最新高中排列組合方法大全(破解所有高考競(jìng)賽題)

1、排列與組合的八大典型錯(cuò)誤、 24 種解題技巧和三大模型 總論：一、知識(shí)點(diǎn)歸納二、常見題型分析三、 排列組合解題備忘錄1. 分類討論的思想2. 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想3. 容斥原理與計(jì)數(shù)4. 模型構(gòu)造思想四、排列組合中的 8 大典型錯(cuò)誤1. 沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)2. 判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)3. 重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)4. 遺漏計(jì)算出錯(cuò)5. 忽視題設(shè)條件出錯(cuò)6. 未考慮特殊情況出錯(cuò)7題意的理解偏差出錯(cuò)87. 解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)五、排列組合24 種解題技巧1排序問題相鄰問題捆綁法相離問題插空排定序問題縮倍法（插空法）定位問題優(yōu)先法多排問題單排法圓排問題單排法可重復(fù)的排列求冪法全錯(cuò)位排列問題公式法2分組分配

2、問題平均分堆問題去除重復(fù)法（平均分配問題）相同物品分配的隔板法全員分配問題分組法有序分配問題逐分法3排列組合中的解題技巧至多至少間接法染色問題合并單元格法交叉問題容斥原理法構(gòu)造遞推數(shù)列法六排列組合中的基本模型分組模型（分堆模型）錯(cuò)排模型染色問題一.知識(shí)點(diǎn)歸納1 .排列的概念： 從n個(gè)不同元素中，任取 m ( m wn )個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列.2 .排列數(shù)的定義： 從n個(gè)不同元素中，任取 m ( m <n )個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Am表示.3 .排列數(shù)公式：Am =

3、n(n 1)(n 2)|“(n m+1) (m,nwN*,mMn)4 .階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做 n的階乘.規(guī)定0! = 1.5 .排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Am=n ”(n -m)!6 .組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合.7 .組合數(shù)的概念： 從n個(gè)不同元素中取出 m (mW n )個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)cnm表示.8.組合數(shù)公式:m Amn(n-1)(n-2)ll(n-m 1)Cn=Amm!或cmn!m!(n 一m)!(n,mw N ;且m &

4、lt; n)-9 .組合數(shù)的性質(zhì)1： Cm=C：H.規(guī)定：C：=1；10 .組合數(shù)的性質(zhì)2： cm1=cm+cnm工C0 -C： C：C1C3- C5- III =2n1；C0 ' C1Cn=2nn n nnn n； n nn11 . “16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合，一。12 . “2 1個(gè)技巧”是迅速解決排列組合的捷徑二.基本題型講解例1分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)(1) 6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2) 6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4X100米接力賽，甲不

5、跑第一棒, 乙不跑第四棒；(4) 6人排成一排，甲、乙必須相鄰；(5) 6人排成一排，甲、乙不相鄰；(6) 6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊(甲、乙、丙可以不相鄰)解：(1)分排坐法與直排坐法一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為A6 =720（2）甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有a1種選法，然后其他 5人選，有a5種選法，故排法種數(shù)為A1A55 =480（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為A；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有a1種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有a4種選法，其余兩棒次不受限制，故有 a4a：a；種排法，由分類

6、計(jì)數(shù)原理，共有 A； + A4 A4 A2 = 252種排法（4）將甲乙“捆綁”成“一個(gè)元”與其他4人一起作全排列共有 書A =240種排法（5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有 A4%（或用6人的排列數(shù)減去問題（2）后排列數(shù)為 A： -240 = 480）（6）三人的順序定，實(shí)質(zhì)是從 6個(gè)位置中選出三個(gè)位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個(gè)位置上全排列，故有排法 C3A； =120種點(diǎn)評(píng)：排隊(duì)問題是一類典型的排列問題，常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2 假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取

7、 5件，求下列抽取方法各多少種？ （1）沒有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品。解：（1）沒有次品的抽法就是從 97件正品中抽取5件的抽法，共有 C；7 =64446024種（2）恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取 3件，并從3件次品中抽 2件的抽法，共有_ 3 _ 2.C97C3 =442320種（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有C97c2種第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有 C；7C；種按分類計(jì)數(shù)原理有 c97C； +C97C； =446976種.點(diǎn)評(píng)：此題是只選“元”而不

8、排“序”的典型的組合問題，附加的條件是從不同種類的元素中抽取，應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有 2件是次品），再?gòu)挠嘞碌?8件產(chǎn)品中 任意抽取3件的抽法，那么所得結(jié)果是 C；C；8 =466288種，其結(jié)論是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在“重復(fù)”：假設(shè)3件 次品是A、B、C,第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，與第一步先抽 A、C （或B、C）,第 二步再抽B （或A）和其余2件正品是同一種抽法，但在算式 C；C；8中算作3種不同抽法-例 3 求證： a；+mAm：=Am ； cm41+c，+2c=cm；證明：利用排列數(shù)公式左_ n-1 !.m n-1!n -m -1 !

9、n -m !n - m n1 ! m n 1 ! n! 八m 士=An =心n -m !n -m !另一種證法：(利用排列的定義理解)從n個(gè)元素中取m個(gè)元素排列可以分成兩類：第一類不含某特殊元素 a的排列有A二第二類含元素a的排列則先從(n-1)個(gè)元素中取出(m-1)個(gè)元素排列有 Am!1種，然后將a插入，共有個(gè)空檔，故有m ,Anmj種，因此 Am- m Am： = Anm利用組合數(shù)公式n!n!2n!左=- -m 1 ! n -m -1 iim-1 n -m 1 ! m n -mm 1 ! n -m 1 !n-m n -m 1 m m 12 m 1 n - m 1 1=右n!m 1 ! n

10、- m 1 !另法：利用公式Cnm =cn十cnv推得左=（Cm+ +cnm 計(jì) cm +cnm，）=cn? +*7 =右 點(diǎn)評(píng)：證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質(zhì)例4已知f是集合A = Qb,c,d 到集合B = 0,1,2的映射(1)不同的映射f有多少個(gè)?(2)若要求f(a)+f (b)+f(c)+f(d )=4則不同的映射f有多少個(gè)?分析：(1)確定一個(gè)映射f ,需要確定a,b,c,d的像(2) a,b,c,d的象元之和為4,則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即4有多種分析方案，各方案獨(dú)立且并列需要分類計(jì)算解：(1) A中每個(gè)元都可選 0,1,2三者之一為像，由分步計(jì)數(shù)

11、原理，共有 3 3 3 3 = 34個(gè)不同映射(2)根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的像為2的個(gè)數(shù)來分類，可分為三類:第一類：沒有元素的像為 2,其和又為4,必然其像均為1,這樣的映射只有一個(gè);第二類：一個(gè)元素的像是 2,其余三個(gè)元素的像必為 0,1,1,這樣的映射有 C：P31=12個(gè);第三類：二個(gè)元素的像是 2,另兩個(gè)元素的像必為0,這樣的映射有 C：=6個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理共有 1+12+6=19 （個(gè)）,mn種方法；問題（2）的關(guān)ADP N / « «B1M*C點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}（1）可套用投信模型：n封不同的信投入 m個(gè)不同的信箱，有鍵結(jié)合映射概念恰當(dāng)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏例5四

12、面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)為 A,從其他9點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn) A在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點(diǎn) A的四面體的三個(gè)面上，除點(diǎn) A外都有5個(gè)點(diǎn)，從 中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3C；種取法.含頂點(diǎn)A的棱有三條，每條棱上有 3個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和點(diǎn) A共面三點(diǎn)取法共有3C；+3 = 33種.（2）取出的4點(diǎn)不共面比取出的4點(diǎn)共面的情形要復(fù)雜， 故采用間接法：先不加限制任取4點(diǎn)（C：0種取法）減去4點(diǎn)共面的取法.取出的4點(diǎn)共面有三類：第一類：從四面體的

13、同一個(gè)面上的6點(diǎn)取出4點(diǎn)共面，有4C；種取法第二類：每條棱上的 3個(gè)點(diǎn)與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面，有 6種取法第三類：從6條棱的中點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共面，有3種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理 4點(diǎn)共面取法共有4C：十6+3 = 69故取4個(gè)點(diǎn)不共面的不同取法有 C： -（4C（4 +6+3）=141 （種）點(diǎn)評(píng)：由點(diǎn)構(gòu)成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，附加的條件是點(diǎn)共線與不共線，點(diǎn)共 面與不共面，線共面與不共面等 三、排列組合解題備忘錄：m個(gè)不同的元素必須相鄰，有Pm種“捆綁”方法.m個(gè)不同元素互不相鄰，分別“插入”到n個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置有Pnm種不同的“插入”方法.m個(gè)相同的元素互不相鄰，分別“插入

14、”到n個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置，有Cm種不同的“插入”方法.若干個(gè)不同的元素“等分”為 m個(gè)組，要將選取出每一個(gè)組的組合數(shù)的乘積除以P：四.排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想方法（一）.分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，從不同的側(cè)面，把原問題變成幾個(gè)小問題，分而治之，各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，A0|B含有4個(gè)元素，求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù):1） C 2A UB且C中含有3個(gè)元素，2） C0|A#e解：如圖，因?yàn)?A, B各含有12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，所以A|JB中的元 素有12+12-4=20個(gè)，

15、其中屬于 A的有12個(gè)，屬于 A而不屬于B的有8個(gè)，要使C0|A 則C中的元素至少含在 A中，集合C的個(gè)數(shù)是：1）只含A中1個(gè)元素的有C；2C；; 2）含A中2個(gè)元素的有C12C ; 3）含A中3個(gè)元素的有C132c:,故所求的集合 C的個(gè)數(shù)批有 C 1 C 2+C 2C 1+C 3C 0 T084個(gè) I <lv H177K 口 J h j I j5A/、1 128 + 128 + 128 1084 |（二）.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題沒有限定的“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計(jì)出一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的途徑，可使問題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1 .具體與抽象的轉(zhuǎn)化

16、例.某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒擊中用“ 1”表示，擊中的用“ 0”表示，可將問題轉(zhuǎn)化不下列問題：數(shù)列a1,a2,a3,a4,ai5,a6,a7有兩項(xiàng)為0, 5項(xiàng)是1,不同的數(shù)列個(gè)數(shù)有多少個(gè)？解：1）兩個(gè)0不相鄰的情況有C；種，2）兩個(gè)0相鄰的情況有C6種，所以擊中和末擊中的不同順序情況 有 C；+C；-21 種。2）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體8個(gè)頂點(diǎn)的直線中，為異面直線有多少對(duì)？分析：正面求解或反面求解（利用補(bǔ)集，雖可行，但容易遺漏或重復(fù)，注意這樣一個(gè)事實(shí)，每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著三對(duì)異面直線，因而轉(zhuǎn)化為計(jì)算以正方體頂點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)三棱錐）

17、解：從正文體珠8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有C；種，其中4點(diǎn)共面的有12種，（6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面）將不共面的4點(diǎn)可構(gòu)一個(gè)三棱錐，共有 C84-12個(gè)三棱錐，因而共有 3 （C84-12） 174對(duì)異面直線。綜上所述，有以上幾種解排列組合的方法，此外，當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累，我 們要掌握好這些方法，并且能夠靈活運(yùn)用，這樣，在日常生活中，我們們能輕易解決很多問題。教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)排列組合問題的處理方法總結(jié)得很細(xì)、很全面，而且挖掘出其中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。（三）容斥原理與計(jì)數(shù)1、文氏圖：在文氏圖中，以下圖形的含義如下：矩形：其內(nèi)部的點(diǎn)表示全集的所有元素；矩形內(nèi)

18、的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合；圓（或閉曲線）內(nèi)部的點(diǎn)：表示相應(yīng)集合的元素。2、三交集公式： A+B+C=A U BU C+AA B+BA C+AA C -AA BA C（AUBUC指的是E, AA BAC指的是D）（四）模型構(gòu)造例1. 4名同學(xué)各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人寫的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式共有 種.例2.將編號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)小球分別放入編號(hào)為 1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子放一個(gè) 小球，且小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不能相同，則共有 種不同白勺放法.這兩個(gè)問題的本質(zhì)都是每個(gè)元素都不在自己編號(hào)的位置上的排列問題，我們把這種限制

19、條件的排列問題叫 做全錯(cuò)位排列問題.例3.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置.對(duì)于第一類，就是上面講的全錯(cuò)位排列問題；對(duì)于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其余元素 可以歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問題，我們稱這種排列問題為部分錯(cuò)位排列問題.設(shè)n個(gè)元素全錯(cuò)位排列的排列數(shù)為 Tn,則對(duì)于例3,第一類排列數(shù)為T5,第二類先確定一個(gè)排原來位置的 同學(xué)有5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類的排列數(shù)為5T4,第三類先

20、確定兩個(gè)排原位的同學(xué)，有C；=10種，所以第三類的排列數(shù)為 10T3,因此例3的答案為：T5+5T4+I0T3.五.排列組合中的易錯(cuò)題1沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排 列組合問題的前提.例1 （1995年上海高考題） 從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取 5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的取法有 種.誤解：因?yàn)榭梢匀?2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是 3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有 2種取法.錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒有意識(shí)到 “選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是 3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”

21、 是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有C（2種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有C3種方法，據(jù)乘法原理共有 0（2 C3種方法.同理，完成第二類辦法中有C3 C：種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有C2 C3 +C3 C。=350種方法.例2 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有()種.(A) A3(B) 43(C) 34(D) C3誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.錯(cuò)因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式正解：四項(xiàng)比

22、賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3X3 X3 X3 =34 種.說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得43 .這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是 組合.例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有 解種方法.錯(cuò)因分析：誤解中沒有考慮 3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球

23、之間互換位置是同一種排法.正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著 8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這 3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：C3=56排法.3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4 (2002年北京文科高考題)5本不同的書全部分給 4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為 ( )(A) 480 種 (B) 240 種(C) 120 種 (D) 96 種誤解：先從5本書中取4本分給4個(gè)人，有 片種方法，剩下的1本書可以給任意一個(gè)人有 4種分法，共有4MA54

24、=480種不同的分法，選 A.錯(cuò)因分析：設(shè)5本書為a、b、c、d、e,四個(gè)人為甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表 1和表 2:甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表1表2表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d ,最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、 乙分得b、丙分得c、丁分得d ,最后一本書a給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成 了不同的情況。正好重復(fù)了一次 .正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有C£種方法；第二步：再把 4本書分給4個(gè)學(xué)生，有A4種方法.由乘法原理，共有 Cs 

25、9;A4 =240種方法，故選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有()種.(A) 5040(B) 1260(C) 210( D) 630誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有:C2C；2A =1260,選 B.錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問題 .比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.正解:C2CsA3=630 種.4遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全

26、面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例6用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有()（A） 36個(gè) （B） 48 個(gè) （C） 66 個(gè) （D） 72 個(gè)冶 1,3誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因?yàn)榈?位不能是0,在最后一位取定后只有 3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有 解種排法，共有2M3MA2 =36個(gè).錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有2M3MA3 =36個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D.5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的

27、每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解 例7 (2003全國(guó)高考題)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.(以數(shù)字作答)誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下 3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有C3 2A2=12種，由乘法原理共有：4父12=48種.錯(cuò)因分析：據(jù)報(bào)導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設(shè)“有 4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用 3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中

28、選取3種有C43種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C：M 3M2=24種.綜上共有：48 + 24 = 72種.例8已知ax2 b=0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、bwi,2,3,4,求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)誤解：從集合1,2,3,4中任意取兩個(gè)元素作為 a、b,方程有A2個(gè)，當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有 1個(gè)，共有 A4 +1 =13 個(gè).錯(cuò)因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于a 1a 2a 2 a 4一1和一2同解、和尸一4同解

29、，故要減去 2個(gè)。b =2 b =4b =1b =2正解：由分析，共有132=11個(gè)解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò)例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少 取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）（A）1024 種（B）1023 種（C）1536 種 （D）1535 種誤解：因?yàn)楣灿腥嗣駧?1張，每張人民幣都有取和不取 2種情況，減去全不取的1種情況，共有210_1=1023 種.錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成 4種情況，實(shí)際上只有不取、

30、 取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取 2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1 種情況，所以共有 29 X3 -1 =1535種.7題意的理解偏差出錯(cuò)例10現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）A3A5（B）肉-AA3（C）A3A；（D）A8A誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A5種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有A3種方法，這樣共有 A3 A5種排法，選A.錯(cuò)因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互 不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能

31、相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相 鄰.正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即A8 -A6 A ,故選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁 法、概率法等，有助于問題的解決.例10高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班 去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（A） 16種 （B） 18 種（C） 37 種（D） 48 種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有 3種選派方法，剩下的 2個(gè)班士有4種選

32、擇，這樣共有3x4x4=48種 萬案.錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算 .如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與 b班先派 去了甲工廠，a班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重 復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：4X4X4-3x3x3 =37 種方案.排列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列組合學(xué)好六.練習(xí)1五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲

33、工程隊(duì)不能承建 1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有 （B）AC：C：種 B ，C：A4 種 C C：種 D,A4種2在由數(shù)字0,1,2, 3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 J92 個(gè)3有12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是1104某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有 3位，二班有2位，其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連，不管人的順序），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為:A. 110B.20C.40D.5.用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)

34、數(shù)字的八位數(shù),要求D ）11201和2相鄰,3與4相鄰,5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有5766把一同排6張座位編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6的電影票全部分給 張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)（D ）4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2A. 168B. 96C. 72D.1447.將標(biāo)號(hào)為1, 2,，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1 , 2,，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為（ B ）A. 120B. 240C. 360D. 7208從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任

35、），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共（ B ）種A. 210 種B. 420 種C. 630 種D. 8409從集合 P, Q, R S與0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中各任選2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字 均不能重復(fù)）.每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是5832.（用數(shù)字作答）.10從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ B ）A. 300 種B. 240 種C. 144 種D. 96 種題示:C44A4

36、2C： 3 A3C4 2 A311 .四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的 4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（B）A96 B 48 C 24 D 012 , 4棵柳機(jī)口 4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有 種解析：2A 4 - A 4 =1152 種.答案：115213 .某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種,現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了 5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還

37、需要不同的素菜品種種，（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：設(shè)素菜n種，則C2 C2 >200= n （n1） > 40,所以n的最小值為7答案：714設(shè)有編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)球和編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五 個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法有 多少種？分析：五個(gè)球分別投放到五個(gè)盒子內(nèi)，恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則其他三個(gè)球必不能 投放到與球的編號(hào)相同的盒子內(nèi)，此時(shí)，這三個(gè)球與對(duì)應(yīng)的三個(gè)盒子，就成了受限的特殊元素與特殊位置 C-解：先在五個(gè)球中任選兩個(gè)球投放到與球編號(hào)相同的

38、盒子內(nèi)，有c；種；剩下的三個(gè)球，不失一般性，不妨設(shè)編號(hào)為3, 4, 5,投放3號(hào)球的方法數(shù)為 C2,則投放4, 5號(hào)球的方法只有一種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有C5 - C2 =20種，點(diǎn)評(píng)：本題投放球有兩種方法，一種是投入到與編號(hào)相同的盒子內(nèi)，另一種是投入到與編號(hào)不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成15,球臺(tái)上有4個(gè)黃土6個(gè)紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的 4球擊入 袋中，但總分不低于 5分，擊球方法有幾種？解：設(shè)擊入黃球x個(gè)，紅球y個(gè)符合要求，貝 U 有 x+y=4 , 2x+y> 5 （x、yCN）,得 1WxW4r / r - r « r ,x =1, x =2

39、, x =3, x =4,.I11<y =3； 7=2； y =1；）=0.相應(yīng)每組解（x, y）,擊球方法數(shù)分別為 C4 c 3, C 2 c2, C4 c6, C4C0共有不同擊球方法數(shù)為 c4c6+c4c6+c4c6+c4c6=195七.排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法（一）排序問題1 .相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列例1. A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果 A,B必須相鄰且B在A的右邊，則不同的排法有（）A 60 種 B 、 48 種 C 、 36 種 D 、 24 種解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于 4

40、人的全排列，A4=24種，答案：D .2 .相離問題插空排：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A 1440 種 B、3600 種 C、4820 種 D、4800 種解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空彳立有a2種，不同的排法種數(shù)是 a5a2 = 3600種，選B .3 .定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A，B可以

41、不相鄰）那么不同的排法有（）A 24 種 B 、 60 種 C 、 90 種 D 、 120 種 解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即1 5A =60種，選 B . 211 .定位問題優(yōu)先法： 某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。 例11.現(xiàn)有1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A1種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有a4種方法；所以共有A1A4=72種。12 .多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12. （

42、1） 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A 36 種 B、120 種 C、720 種 D、1440 種（2） 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？解析：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排， 共A6=72O種，選C.（2）解析：看成一排，某 2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有內(nèi)種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有a5種，故共有A1A2A5 =5760種排法.16 .圓排問題單排法：把n個(gè)不同元素放在圓周 n個(gè)無編

43、號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排 法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在 于只計(jì)順序而無首位、末位之分，下列n個(gè)普通排列：ai,a2,a3在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合， 故認(rèn)為相同，n個(gè)元素的圓排列數(shù)有 n!種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的n-1元素全排列.n例16.有5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓 5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式 24 M 25 = 768種不同站法.說明：從n個(gè)不同元素中

44、取出 m個(gè)元 素作圓形排列共有二Am種不同排法. m n17 .可重復(fù)的排列求哥法：允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束， 可逐一安排元素的位置，一般地 n個(gè)不同元素排在 m個(gè)不同位置的排列數(shù)有 mn種方法. 例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？ 解析：完成此事共分 6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有 7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同方案.14.選排問題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上， 可用先取后排法.例14. （1）四個(gè)不同球放入編號(hào)

45、為1 , 2, 3, 4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？（2） 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男 5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C：種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A3種，故共有C42A3 =144種.解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有c；c：種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有8種排法，故共有c；c：a2 = i20種.4.標(biāo)號(hào)排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素， 如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)方格里，

46、每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有()A、6種 B 、9種 C 、11種 D 、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有 3X 3X1=9種填法，選B.22.全錯(cuò)位排列問題公式法：全錯(cuò)位排列問題(賀卡問題，信封問題)記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個(gè)遞推公式：用A、B、C表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯(cuò)裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a(bǔ)錯(cuò)裝進(jìn)B里了，包含著這個(gè)錯(cuò)誤的一切錯(cuò)裝法分兩類：(1) b裝入A里，這時(shí)每種錯(cuò)裝

47、的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯(cuò)裝法。(2) b裝入A、B之外的一個(gè)信封，這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把(除a之外的)份信紙b、c裝入(除B以外的)n 1個(gè)信封A、C，顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)種。總之在a裝入B的錯(cuò)誤之下，共有錯(cuò)裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C,裝入D 的n 2種錯(cuò)誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯(cuò)裝法，因此：得到一個(gè)遞推公式：f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2),分別代入n=2、3、4等可推得結(jié)果。111c 1也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：f(n)=n!(1-1 - (-1)n-)1! 2! 3!n!例.五位同學(xué)坐在一排，

48、現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置.對(duì)于第一類，就是上面講的全錯(cuò)位排列問題；對(duì)于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其 余元素可以歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問題，我們稱這種排列問題為部分錯(cuò)位排列問題.設(shè)n個(gè)元素全錯(cuò)位排列的排列數(shù)為則對(duì)于例3,第一類排列數(shù)為 T5,第二類先確定一個(gè)排原來位置的同學(xué)有5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類的排列數(shù)為5T4,第三類先確定兩個(gè)排原位的同學(xué)，有 C；=10種，所以第三類的排列數(shù)為 10T

49、3,因此例3的答案為：T5+5T4+10T3.(二)分組分配問題24.平均分堆問題去除重復(fù)法例2.從7個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，選出6個(gè)人，分成兩組，每組都是3人，有多少種不同的分法？分析：記7個(gè)人為a、b、c、d、e、f、g寫出一些組來考察。表 1選3人再選3人分組方法種數(shù)a b cd e f這兩種只能d e fa b c算一種分法a b cd e g這兩種只能d e ga b c算一種分法由表1可見，把a(bǔ)bc, def看作2個(gè)元素順序不同的排列有 名 種，而這 將 只能算一種分組方法。解：選3人為一組有°種，再選3人為另一組有c；種，依分步計(jì)數(shù)原理，又每m種分法只能算一種， 所以不同

50、的分法有CiCl /月=7° (種)。也可以先選再分組為=70 (種)例6 6 本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書(ai,a 2) ,(a 3,a 4), ( a5,a 6)由順序不同可以有 /3=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有胃 =15種練習(xí)：1 . 6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2.某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。5.有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),D 、 5040 種4人，則不

51、同的分配方案有(_ 4 _ 4_ 4C12C8 c4A3種1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外 C.例5. (1)有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從不同的選法種數(shù)是()A、1260 種 B、2025 種 C、2520 種(2) 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口444 444 443D 、8人中選C12c8c4 種B 、 3c12c8 c4 種 C 、 C12c8 A3 種 解析：(1)先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌牡?人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有C20C1C1 =2520種，選(2)答案：A.6 .全員分配問題分組法：例6. (1)

52、 4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到 3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種?(2) 5本不同的書，全部分給 4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()A 480 種 B 、240 種 C 、120 種 D、96 種答案：(1) 36.(2) B.7 .名額分配問題隔板法(無差別物品分配問題隔板法 ):例7: 10個(gè)三好學(xué)生名額分到 7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成 7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為 C6 =

53、84種.8 .限制條件的分配問題分類法 ：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選 4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案A4種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有a3方法，所以共有3A3;若乙參加而甲不參加同理也有3A3種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余 8人到另外兩個(gè)城市有 A2種，共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法 總數(shù)為A +3朦 +3A8 +7A8 =4088 種.(三)排

54、列組合問題中的技巧10.交叉問題集合法(容斥原理) ：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式 n(A_.B)=n(A n(B) _n(A - B)例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4X100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列 , A= 甲跑第一棒的排列 , B= 乙跑第四棒的排列,根據(jù) 求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I) -n(A) -n(B) n(A- B)=A_A3 A =252種.13.“至少” “至多”問題用間接排除法或分類法：例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取 3臺(tái)，其中至少要

55、甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有() A 、140 種 B 、80 種 C、70 種 D、35 種解析1:逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有 c； -c3 -d =70種，選.c解析2:至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型 1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同 的取法有c；c4 +c5c： = 70臺(tái)，選c.23 .構(gòu)造數(shù)列遞推法例一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2，當(dāng)n> 2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類： 第一類： 是最后一步跨一級(jí)，有 an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級(jí)，有 an-2種走法，由加法原理知：an=an-1 + an-2, 據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2