用Matlab求解微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1用用 Matlab 求解求解(qi ji)微分方程微分方程第一頁(yè)，共28頁(yè)。微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )（組）的解析（組）的解析解解 求微分方程（組）解析解的命令為dsolve(eqn1, eqn2, ., x)其中“eqni”表示(biosh)第 i 個(gè)方程，“x”表示(biosh)微分方程（組）中的自變量，默認(rèn)時(shí)自變量為 t。此外，在“eqni”表示(biosh)的方程式中，用 D 表示(biosh)求微分，D2、D3 等表示(biosh)求高階微分，任何 D 后所跟的字母表示(biosh)因變量。 第1頁(yè)/共28頁(yè)第二頁(yè)，共28頁(yè)。例

2、 8.5.1 求解(qi ji)一階微分方程 dy/dx = 1 + y2。 求通解(tngji)輸入：dsolve(Dy=1+y2, x)輸出：ans = tan(x+C1)求特解輸入：dsolve(Dy=1+y2, y(0)=1, x)輸出：ans = tan(x+1/4*pi)第2頁(yè)/共28頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。例 8.5.2 求解下列(xili)微分方程的通解及 y(0) = 0 和 y (0) = 15 條件下的特解 求通解輸入(shr)：y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0, x)輸出：y = C1*exp(-2*x)*sin(5*x)+C2*exp(-2*x)*cos(

3、5*x)求特解輸入(shr)：y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0, y(0)=0, Dy(0)=15, x)輸出：y = 3*exp(-2*x)*sin(5*x)029422ydxdydxyd第3頁(yè)/共28頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。例 8.5.3 求解(qi ji)下列微分方程組 zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332第4頁(yè)/共28頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。求通解(tngji) 方式一 輸入： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x -5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； 輸出：x = C2*exp(-t)+C3*exp(

4、2*t) y = C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z = C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1第5頁(yè)/共28頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。方式(fngsh)二輸入：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x -5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z)輸出：x = C2/exp(t)+C3*exp(t)2 y = C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z = C3*exp(2*t)+exp(-2*

5、t)*C1第6頁(yè)/共28頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。求特解 輸入(shr)：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, x(0)=0, y(0)=1, z(0)=2, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z) 輸出：x = exp(2*t)-exp(-t) y = exp(2*t)-exp(-t)+exp(-2*t) z = exp(2*t)+exp(-2*t)第7頁(yè)/共28頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )（組）的

6、（組）的數(shù)值解數(shù)值解 事實(shí)上，能夠求得解析解的微分方程(wi fn fn chn)或微分方程(wi fn fn chn)組少之又少，多數(shù)情況下需要求出微分方程(wi fn fn chn)（組）的數(shù)值解。 Matlab中求微分方程(wi fn fn chn)數(shù)值解的函數(shù)有五個(gè)：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s。調(diào)用格式為t, x = solver (f, ts, x0, options)第8頁(yè)/共28頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。 需要特別(tbi)注意的是： solver 可以取以上五個(gè)函數(shù)之一，不同的函數(shù)代表不同的內(nèi)部算法：ode23 運(yùn)用組合的 2/3 階龍格庫(kù)塔費(fèi)爾

7、貝算法，ode45 運(yùn)用組合的 4/5 階龍格庫(kù)塔費(fèi)爾貝算法。通常使用函數(shù) ode45； f 是由待解方程寫成的m文件的文件名； ts=t0, tf，t0、tf為自變量的初值和終值； x0為函數(shù)的初值；第9頁(yè)/共28頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。 options 用于設(shè)定誤差限（可以缺省，缺省時(shí)設(shè)定為相對(duì)誤差 103，絕對(duì)誤差(ju du w ch) 106），程序?yàn)閛ptions = odeset(reltol, rt, abstol, at)其中rt和at分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差(ju du w ch)； 在解 n 個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0、x 均為 n 維向量，m 文件中待解方程組應(yīng)以 x

8、 的分量形式寫成； 使用 Matlab 軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組。 第10頁(yè)/共28頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。第11頁(yè)/共28頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。例 8.5.4 求解下列(xili)微分方程0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd解：令 y1 = x，y2 = y1，則微分方程(wi fn fn chn)變?yōu)橐浑A微分方程(wi fn fn chn)組： 0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy第12頁(yè)/共28頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。 (1) 建立 m 文件 vdp1000.m 如下： function d

9、y=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); (2) 取 t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)運(yùn)行程序(chngx)，得到如圖的結(jié)果。 第13頁(yè)/共28頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。第14頁(yè)/共28頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。例 8.5.5 求解下列(xili)微分方程組1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy第15頁(yè)/共28頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。(1) 建立

10、m 文件 rigid.m 如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);(2) 取 t0=0，tf=12，輸入(shr)命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)第16頁(yè)/共28頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。 運(yùn)行(ynxng)程序，得到如圖的結(jié)果。圖中，y1 的圖形為實(shí)線，y2 的圖形為“*”線，y3 的圖形為“+”線。第17頁(yè)/共28頁(yè)第十八頁(yè)，共2

11、8頁(yè)。例 8.5.6 導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于 x 軸上點(diǎn) A(1, 0) 處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦。如果乙艦以最大的速度 v0（是常數(shù)(chngsh)）沿平行于 y 軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是 5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程。又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？第18頁(yè)/共28頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。解：如圖所示，假設(shè)導(dǎo)彈在 t 時(shí)刻(shk)的位置為P(x(t), y(t)，乙艦位于 Q(1, v0t)。由于導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦，故此時(shí)直線 PQ 就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧 OP 在點(diǎn) P 處的切線， 第19頁(yè)/共28頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。于是(ysh)有 xytvy10即yy

12、xtv)1 (0又根據(jù)(gnj)題意，弧 OP 的長(zhǎng)度為 |AQ| 的 5 倍，于是 tvdxyx00251第20頁(yè)/共28頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。消去 t，得到導(dǎo)彈追蹤模型(mxng)如下： 下面(xi mian)求解這個(gè)初值問(wèn)題。 0)0( , 0)0(151)1 (2yyyyx第21頁(yè)/共28頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。解法一 解析解 利用微分方程初值問(wèn)題的解析解法，得導(dǎo)彈(dodn)的運(yùn)行軌跡為： 參見(cnjin)下圖。245)1 (125)1 (855654xxy第22頁(yè)/共28頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。第23頁(yè)/共28頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。 根據(jù)題意，乙艦始終沿平行于 y 軸的直線

13、x = 1 行駛，且由上式知，當(dāng) x = 1 時(shí) y = 5/24，故當(dāng)乙艦航行到點(diǎn) (1, 5/24) 處時(shí)被導(dǎo)彈(dodn)擊中。同時(shí)可求得被擊中時(shí)間為：t = y/v0 = 5/24v0；若 v0 = 1，則在 t = 0.21 處被擊中。 第24頁(yè)/共28頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。解法(ji f)二 數(shù)值解 令 y1 = y，y2 = y1，將先前給出的導(dǎo)彈追蹤模型化為一階微分方程組 0)0( , 0)0()1/(1512121221yyxyyyy第25頁(yè)/共28頁(yè)第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。(1) 建立(jinl) m 文件 eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); (2) 取 x0=0，xf=0.999