《曲線和方程》教學(xué)設(shè)計

1、曲線和方程（1）教學(xué)設(shè)計四川省德陽中學(xué)一一左曦 638000一：教學(xué)目標(biāo)?知識與技能目標(biāo)了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系；初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；學(xué)會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強(qiáng)化“形”與“數(shù)” 一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。?過程與方法目標(biāo)（1）通過直線方程的復(fù)習(xí)引入，加強(qiáng)學(xué)生對方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識；（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動過程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；（3）能用所學(xué)知識理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問題， 從中體會轉(zhuǎn)化

2、化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識。?情感與態(tài)度目標(biāo)（1）通過概念的復(fù)習(xí)引入，從特殊到一般，讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)， 學(xué)生能夠體驗(yàn)幾何問題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來研究，真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的重要工具；（3）學(xué)生通過觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。二：教材分析1、教學(xué)分析：因?yàn)閷W(xué)生已有了用方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線的感性認(rèn)識（特別是二元一次方程表示直線），現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程。所以本節(jié)課采用了復(fù)習(xí)引入課題，從特殊到一般的方法讓學(xué)生易于接受

3、。在概念 的探索過程中采用了舉反例的方法來揭示概念的內(nèi)涵。在概念的應(yīng)用即例題的設(shè)計方面，著重鞏固對概 念的兩個條件的認(rèn)識。2、教學(xué)重點(diǎn)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。（本節(jié)課是由直觀表象上升到抽象概念的過程，學(xué)生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延。由于學(xué)生已經(jīng)具備 了用方程表示直線，拋物線等實(shí)際模型，積累了感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，所以可用舉反例的方法來解決困惑， 通過反例，揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學(xué)生對概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索，自然地得 出定義。為強(qiáng)化其認(rèn)識，又決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，并以此為工具來分析 實(shí)例，

4、這將有助于學(xué)生的理解，有助于學(xué)生通其法、知其理。）3、教學(xué)難點(diǎn)怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。（因?yàn)閷W(xué)生在作業(yè)中容易犯想當(dāng)然的錯誤，通常在已知曲線建立方程的時候，不驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上，就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點(diǎn)，本節(jié)課設(shè)計了三種有層次的例題：例3是概念的直接運(yùn)用，例 4是證明曲線的方程，例5是概念的逆向運(yùn)用。通過這些例題讓學(xué)生再一次體會“二者”缺一不可。）三：學(xué)情分析此前，學(xué)生已知，在建立了直角坐標(biāo)系后平面內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對之間建立了 對應(yīng)關(guān)系，已有了用方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)） 表示曲線的感性認(rèn)識 （特別是二元一次方程表示直線），現(xiàn)在要進(jìn)一

5、步 研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程，對學(xué)生有相當(dāng)大的難度。學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易產(chǎn)生的問題是，不理解“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”和“以這 個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”這兩句話在揭示“曲線和方程”關(guān)系時各自所起的作用。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)也只能是初步領(lǐng)會，要求學(xué)生能答出曲線和方程間必須滿足兩個關(guān)系時才能稱作“曲線的方程”和“方程的曲線”兩者缺一不可，并能借助實(shí)例指出兩個關(guān)系的區(qū)別。四：教學(xué)方法1、教法：教學(xué)過程是教師和學(xué)生共同參與的過程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要

6、完成的教學(xué)目標(biāo)，并為激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣，我采用如下的教學(xué)方法：（1）引導(dǎo)探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過學(xué)生觀察坐標(biāo)系中的曲線和方程之間的關(guān)系，來得出曲線和方程的概念， 這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性。（2）嘗試指導(dǎo)法，以學(xué)生為主體，以訓(xùn)練為主線。這樣更能突出重點(diǎn)、解決難點(diǎn)，使學(xué)生的分析問題和解 決問題的能力得到進(jìn)一步的提高。2、學(xué)法：教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識更重要，本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：（1）觀察分析：讓學(xué)生要學(xué)會觀察問題，分析問題和解決問題。（2）練習(xí)鞏固：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運(yùn)用，從而鞏固對概念的理解，找出未掌握的內(nèi)

7、容及其差距。五：教學(xué)活動程序1、承上啟下，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。下面看一個具體的例子：借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會:必須同時滿足（1）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解和（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是直線上的點(diǎn)，即方程的解的集合與直線上所有點(diǎn)的集合之間建立了 對應(yīng)關(guān)系，那么直線（圖形） 方程（數(shù)量）_2類比方程y = X與如圖所示的拋物線。 這條拋_2一 -物線是否與這個二元方程y=X也能建立這種對應(yīng)關(guān)系呢？（按照例

8、1的分析方式的得出答案是肯定的 .）推廣：那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容：曲線和 方程。（板書課題）現(xiàn)在請同學(xué)們思考這樣的問題:F（x,y）=0方程F（x，y）-0的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具孔樣的關(guān)系，就能用方程F（x，y）0表示曲線C,同時曲線C也表示著方程F （x，y） = 0 ,為什么要具備這些條件？（將問題重述一遍，使每個學(xué)生聽清楚。學(xué)生思考，討論，口答）（說明：運(yùn)用學(xué)生熟知的舊知識，由特殊到一般，既提出了課題，又為形成曲線和方程的概念提供了實(shí)際模型。但是如果就此而由教師直接給出結(jié)論，那就不僅會失去開發(fā)學(xué)生思維的機(jī)會，影響學(xué)生的理解，而且會

9、使教學(xué)變得枯燥乏味，抑制學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。要啟動學(xué)生的思維，就要有一個明確的可供思考的問題，使學(xué)生的思維有明確的指向。這里提出的思考 題是以相信學(xué)生對用方程表示曲線的事實(shí)已有了初步的認(rèn)識為前提，它可以說是本節(jié)課的中心議題，應(yīng) 引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維，讓多一點(diǎn)學(xué)生發(fā)表意見，形成“高潮”。在思考題的后面加上了 “為什么”的問題。是為了給那些還記著“直線的方程”的定義的學(xué)生提供思考余地，增大思考題的跨度。）運(yùn)用反例，揭示內(nèi)涵師：剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”；還有的同學(xué)雖用了不同的提法

10、，但意思不外乎這兩個?，F(xiàn)在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一個事實(shí)？有何區(qū)別？究竟用 怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線和方程的這種對應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來？為了弄清這些問題，我們來研究 下列例題。（說明：在討論中，學(xué)生會有各種不同的意見，教師應(yīng)予鼓勵，并隨時補(bǔ)正糾錯，但不要急著把兩個關(guān)系并列起來拋出定義，中斷學(xué)生的探索性思維，而是再提出問題，深入探索。）例2:用下列方程表示如圖所示的曲線C,對嗎？為什么？(1) x-,y=022(2) x _y =0(3) x-y=0(學(xué)生思考，回答)師：方程（1）, （2）, （3）都不是表示曲線 C的方程。第（1）題中曲線C上的點(diǎn)不全是方程 &q

11、uot;x 一1y=0的解。例如點(diǎn)A(-2,-2)B(- 3,-3)等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論;22第（2）題中，盡管“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但是以方程x -y =0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)卻不全在曲線C上。例如D（2，-2）、E（-J3, J3）等，即不符合“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；第（3）題中，則既有以方程x-y=0的解坐標(biāo)的點(diǎn)，如G（-3,3）、H（-V2,揚(yáng)等不在曲線C上，又有曲線C上的點(diǎn)，如M（一3，-3）、NL，-1）等的坐標(biāo)不是方程X-y=0的解。事實(shí)上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線應(yīng)該是如圖所示的三種情況。AYAYY

12、師：上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例1;又觀察、分析了例 2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱為“曲線的方程”的話，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了。（說明：在概念教學(xué)中，通過反例的反襯，常常起著幫助學(xué)生理解概念的作用。反例一般應(yīng)用在學(xué)生對概念有了初步的正面了解之后，這里卻用在給出概念的定義之前，那是出于這樣的考慮：（1）相信學(xué)生已經(jīng)有了用方程表示曲線的經(jīng)驗(yàn)，已能從直覺上識別哪個方程能表示哪條曲線（當(dāng)然是簡單的例子），哪個方程不能表示哪條曲線，缺少的只是用邏輯形式確切地加以陳述，給概念以定義；（2

13、）將反例中出現(xiàn)的不完整性與直觀引起矛盾，避免曲線和方程之間關(guān)系的不完整性，尋求作出必要的規(guī)定，這就是產(chǎn)生“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義的過程。）討論歸納，得出定義師：在下定義時，針對例 2 （1）中“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)”，以及（2）中“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上”的情況，對“曲線的方程”應(yīng)作何規(guī)定？（學(xué)生口答）師：為了不使曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)，必須規(guī)定“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”（板書）；為了防止以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上，必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”（板書）這樣我們可以對“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系

14、中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程 f（x，y） 二 °的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。（說明：在辨析反例之后，有了關(guān)于對象所共有的本質(zhì)屬性的正確認(rèn)識，給對象以明確的定義已是水到渠成，這里單獨(dú)列出作為一個教學(xué)步驟，是想突出這個中心環(huán)節(jié)，并有意識地訓(xùn)練學(xué)生依據(jù)知覺的分散的已知知識給概念下定義的創(chuàng)造能力。）4、變換表達(dá)，強(qiáng)化理解師：大家熟知，曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C; 一個二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個點(diǎn)集，記作F。請大家思考：如

15、何用集合 C和F間的關(guān)系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關(guān)系？進(jìn)而重新認(rèn)識“曲線的方程”和“方程的曲線”定義。（說明：這是本節(jié)課第二個思維的“熱點(diǎn)”，將促使學(xué)生對曲線和方程關(guān)系的理解得到強(qiáng)化，是認(rèn)識上的再一次抽象，其結(jié)果將使學(xué)生對曲線和方程的關(guān)系的理解與記憶都趨于簡化。）（學(xué)生思考、口答）師：關(guān)系（1）指點(diǎn)集C是點(diǎn)集F的子集；關(guān)系（2）指點(diǎn)集F是點(diǎn)集C的子集。這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即（板書）C3F（2）F=C: <=>C=F。5:初步應(yīng)用，反復(fù)辨析。（說明：數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中的以鞏固，通過運(yùn)用與練習(xí)，可

16、以糾正錯誤的認(rèn)識，促使對概念的正確理解，通過反復(fù)重現(xiàn)，可以不斷領(lǐng)悟，加強(qiáng)識記。這里安排的“初步應(yīng)用” ，目的也在于幫助學(xué)生正確理解概念，通過解題辨析“兩個關(guān)系”，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，為此，題目中的“曲線”與“方程”都力求簡單。）例3:下列各題中，圖所示的曲線 C的方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系？曲線C為AABC的中線AO曲線C是到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)組成的直線方程x =0曲線C是過點(diǎn)（4, 1）的反比例函數(shù)圖象4 y =一方程x學(xué)生回答：（1）錯。不符合定義中的（2）,即d F，但F 0C;（2）錯。不符合定義中的（1）,即F三C，但C0 F ,；（3）錯。不符合定

17、義中的（1）和（2）,即C® F，且F® C ；例4:解答下列問題，并說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關(guān)系?點(diǎn)A（3,-4）, B（ -245,2）是否在方程為x2 + y2 = 25的圓上？22已知方程為x y =25的圓過點(diǎn)C（V7,m）,求m的值。（學(xué)生練習(xí)、回答，老師糾錯、小結(jié)。 ）師；依據(jù)關(guān)系（2）,可知點(diǎn)A在圓上；依據(jù)關(guān)系（1）,可知點(diǎn)B不在圓上；依據(jù)關(guān)系（2）,求得m = ±32 ；22 cL例5:證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是x +y =25。22 cL（說明：課本上原有例題：證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是

18、x +y =25,并判斷點(diǎn)M1（3T）, M2（-2戰(zhàn)，2）是否在圓上。處理時將有些要求分散到了例3與例4中，例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會上，對證明過程中在表述上遇到的一些困難，留在這里解決，層層深入。）師：（學(xué)生練習(xí)過程中，適時插話。）與剛才判定時一樣，證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行；關(guān)系（1）、（2）中，“點(diǎn)”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，我們只要用 （x0,yo）表示“任意一個”，以此代表“全體”即可，這種方法為數(shù)學(xué)證明中常用。證明：（略）三：小結(jié)師：本節(jié)課我們通過對實(shí)例的研究，掌握了 “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)會定義時，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和