趣味數(shù)學--抽屜原理

1、 晏子春秋晏子春秋里有一個里有一個“二桃殺三士二桃殺三士”的故事，的故事，大意是：大意是： 齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。公孫接和古冶子。 這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻上一計：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃并獻上一計：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。子，讓他們自己評

2、功，按功勞的大小吃桃。 三名勇士都認為自己的功勞很大，應該單獨吃三名勇士都認為自己的功勞很大，應該單獨吃一個桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一一個桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準備要吃桃子古冶子說出了自己更大的功勞。兩人正準備要吃桃子古冶子說出了自己更大的功勞。 公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實不如古冶子公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實不如古冶子大，感到羞愧難當，趕忙讓出桃子。并且覺得自己大，感到羞愧難當，趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實在丟人，是好功勞不

3、如人家，卻搶著要吃桃子，實在丟人，是好漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴；為了維護自己而羞辱同瞞功勞，則有失勇士尊嚴；為了維護自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個伙伴都為此而死了，伴，又有損哥們義氣。如今兩個伙伴都為此而死了，我獨自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。我獨自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。 晏子采用借晏子采用借“桃桃”殺人的辦法，不費吹灰之殺人的辦法，不費吹灰之力，便達到了他預定的目的，可說是善于運用權力

4、，便達到了他預定的目的，可說是善于運用權謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道：謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道：“一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國務晏子！相國務晏子！” 在晏子的權謀之中，包含了一個重要的在晏子的權謀之中，包含了一個重要的數(shù)學原理數(shù)學原理抽屜原理抽屜原理。 “ “ 抽屜原理抽屜原理”又稱又稱“鴿籠原理鴿籠原理”，最先是由，最先是由1919世世紀的德國數(shù)學家紀的德國數(shù)學家狄里克雷狄里克雷提出來的，所以又稱提出來的，所以又稱“狄狄里克雷原理里克雷原理”。狄里克雷狄里克雷德國數(shù)學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和德國數(shù)學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)

5、學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。之一。18051805年年2 2月月1313日生于迪倫，日生于迪倫，18591859年年5 5月月5 5日卒于格丁根。中學時曾受教于物理學家日卒于格丁根。中學時曾受教于物理學家G.S.G.S.歐姆；歐姆；1822182218261826年在巴黎求學，深受年在巴黎求學，深受J.-J.-B.-J.B.-J.傅里葉的影響傅里葉的影響 ?；貒笙群笤诓祭姿??；貒笙群笤诓祭姿箘诖髮W、柏林軍事學院和柏林大學任教勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教2727年，年，對德國數(shù)學發(fā)展產生巨大影響。對德國數(shù)學發(fā)展產生巨大影響。18391

6、839年任柏年任柏林大學教授，林大學教授，18551855年接任年接任C.F.C.F.高斯在格丁根高斯在格丁根大學的教授職位。大學的教授職位。狄利克雷原則是組合數(shù)學中一個重要的原理。把它狄利克雷原則是組合數(shù)學中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。形式一：形式一： 設把設把n n1 1個元素分為個元素分為n n個集合個集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個集合里相應個集合里相應的元素個數(shù)，證明至少存在某個的元素個數(shù)，證明至少存在某個a ai i大于或等于大于或等于2.2.

7、形式二：形式二： 設把設把n nm m1 1個元素分為個元素分為n n個集合個集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個個集合里相應的元素個數(shù)，證明至少存在某個集合里相應的元素個數(shù)，證明至少存在某個a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。 19471947年，匈牙利數(shù)學家把這一原理引進到中學生數(shù)年，匈牙利數(shù)學家把這一原理引進到中學生數(shù)學競賽中，當年匈牙利全國數(shù)學競賽有一道這樣的試題學競賽中，當年匈牙利全國數(shù)學競賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個人中，一定可以找到三個互相認識的證明：任何六個人中，一定可以找到三個互相認

8、識的人，或者三個互不認識的人。人，或者三個互不認識的人?！?” 如果如果B、C、D三人三人互不認識互不認識，那么我們就找到了，那么我們就找到了三個三個互不認識互不認識的人；如果的人；如果B、C、D三人中有兩個三人中有兩個互相互相認識認識，例如，例如B與與C認識，那么，認識，那么，A、B、C就是三個就是三個互相互相認識認識的人。不管哪種情況，本題的結論都是成立的。的人。不管哪種情況，本題的結論都是成立的。 用用A、B、C、D、E、F代表六個人，從中隨便找代表六個人，從中隨便找一個，例如一個，例如A吧，把其余五個人放到吧，把其余五個人放到“與與A認識認識”和和“與與A不認識不認識”兩個兩個“抽屜抽

9、屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有三個人。不妨假定在少有一個抽屜里有三個人。不妨假定在“與與A認識認識”的的抽屜里有三個人，他們是抽屜里有三個人，他們是B、C、D。(1 16) 162136 1. 1.有黑色、白色、黃色的筷子各有黑色、白色、黃色的筷子各8 8根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證達到要求？少要取多少根才能保證達到要求？ 2.2.在在1 1只箱子里面放著紅、黑、白只箱子里面放著紅、黑、白三種顏色的手套各三種顏色的手套各6 6副，如想閉著眼副

10、，如想閉著眼睛從中取出兩副顏色不同的手套，問睛從中取出兩副顏色不同的手套，問至少要取出多少只才能達到要求？至少要取出多少只才能達到要求？121212121 12525 3. 在在2323的方格紙中，將的方格紙中，將19這這9個數(shù)字填入每個小方格中，并對所有個數(shù)字填入每個小方格中，并對所有形如形如“十字十字”的圖形中的的圖形中的5個數(shù)字和，個數(shù)字和，對于小方格中的數(shù)字的任意一種填法，對于小方格中的數(shù)字的任意一種填法，其中和數(shù)相等的其中和數(shù)相等的“十字十字”圖形至少有圖形至少有多少個？多少個？ 4. 400人中至少有兩個人的生日相同人中至少有兩個人的生日相同.分析：生日從分析：生日從1月月1日排到

11、日排到12月月31日，共有日，共有366個不相個不相同的生日，我們把同的生日，我們把366個不同的生日看作個不同的生日看作366個抽屜，個抽屜，400人視為人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相人中有兩人的生日相同同.解：將一年中的解：將一年中的366366天視為天視為366366個抽屜，個抽屜，400400個人看作個人看作400400個蘋果，由抽屜原理的表個蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式現(xiàn)形式1 1可以得知：至少有兩人的生日相可以得知：至少有兩人的生日相同同. .5. 5. 任取任取5

12、 5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被使它們的和能夠被3 3整除整除. .證明：任意給一個整數(shù)，它被證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為除，余數(shù)可能為0，1，2，我，我們把被們把被3除余數(shù)為除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類的整數(shù)各歸入類r，r1，r2.至少有至少有一類包含所給個數(shù)中的至少兩個一類包含所給個數(shù)中的至少兩個.因此可能出現(xiàn)兩種情況：因此可能出現(xiàn)兩種情況：.某一類至少包含三個數(shù)；某一類至少包含三個數(shù)；.某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù)某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù). 若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三若是第一種情況，

13、就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被數(shù)，其和一定能被3整除；整除； 若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被3整整除除.綜上所述，原命題正確綜上所述，原命題正確. 6. 6. 某校派出學生某校派出學生204204人上山植樹人上山植樹1530115301株，株，其中最少一人植樹其中最少一人植樹5050株，最多一人植樹株，最多一人植樹100100株，株，則至少有則至少有5 5人植樹的株數(shù)相同人植樹的株數(shù)相同. .證明：按植樹的多少，從證明：按植樹的多少，從50到到100株可以構造株可以構造51個抽個抽屜，則個問題就轉化為至少有屜，則

14、個問題就轉化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里個抽屜里. (用反證法用反證法)假設無人或人以上植樹的株數(shù)假設無人或人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同在同一個抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，人，所以，每個抽屜最多有每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(504(5051519999100)100)4 4251)10050( 1530015301得出矛盾得出矛盾.所以，至少有所以，至少有5 5人植樹的株數(shù)相同人植樹的株數(shù)相同. . 形式一：形式一： 設把設把n n1 1個元素分為個元素分為n n個集合個集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個集合個集合里相應的元素個數(shù)，證明至少存在某個里相應的元素個數(shù)，證明至少存在某個a ai i大于大于或等于或等于2.2.形式二：形式二： 設把設把n nm m1 1個元素分為個元素分為n n個集合個集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a