非參數(shù)統(tǒng)計4講解

1、第四章第四章 多樣本數(shù)據(jù)檢驗多樣本數(shù)據(jù)檢驗在參數(shù)檢驗中，我們常常對三個或三個以上的總體的均值進行相等性檢驗，使用的方法是方差分析，在非參數(shù)分析中也會遇到同樣的問題，檢驗多個總體的分布是否相同。更嚴密的說，當幾個總體的分布相同的條件下，討論其位置參數(shù)是否相等 。方差分析過程需要假定條件,F檢驗才有效?？捎袝r候所采集的數(shù)據(jù)常常不能滿足這些條件，像多樣本比較時一樣，我們不妨嘗試將數(shù)據(jù)轉化為秩統(tǒng)計量，因為秩統(tǒng)計量的分布與總體分布無關，可以擺脫總體分布的束縛。 第一節(jié) Kruskal-Wallis檢驗 基本原理基本原理：與處理兩樣本位置檢驗的W-M-W方法類似，將多個樣本混合起來求秩，如果遇到打結的情況

2、，采用平均秩，然后再按樣本組求秩和。將 k 組數(shù)據(jù)混合，并從小到大排列，列出等級，如有相同數(shù)據(jù)則取平均等級，如果原假設為不真，某個總體的位置參數(shù)太大，則其觀測值也傾向于取較大的值，則該總體的觀測值的秩和也會偏大。檢驗方法檢驗方法計算第j組的樣本平均秩： 對秩仿照方差分析原理：得到Kruskal-Wallis的H統(tǒng)計量： 在零假設情況下，H近似服從 ，當 的時候拒絕零假設。 2(k 1)2,(k 1)H1inijjiiijRRRnn22112112121()()(1)(1)212 3(1)(1)kkiiiiiikiiiNHn RRn RN NN NRNN Nn例：為研究4種不同藥物對兒童咳嗽的治

3、療效果，將25個體質相似的病人隨機分為4組，各自采用A/B/C/D四種藥物進行治療，假定其他條件均保持相同。5天后測量每個病人每天咳嗽次數(shù)如下，試比較這4種藥物的治療效果是否相同。例：從我國上市公司中分別隨機抽取了工業(yè)、商業(yè)、建筑業(yè)、交通運輸業(yè)等四個行業(yè)，其在1999年的總資產(chǎn)報酬率如下：問四個行業(yè)資產(chǎn)報酬率是否有顯著性差異.分析：要檢驗這四個組數(shù)據(jù)的差異性，也可以利用方差分析，但方差分析需要假定觀測值服從正態(tài)分布，所以用Kruckal-Wallis檢驗。首先將四個組的數(shù)據(jù)混合，然后排序求秩 多重比較多重比較對比其中每兩組差異的時候，用Dunn(1964)年提出用：其中如果 那么表示i和j兩組

4、之間存在差異， ， 為標準正態(tài)分布分位數(shù)。 *ij1|d | Z*/k(k1) ZSERRdjiij/ |.(1)1112ijN NSEnn第二節(jié) Jonckheere-Terpstra 檢驗在上一節(jié)中，我們只是考慮了備選假設無方向時的秩檢驗法，而在實際中有許多問題，其備選假設可能是有方向的。比如，在研究某種治頭痛藥的療效時，第i組患者的藥量可能跟i有關；在研究某項教學方法的效果時，學校效果的好壞可能跟班上的聽課人數(shù)有關系等等。此時要檢驗的備擇假設即為有方向性（傾向性）的。前面的K-W檢驗則無法反映這一方向性。檢驗原理以及方法檢驗原理以及方法假設k個獨立的樣本： 分別來自于k個形狀相同的分布：

5、 .假設檢驗問題：至少有一不等式嚴格成立。1k111nk1knX, X;X, X1kF(x),F(x)01k11kH :H : 檢驗步驟檢驗步驟ijiujvijU#(XX ,u 1,n ;v 1,n )2. 計算Jonckheere-Terpstra統(tǒng)計量：iji jJU3. 當J取大值的時候，考慮拒絕零假設，J精確分布可以查零分布表，對于大樣本，可以考慮正態(tài)近似。 1. 計算打結的情況時，采用變形的公式：*ijiujvijiujvij1U#(XX ,u 1,n;v 1,n )#(XX ,u 1,n;v 1,n )2*iji jJU例題分析例題分析所以采用J-T檢驗。U12=25，U13=31

6、，U23=28.5 J=25+31+28=84.5（查表）Ex：人們在研究肺病患者的生理性質時發(fā)現(xiàn)患者的肺活量與他早在兒童時期是否接受過某種治療有關?，F(xiàn)觀察3組病人，第一組早在兒童時期接受過肺部輻射；第二組接受過胸外科手術，第三組沒有治療過?，F(xiàn)觀察到其肺活量占其正常值的百分比如下：以往的經(jīng)驗告訴我們，這三組病人的肺活量有如下關系：第二組 第一組 第三組。試判斷這一經(jīng)驗是否可靠。Ex：人們在研究肺病患者的生理性質時發(fā)現(xiàn)患者的肺活量與他早在兒童時期是否接受過某種治療有關。現(xiàn)觀察3組病人，第一組早在兒童時期接受過肺部輻射；第二組接受過胸外科手術，第三組沒有治療過。現(xiàn)觀察到其肺活量占其正常值的百分比如

7、下：以往的經(jīng)驗告訴我們，這三組病人的肺活量有如下關系：第二組 第一組 第三組。試判斷這一經(jīng)驗是否可靠。第五節(jié) Friedman秩和檢驗 11x12x1kx21x22x2kx 因子1因子2因子k區(qū)組1區(qū)組2區(qū)組bbkxb1xb2x完全隨機區(qū)組設計表 假設檢驗問題：01k1ijH :H : i, j1,k, 11R12R1kR21R22R2kRb1Rb2RbkR1R2RkR 處理1處理2處理k區(qū)組1區(qū)組2區(qū)組b秩和在每一個區(qū)組中計算各個處理的秩，再計算每個處理水平下的秩和,即 1,1,.,biijjRR ik由于每個處理水平的平均秩為： 12b (1)b(12)2kk kRRRkb(1)2kR檢驗

8、統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量利用普通類似方差分析構造統(tǒng)計量：在零假設成立下 ，如果 偏大，那么就考慮拒絕原價設。如果存在打結的情況，則可采用修正公式計算。 2(k 1)Q Q2123 (1)(1)iQRb kbk k檢驗統(tǒng)計量Q=2123 (1)(1)iRb kbk k=7.6 ， 因此可得W=0.76，結論呢？Hollander-Wolfe兩處理兩處理比較檢驗比較檢驗 當用Friedman檢驗，認為處理之間表現(xiàn)出差異的時候，那么可以進一步研究處理兩兩之間是否存在差異。 Hollander-Wolfe檢驗公式： 其中 ，在打結的情況下可使用修正的公式。當 時認為兩個處理之間存在差異，其中 ， 是顯著性水平

9、。SEbk(k1)/6*ij1| D |Z*/k(k1) SERRDjiij/ |.第六節(jié) Kendall協(xié)同系數(shù)檢驗 在實際生活中常常需要對n個個體進行m次評估，比如m個裁判對n個運動員進行評分，m個選民對n個候選人的評價等等。人們往往想知道，這m個結果之間是否一致。如果很不一致，則這個評分（價）多少有些隨機，沒有多大意義。檢驗檢驗假設檢驗問題：01H :H :這些評估是隨機的這些評估是一致的Kendall協(xié)同系數(shù)：當W值偏大的時候，考慮拒絕零假設。2ni2i 112m(n1)WRm23（n -n）第七節(jié)第七節(jié) 二元變量的二元變量的Cochran檢驗檢驗第七節(jié)第七節(jié) 二元變量的二元變量的Co

10、chran檢驗檢驗檢驗原理以及計算：檢驗原理以及計算：當完全區(qū)組設計，并且觀測只是二元定性數(shù)據(jù)時，Cochran Q檢驗方法進行處理。數(shù)據(jù)形式見下表。檢驗檢驗假設檢驗問題：01H :kH :k個總體分布相同個總體分布不同Cochran Q檢驗統(tǒng)計量：Q近似服從 分布，當Q值偏大的時候，考慮拒絕零假設。2(k 1)kk22iii 1i 1bb22jjj 1j 1k(k 1)(NN)k(k 1)N(k 1)NQkNLkNLk222ii 1b222jj 1k(k 1)N(k 1)N3(3 1)(64 64 49 36) (3 1)29Q0.52383 29 (9 28 1 3 )kNL 第八節(jié)第八節(jié) Page檢驗檢驗類似于備選假設為有序時所應用的Jonckheere檢驗，對于完全區(qū)組設計的檢驗也一樣： 與Friedman統(tǒng)計量一樣，首先在每個區(qū)組中對處理排序，然后對每個處理求出秩和。1LkiiiR01k11kH :H : 01k11kH :H : 01k11kH :H : 由上表易得:L=1*22.5+2*22.5+3*27=148.5 查表可知0.05下，Page檢驗的臨界值為153，故無法拒絕第九節(jié)第九節(jié) Durbin不完全區(qū)組分析不完全區(qū)組分析 原理：原理： 可能存在處理非常多，但是每個區(qū)組中允許的樣本量有限的時候，每一個區(qū)組中不可能包含所有的處理，比如重要的均衡不完全區(qū)組BI