n= (x,y,z),DE = (2,1, J3),DF= (1,2, J3)n DE = (x, y, z) (2,1,-、3) =2x y-.3z=0則n DF = (x, y, z) (1,2, - .,3) = x 2yj3z = 0得z=i.3x=、.3y，取x = 1，貝U y=1,z = .3, 故門=(1,1, J3)是平面DEF的一個(gè)法向量，設(shè)平面DEF與平面AB

13、CD所成的二面角M廠.AF n| |2. V5=11=1卜| AF | |n|2.551)小題共 5 分；第(2)小題共(1)證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(銳角)為：，11 分13 分16 分20第(解法 1：(i)當(dāng)因?yàn)閤20，所以左邊 右邊，原不等式成立； .2分5 分；第(3)小題共 6 分m = 1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m = 2時(shí)，左邊=1 2x x，右邊=1 2x,(ii)假設(shè)當(dāng)m = k時(shí)，不等式成立，即(V x)k1 kx，則當(dāng)m = kT 時(shí), /x -1,/1 x 0,于是在不等式(V x)k1 - kx兩邊同乘以1 x得(1 x)k-(1 x)(1+kx)(1+ x) =1 +

14、(k +1)x + kx21 + (k+1)x,(1 + x)k*1+(k+1)x.即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式也成立.(i)(ii)知，對(duì)一切正整數(shù)所以綜合(2)證：當(dāng)n6, m1- 0 ,n + 3(令1x,易知X -1)n+316時(shí),I n +3丿7卜n+3丿j1-m =1,2,川,n. -10 分(1、nf2 rnnn1 g11+IH+I1-6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n= 1,2,3,4,5的情形：當(dāng)n=1時(shí)，3=4，等式不成立；當(dāng)n =2時(shí)，324 52，等式成立；當(dāng)n=3時(shí)，3343563，等式成立；當(dāng)n =4時(shí)，34445464為偶數(shù)，74為奇數(shù)，故3444546

15、- 74，等式不成立;當(dāng)n =5時(shí)，同n =4的情形可分析出，等式不成立.1011解法 2：( 1)證：當(dāng)x =0或m =1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)X . _1，且X = o時(shí)，m2,(1 X)m. 1 mx.(i)當(dāng)m = 2時(shí)，左邊=1 2x x2，右邊1 2x，因?yàn)閤 = o，所以x2 o,即左邊. 右邊，不等式成立；(ii)假設(shè)當(dāng)m二k(k2)時(shí)，不等式成立，即(1x)k.kx，則當(dāng)因?yàn)閤 .一1，所以1 x o.又因?yàn)閤= o,k 2，所以kx2 o. 于是在不等式(1 x)k1 kx兩邊同乘以1 x得(1 x)k-(1 x) (1 kx)(1 x1 (k 1)x kx21(k 1)x,m二k 1時(shí)，不等式也成立.綜上，所求的n只有n =2,3.16 分(2)證：當(dāng)n6,mn時(shí),/ 1 -I n+3丿1,n +3丿(1)而由(i),1 n 371 止n+3丿12丿.f m- H -n +3丿解