線性代數(shù)第六章21

1、*例6.2.6 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非線性替換。 32312123222132184422,xxxxxxxxxxxxf 解（法一）正交變換法,令 X=QY, 其中2525151535452515352033TQ 則 AXXxxxfT 321, 232221722yyyYAQQYTT （法二）配方法 22212312312132322448, , , ,f x x xxxxx xx xx x 22211213232344228xx xx xxxx x （）221232323226616xxxxxx x 2 2（ ）2212323341422633( () )xxxxxx 2 2（ ）

2、則2221231463fyyy232221722yyyf 1. 1. 一個(gè)二次型有不同的標(biāo)準(zhǔn)形；一個(gè)二次型有不同的標(biāo)準(zhǔn)形；3. 3. 上一例子中的標(biāo)準(zhǔn)形都是兩個(gè)正項(xiàng)一個(gè)負(fù)項(xiàng)上一例子中的標(biāo)準(zhǔn)形都是兩個(gè)正項(xiàng)一個(gè)負(fù)項(xiàng). .結(jié)論結(jié)論2. 2. 上一例子中的標(biāo)準(zhǔn)形項(xiàng)數(shù)都是三項(xiàng)上一例子中的標(biāo)準(zhǔn)形項(xiàng)數(shù)都是三項(xiàng). .6.3 6.3 慣性定理和二次型的規(guī)范形慣性定理和二次型的規(guī)范形 問題1. 一個(gè)二次型的不同標(biāo)準(zhǔn)形之間有什么類似之處？2. 上一節(jié)例子中的標(biāo)準(zhǔn)形都是兩個(gè)正項(xiàng)一個(gè)負(fù)項(xiàng)，是偶然還是必然？r定理定理6.3.16.3.1 秩為秩為 的二次型的二次型 AXXxxxfTn ,21都可經(jīng)可逆線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形都

3、可經(jīng)可逆線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中其中 2222211rrybybyb ), 2 , 10ribi （ 一一 . 復(fù)二次型復(fù)二次型 設(shè)設(shè) 是秩是秩 為為 r 的的復(fù)二次型復(fù)二次型, , 可逆復(fù)線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆復(fù)線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形 AXXxxxfTn ,212222211rrybybyb 其中其中 為非零為非零復(fù)數(shù)。再對上式作可逆復(fù)線性替換復(fù)數(shù)。再對上式作可逆復(fù)線性替換), 2 , 1ribi （ nnrrrrrzyzyzbyzby1111111得得 2222121,rnzzzxxxf 定理定理6.3.26.3.2 任意一個(gè)復(fù)二次型任意一個(gè)復(fù)二次型總可以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線性替換化為規(guī)總可

4、以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線性替換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。范形，且規(guī)范形是唯一的。 AXXxxxfTn ,21 上式為復(fù)二次型上式為復(fù)二次型 的的規(guī)范形規(guī)范形。它由二次型的秩它由二次型的秩r唯一確定，因而有唯一確定，因而有 AXXxxxfTn ,21 定理定理 6.3.3 6.3.3 對任意一個(gè)秩為對任意一個(gè)秩為r的的n階復(fù)對稱矩陣階復(fù)對稱矩陣A，必存在可逆復(fù)矩陣必存在可逆復(fù)矩陣C, ,使得使得nnrTIACC 000 推論推論 設(shè)設(shè)A、B均為均為n階復(fù)對稱矩陣，則階復(fù)對稱矩陣，則A與與B在在復(fù)數(shù)域上合同的充分必要條件是復(fù)數(shù)域上合同的充分必要條件是 ).()(BrAr 用矩陣的語言描述，則有

5、用矩陣的語言描述，則有 設(shè)設(shè) 是秩為是秩為 的實(shí)二的實(shí)二次型次型, , 假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)型為假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)型為系數(shù)有系數(shù)有p 個(gè)個(gè) 為正，其余為負(fù)，為正，其余為負(fù)，作作線性替換線性替換 AXXxxxfTn ,21r22221111pppprrfb yb ybyb y其中其中 , 為二次型的秩。為二次型的秩。rribi), 2 , 10 （二. 實(shí)二次型12,piiibbb111111,ppripipirirrnnywywywywyzyz 2222211rrwbwbwb 則則再對上式作可逆實(shí)線性替換再對上式作可逆實(shí)線性替換1111111,rrrrnnryzyzyzyzbb22221111pppprrf

6、b yb ybyb y221221rppzzzzf 稱此式為稱此式為實(shí)二次型實(shí)二次型 的規(guī)范形的規(guī)范形，它由它由 和和 完完全確定。全確定。fpr 定理定理6.3.4 (6.3.4 (慣性定理慣性定理) ) 任意一個(gè)實(shí)二次任意一個(gè)實(shí)二次型型 ，總可以經(jīng)過一個(gè)，總可以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡鎸?shí)線性替換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是適當(dāng)?shù)目赡鎸?shí)線性替換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。唯一的。 AXXxxxfTn ,21若用矩陣的語言來描述，則慣性定理成為若用矩陣的語言來描述，則慣性定理成為定理定理6.3.56.3.5 對任意一個(gè)秩為對任意一個(gè)秩為r r的是對稱矩陣的是對稱矩陣A，一定存在可逆矩陣一定存在可逆矩陣

7、nnRC 使得使得 nnprpTIIACC 0000000其中其中 p 由由 A 唯一確定。唯一確定。 定義定義6.3.16.3.1 在秩為在秩為 r 的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱為稱為正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)， 負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) r-p 稱為稱為負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)，它們的它們的差差 稱為符號差。稱為符號差。 rpprp 2)( 推論推論 任意兩個(gè)任意兩個(gè) n 階實(shí)對稱矩陣在實(shí)數(shù)域上階實(shí)對稱矩陣在實(shí)數(shù)域上合同的充要條件是，它們有相同的秩和正慣性合同的充要條件是，它們有相同的秩和正慣性指數(shù)。指數(shù)。 6.4 實(shí)二次型的定

8、性 定義定義6.4.16.4.1 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 AXXxxxfTn ,21若對任意非零實(shí)向量若對任意非零實(shí)向量 , ,恒有恒有 TnxxxX),(21 （1 1） ，則稱，則稱 f 是正定的，稱是正定的，稱 A 是是正定矩陣正定矩陣； 0 AXXfT （2 2） ，且至少存在一個(gè)非零，且至少存在一個(gè)非零的實(shí)向量的實(shí)向量 , ,使得使得 ，則稱，則稱 f 是是半正定的，稱半正定的，稱 A 為為半正定矩陣半正定矩陣； 0 AXXfT0X000 AXXfT ( 3 ( 3） ，則稱，則稱 f 是負(fù)定的，稱是負(fù)定的，稱A 為為負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣； 0 AXXfT （4 4） ，且至少存在一個(gè)非零

9、，且至少存在一個(gè)非零的實(shí)向量的實(shí)向量 , ,使得使得 ，則稱，則稱 f 是半負(fù)定的，稱是半負(fù)定的，稱 A為為半負(fù)定矩陣半負(fù)定矩陣。 0 AXXfT0X000 AXXfT 若二次型若二次型 的值既可為正的值既可為正, ,又可為負(fù)又可為負(fù), , 則稱則稱 是是不定的不定的。 nxxxf,21f是正定的是正定的; ;是半正定的；是半正定的；是負(fù)定的；是負(fù)定的；是半負(fù)定的；是半負(fù)定的； 2222121,nnxxxxxxf nrxxxxxxfrn 2222121, 2222121,nnxxxxxxf nrxxxxxxfrn 2222121, 22122121,rppnxxxxxxxf 是不定的是不定的

10、rp 0判定二次型的定性判定二次型的定性 定理定理6.4.16.4.1 可逆的實(shí)線性替換不改變實(shí)二可逆的實(shí)線性替換不改變實(shí)二次型的定性。次型的定性。 定理定理6.4.26.4.2 設(shè)設(shè)n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 則下列命題等價(jià)：則下列命題等價(jià)： AXXxxxfTn ,21（1 1） 是正定二次型（是正定二次型（A是正定矩陣）是正定矩陣） ),(21nxxxf(3)(3)存在可逆的實(shí)矩陣存在可逆的實(shí)矩陣B, ,使得使得 ； BBAT （2 2） 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為n( ); ( ); IA ),(21nxxxf（4 4）A的的n個(gè)特征值全部大于零個(gè)特征值全部大于零 。 推論推論1 1 二次

11、型二次型 正定的充正定的充要條件是它的規(guī)范形為要條件是它的規(guī)范形為 ),(21nxxxf2222121),(nnyyyxxxf 推論推論2 2 正定矩陣的行列式大于正定矩陣的行列式大于0 0。 定理定理6.4.36.4.3 若若A是正定矩陣，則是正定矩陣，則 (1) (1) kA為正定矩陣，其中為正定矩陣，其中k為任意正實(shí)數(shù)；為任意正實(shí)數(shù)； (2) (2) 為正定矩陣為正定矩陣; ; 1 A（3 3） 為正定矩陣，其中為正定矩陣，其中m為任意正整數(shù)為任意正整數(shù); ; mA（4 4）A A的伴隨矩陣的伴隨矩陣 為正定矩陣為正定矩陣 *A（5 5） 為正定矩陣，其中為正定矩陣，其中C為任意可逆為任

12、意可逆實(shí)矩陣。實(shí)矩陣。 ACCT(6) ,.A BnAB 若若均均為為 階階正正定定矩矩陣陣 則則也也是是正正定定矩矩陣陣解解 方法一（配方法）方法一（配方法）將二次型將二次型 配成完全平方項(xiàng)之和。配成完全平方項(xiàng)之和。),(321xxxf 233222213213432),(xxxxxxxxf 03532322323221 xxxx 例例6.4.26.4.2 判斷二次型判斷二次型 是否正定。是否正定。 22212312323(,)2334fxxxxxxx x 易見，易見，00320),(3213321321 xxxxxxxxxxf因此由正定二次型的定義，因此由正定二次型的定義， 正定正定),(

13、321xxxf于是于是方法二（求特征值法）方法二（求特征值法）寫出二次型寫出二次型 對應(yīng)的矩陣對應(yīng)的矩陣 ，并求，并求 的全部特征值。的全部特征值。),(321xxxfAA 320230002A 215IA5, 1, 2321 顯然它們?nèi)笥诹?，因此二次型顯然它們?nèi)笥诹悖虼硕涡驼?。正定?,(321xxxf由上式求得由上式求得 的全部特征值為的全部特征值為A定義定義6.4.26.4.2 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣 ，稱子式，稱子式為矩陣為矩陣A的的k階順序主子式。階順序主子式。 ijaA nkaaaaaaaaakkkkkkk, 2 , 1,212222111211 , 011 a, 02221

14、1211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa這個(gè)定理稱為這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理霍爾維茨定理定理定理6.4.46.4.4 對稱矩陣對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即的各階順序主子式為正，即例例1 1 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的矩陣為的矩陣為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例6.4.3 試問試問 t 取何值時(shí)，二次

15、型取何值時(shí)，二次型2221231231213(,)2322 11 20103f x xxxxxtx xx xtAt 正定.正定.二次型對應(yīng)的矩陣二次型對應(yīng)的矩陣解解0(1,2,3), kk 二次型正定的充分必要條件是二次型正定的充分必要條件是即即21223311 20211203401030222 32 30. 332 32 333ttttttttt 2 2，由得，由得，由得因此當(dāng)由得因此當(dāng)時(shí)，二次型正定。時(shí)，二次型正定。例例6.4.46.4.4 設(shè)設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，是實(shí)對稱矩陣，B是正定矩陣，證是正定矩陣，證明：存在可逆實(shí)矩陣明：存在可逆實(shí)矩陣C，使得，使得 和和 都都成對角形成對角形 .

16、.ACCTBCCT（2 2） 的負(fù)慣性指數(shù)為的負(fù)慣性指數(shù)為n( ); ( ); 定理定理6.4.56.4.5 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 ，則下列命題等價(jià)：則下列命題等價(jià)：(1) (1) 是負(fù)定二次型是負(fù)定二次型(A(A是負(fù)定矩陣是負(fù)定矩陣) ) AXXxxxfTn ,21),(21nxxxf),(21nxxxfIA (3) (3)存在可逆的實(shí)矩陣存在可逆的實(shí)矩陣B, ,使得使得 BBAT （4 4）A的的n個(gè)特征值全部小于零個(gè)特征值全部小于零 ； (5) (5)A的順序主子式的順序主子式 滿足滿足 k ., 2 , 1, 0) 1(nkkk 定理定理6.4.66.4.6 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 ，則

17、下列命題等價(jià)：則下列命題等價(jià)： AXXxxxfTn ,21（1 1） 是半正定的二次型（是半正定的二次型（A A是是半正定的）；半正定的）； ),(21nxxxf（2 2） 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為 ( ( 其中其中1 1共有共有 個(gè)個(gè) ),(21nxxxfnArp )(),0 , 0 , 1 , 1(diagA nAr )(3)(3)存在不可逆的實(shí)矩陣存在不可逆的實(shí)矩陣B,B,使得使得 BBAT 另外，關(guān)于實(shí)二次型顯然有如下結(jié)論：另外，關(guān)于實(shí)二次型顯然有如下結(jié)論： （5 5）A的各階主子式全部大于等于零，且的各階主子式全部大于等于零，且其中至少有一個(gè)等于零。其中至少有一個(gè)等于零。 （4

18、4）A的特征值都大于等于零，且其中至的特征值都大于等于零，且其中至少有一個(gè)等于零；少有一個(gè)等于零； 1 2正正定定；負(fù)負(fù)定定ff ;半半正正定定半半負(fù)負(fù)定定ff 例例6.4.16.4.1 證明：如果證明：如果 是正定矩陣，是正定矩陣，那么那么 也是正定矩陣。也是正定矩陣。1 AA 證證 證法一證法一 由定理由定理6.4.3,6.4.3,若若 是正定矩是正定矩陣，則陣，則 也是正定矩陣。命題得證。也是正定矩陣。命題得證。1 A AA 11 證法二證法二 由由 是正定矩陣知，是正定矩陣知， 上式兩端取逆，有上式兩端取逆，有 , , 即即 是實(shí)對稱矩陣。是實(shí)對稱矩陣。于是于是 11 AAT1 AAAT A YAYYYAAXXAXXTT11, 對任意非零的對任意非零的 , ,必有必有 , , （否則（否則, , ,矛盾。），于是由矛盾。），于是由 的正定性，必有的正定性，必有nRX nRYY 001 YAX1 A01 YAYAXXTT從而二次型從而二次型 正定，正定， 是正定矩陣。是正定矩陣。AXXTA證法三證法三 已知已知 是正定矩陣，同時(shí)有是正定矩陣，同時(shí)有1 AAAAAT 11(XA Y 令）令）將