平面向量典型例題67629

1、平面向量經(jīng)典例題:1.已知向量a=(1,2), b=(2,0),若向量2a+b與向量c=(1, 2)共線，則實數(shù) 人等于()A. - 21B.-3D.C. 1答案C解析29 + b= (A, 2 »+(2,0) =(2 +入，2 2),后十 b 與 c 共線，：一2(2 +；) 2 人=0,：上-1.2 .(文)已知向量 a=(43, 1), b = (0,1), c = (k,小),若 a+ 2b 與 c 垂直，則 k=()A. - 1B. -J3C. 3D. 1答案C解析a+2b = C3, 1)+(0,2) = (, 3),. a+2b 與 c 垂直，：(a+2b) c=k +

2、 3#=0 , ：k=3.(理)已知a = (1,2) , b = (3, 1),且a + b與a 2b互相垂直，則實數(shù)人的值為()A.611B.11611D.一66c.一11答案C解析a+b = (4,1), a- b =(1 -3 x, 2+.a + b與a- b垂直，. <a+ b) (a- b) = 4(1 -3 2)+1x(2+；) = 6-11 上 0,二七一.113 .設(shè)非零向重a、b、c滿足|a|= |b|=|c|,a+b = c,則向重a、b間的夾角為()A. 150°C. 60°答案B解析如圖，在？ ABCD中，"a|= |b| = |c

3、|, c=a+b, :ZABD 為正三角形,<a, b> = 120 °,故選 B.（理）向量a,b滿足|a| = 1,|a b| =當a與b的夾角為60。,則|b| = （）1A.- 21B:31C.一41 D.5答案A-3解析|a-b|=，：|a|2+|b|2 2ab =一, |a|= 1 ,a, b> = 60 °,43設(shè)|b| = x,貝U 1 +x2-x=_, .x>0 , . x44. 若AB BC+AB2 = 0,則評BC必定是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形答案B解析AB BC+AB2 = AB (BC

4、 + AB) = AB AC=0,. ABXAC,.ABLAC, ：zABC為直角三角形.5. 若向量 a= (1,1), b = (1, 1), c=(-2,4),則用 a, b 表示 c為()A. -a + 3bB. a-3bC. 3a-b答案解析設(shè)c=2a +由，則（-2,4）=（葉出 * 山,入=1，:c = a 3b,故選 B.g= 3在平行四邊形 ABCD中，AC與BD交于O, E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F,若ACa, BD = b,貝UAF等于()A.1a+14221B_a+_b3311C-a+ - b2412D-a+-b33答案B解析£為OD的中點，

5、：BE= 3ED,|AB| |EB|DF/AB, .=, |DF| |DE|'D：|DF|=3|AB|, ：|CF|=3|AB| = 3|CD|,.AF = AC+CF= AC+-CD=a+-(OD OC)= a+-(-b-a)=-a + -b.6. 若AABC的三邊長分別為 AB=7, BC = 5, CA = 6,則ABBC的值為（）A. 19B. 14C. 18D. - 19答案解析72+ 52-62 19據(jù)已知得 cos B= 一，故AB BC = |AB|X|BC|X( COSB)=7X5X2X7X53519一=-19.357. 若向量a=（x1,2）, b=（4, y）相互

6、垂直，則9x+3y的最小值為（）A. 12B. 2sC, 32D. 6答案D解析a b = 4(x-1) + 2y = 0, .-.2x+y = 2, /.9x+ 3y= 32x + 3y>232x+y = 6,等號在 x=；, y = 1 時成8. 若A, B, C是直線l上不同的三個點，若 O不在l上，存在實數(shù)x使得x2OA+xOB + BC=0,實數(shù)x為（）A. - 1B. 0-1 +A/5C.-2答案A解析x2OA + xOB + OC - OB = 0 , . x2OA + (x-1)OB + OC=0,由向量共線的充要條件及 A、B、C共線知，1xx2=1, ：x = 0 或

7、一1,當 x=0 時，BC= 0,與條件矛盾，：x = - 1.9.（文）已知P是邊長為2的正4ABC邊BC上的動點，則AP （AB + AC）（）A.最大值為8B.最小值為2C.是定值6P的位置有關(guān)答案C解析以BC的中點O為原點，直線BC為x軸建立如圖坐標系,B(-1,0), C(1,0), A(0,木)+ >AC=(-1, -4)(0, -2/3)設(shè) P(x,0), - 1 <x< 1 ,則 AP=(x,一5). AP (AB +AC) = (x, - 13)(0, -2)6,故選C.（理）在MBC中，D為BC邊中點，若/ A = 120 °,AB AC = -

8、 1,則|AD|的最小值是（）3B.- 210.答案D解析. zA = 120 °, AB AC = 1, ：|AB| |AC|：|AB| |AC|=2, ：|AB|2十 |AC|2>2|AB| |AC| = 4,1 c. AD = -(AB + AC), .-.|AD|2|AD|> 2D，2cos120D為BC邊的中點,(|AB |2+|AC|2 十 2AB AC)="(|AB|2 + |AC|2 2) >(4 2)如圖，一直線 EF與平行四邊形 ABCD的兩邊 AB, AD 1 分別交于E、F兩點，且交其對角線于 K,其中AE=AB,3aF = ；aD

9、, aK=2aC,則人的值為（）答案A解析如圖，取CD的三等分點 M、N, BC的中點Q3口MNA£GR1D.一2.1 .1!,貝U EF/DG/BM /NQ ,易知 AK = AC, 心一. 5511 . 已知向量 a=(2,3) , b = ( 1,2),若 ma +4b 與 a 2b 共線，貝A.-B. 221C. - 2D.2答案C解析 ma+ 4b = (2m-4,3m + 8), a 2b=(4, 1),由條件知(2m-4) (-1)-(3m + 8)x4=0, .-.m = -2,故選 C. 12 .在 AABC 中，C=90。，且 CA=CB= 3 ,點 M 滿足 B

10、M = 2MA ,A. 2B. 3C. 4D. 6答案B解析CM CB= (CA + AM) CB/1 1'1 1 L= (CA+-AB) CB = CA CB+_AB CBC33= 3|AB| |CB| cos45 o = 1x 3/2X 3 X 2- = 3.U m的值為() 則CM CB等于()JA13.在正三角形 ABC中，D是BC上的點，AB=3, 8口 = 1,則人8人口1514.15.答案解析<AB,由條件知，|AB| = |AC|=|BC|=3, <AB, AC> =60°, 2 CB=60。，CD = gCB,AB AD = AB (AC+

11、 CD) = AB AC+AB &CB=3 X3 x cos60 °十;x 3 x 3xcos60已知向量a =（3,4） , b=（ 2,1）,則a在b方向上的投影等于a b-22寸5a在 b方向上的投影為 =t = 一 |b|5515已知向量a與b的夾角為2兀彳，口|a|=1, |b| = 4,若（2a+心），a,則實數(shù) 3答案1解析<a, b> =- 3|a|=1, |b| = 4, ：a b = |a| |b| cos <a, b=1x4xcos=2, .(2a 3+ /b)±a, .a (2a+ 2b) = 2|a|2+2a b = 2-

12、20,：人=1. 廠 16.已知：|OA|=1, |OB| = V3, OA OB=0,點 C 在/AOB內(nèi)，且/AOC = 30°,設(shè)OC=mOA+nOB(m , ne R+),則一 n答案3解析設(shè) mOA=OF, nOB=OE,貝UOC = OF+OE,. zAOC = 30 °, ：|OC| cos30 = |OF| = m|OA| = m ,|OC| sin30 °=|OE| = n|OB|=3n ,m|OC|cos30 °1兩式相除得：一廠=3n |OC|sin30 ° tan303.17.（文）設(shè)1、j是平面直角坐標系（坐標原點為O

13、）內(nèi)分別與x軸、-2i + j, OB = 4i + 3j,則AOAB 的面積等于答案5y軸正方向相同的兩個單位向量，且 OA解析由條件知，i2=1 , j2 = 1, i j = 0,. OA OB = (-2i+j) (4i + 3j)=- 8+3 = - 5,又 OA OB|OA| |OB| cosOA, OB= 5 J5cosOA,OB,yf5. cosOA, OB=- -, .sinOA, 5OB廣5'-SZOAB =1|0A| |OB| sin <0A, OB> =5X5X25 = 5.（理）三角形ABC中，a, b, c分別是角A,B, C所對的邊，能彳I出三

14、角形 ABC一定是銳角三角形的條件是 sinA + cosA=1 aBbC<0 b = 3, 5c=33, B = 30° tanA + tanB+ tan C>0.答案, 1 解析若 A 為銳角，則 sinA+cosA>1,.sinA+cosA = ：A 為鈍角，.AB BC<0,：BA BC>0,sin30 ° sinC' .sin Cb c”為銳角，由/B為銳角得不出陽一銳角三角形；由正弦定理 白=嬴得,33 33 3-手，：C= 60 °或120 °, . csinB= ； , 3<寸-<3 ：/

15、ABC有兩解，故都不能得出 ABC為銳角三角形.1 由 tan A + tan B + tan C = tan( A + B)(1 tan Atan B) + tan C = tan C(1 tan Atan B) + tan C =tan Atan Btan C>0 ,及 A、B、C (0,無)，A+ B+ C=無知 A、B、C 均為銳角，:紈BC為銳角三角形.18 .已知平面向量 a = (1 , x), b = (2x+3, x).(1)若a± b ,求x的值.(2)若 a /b ,求 |a- b|.解析(1)若a，b ,則 ab=(1, x) (2x+3, -x)= 1

16、x (2x+3) + x(-x) = 0,整理得x2 2x 3 = 0,解得x= - 1或x = 3.(2)若 a/b,則有 1 X(x)x(2x+3) = 0,則 x(2x+4) = 0,解得 x=0 或 x= 2,當 x=0 時，a = (1,0) , b=(3,0),.|a-b| = |(1,0) -(3,0)| =|(-2,0)| =、/ 2 2+02 = 2,當 x = 2 時，a=(1, 2), b = (-1,2),|a-b| = l(1 , -2)-(-1,2)| =|(2, -4)|=22+ -4 2 = 2乖.19 .已知向量 a=(sinx, 1), b = (3cos

17、x, - 2),函數(shù) f(x)= (a+b) a 2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T;式3倍，得(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移一上個單位后，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的6到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及其對稱中心坐標.解析(1)f(x)= (a + b) a- 2 = a2 + a b- 2 =sin2x+ 1 +-hJ3sin xcos x+-21 cos2 x3+ 3-a22, 1 3sin2 x- - =sin2 x-3cos2 x= sin(2 x-),2天:周期T=-= n2式(2)向左平移-個單位得,y= sin2( x + 展)一6=sin(2

18、x + 4),橫坐標伸長為原來的3倍得,2 天 人2 無，g(x)= sin(-x + -),令gx 十 丁 k無得對稱中心為(3k無，一，0), ke 乙420.(文)三角形的三個內(nèi)角 A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,設(shè)向量 m = (ca, b-a), n = (a + b,c),若 m /n.(1)求角B的大小;(2)若sin A+sin C的取值范圍.c a b a解析(1)由m /n知 = a+ b c1即得b2=a2+ c2- ac,據(jù)余弦定理知cos B =_,得 2式B =-無(2)sin A+ sin C=sin A+ sin( A + B)= sin A+ sin(

19、A + -) 31sin A+ sin A 十2'cos A = -sin A +近 .一 工cosA= 3sin( A + ),無B =，3，:sin(A + je(1, 1,62sin A+sin C的取值范圍為（理）在鈍角三角形ABC中,a、b、c分別是角 A、B、C 的對邊，m = (2b c, cos C),n=(a,cos A),且 m /n.兀2B)的值域.3（1）求角A的大小;(2)求函數(shù) y = 2sin 2B + cos(解析(1)由 m/n 得(2b c)cosAacosC= 0,由正弦定理得 2sin BcosA sin Ccos A sin Acos C= 0

20、,. sin( A+ C)= sin B, ：2sin BcosA sin B= 0,_ .一一 ._. 無.B、A (0 ,無)，：sinBw0, ：A = 3(2)y = 1 cos2 B+ -cos2 B+ 22sin2 B= 1 _cos2 B +2V3 c c 無 -sin2 B= sin(2 B-)+ 1 ,當角B為鈍角時，角C為銳角，則< B< 無20< i- B<一無 2天? 2VB<丁?。?B-6<_6-，:sin(2 B-6"(-2,2(2，3一).2當角B為銳角時，角C為鈍角，則無0V B<-2工包2<T-B<

21、; 無無? 0< B<-,6Jt衛(wèi)工-6<2B-61，-衛(wèi)-：sin(2 B-6)- 2'1 ),：ye(2,32），13綜上,所求函數(shù)的值域為2）.21 .設(shè)函數(shù) f(x) = ab,其中向量 a=(2cosx,1), b = (cosx, J3sin2 x), xGR. 正 正若 f(x)=1 43且 x-,-,求 x； '3 3, 一 正 一 ,(2)右函數(shù)y= 2sin2 x的圖象按向重c=(m, n)(|m|<)平移后得到函數(shù) y=f(x)的圖象，求頭數(shù) m、n的值.解析(1)依題設(shè)，f(x) = 2cos 2x + J3sin2 x冗=1 +

22、2sin(2 x+展).花 正V3由 1 + 2sin(2 x+ &)= 1 3/3,得 sin(2 x+ g) = 一 2",無一 一無無一一,無一 5無 一無無rr無.x<-, . -<2x + -< , . 2x+- = -,即 x= 一丁(2)函數(shù)y= 2sin2 x的圖象按向量c= (m , n)平移后得到函數(shù) y = 2sin2( xm)+n的圖象，即函數(shù)y =兀兀兀f(x)的圖象.由(1)得 f(x) = 2sin2( x+J+1.Imlv,，：m =一石,n = 1.22 .已知向量 OP = (2cos x+1 , cos2 x sinx+

23、1), OQ = (cosx, 1), f(x)= OP OQ.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;式(2)當xG0, 2時，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時的x值.解析(1) ,.OP = (2cos x+ 1 , cos2 x sin x+ 1), OQ = (cos x, - 1), -f(x) = OP OQ =(2cos x+ 1)cos x (cos2 x- sinx+ 1)= 2cos 2x+cosxcos2 x + sinx -1 = cosx+sinx="/2sin(x +j ,:函數(shù)f(x)最小正周期T=2 X"0,2m:當 x + ：=；，即 x=；

24、H, f(x)=q2sin(x+：)取到最大值 2/2.23 .必BC的三個內(nèi)角 A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量m = (- 1,1), n = (cosBcosC, sin Bsin C(1)求A的大小;(2)現(xiàn)在給出下列三個條件： a=1;2c(，3+1)b =。；B=45°,試從中選擇兩個條件以確定ABC,求出所確定的 ABC的面積.（注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分)解析因為 m- cosBcosC ，,3 3即 cos BcosCsin Bsin C= ,所以 cos( B+ C)= 22因為 A+B+C仆所以 cos(B + C)

25、 = cosA,所以 cosA=乎，A = 30;（2）方案一：選擇，可確定 ABC,因為 A=30°, a=1,2c hJ3 + 1)b = 0,x/3+1、/3+1、/3廠小+由余弦定理得，12= b2 +（2b）2 2b七一b2-解彳導b = /2 ,所以c=上一丁一11 廠、/6+、/213+1所以 Szabc = 一bcsin A= ' 12 - "=22224方案二：選擇，可確定 ABC,因為 A=30 °, a=1, B= 45 °, C=105 °,又 sin105 =sin(45 + 60 )= sin45 cos60

26、 +cos45 sin60。=也由正弦定理casin C1 sin105 °6 + 'j2sin A sin30所以S“BC-acsinB1"全口（注意：選擇不能確定三角形）（理）如圖，O O方程為x2+y2=4 ,點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，。交y軸于點 N , DP /(ON ,且 dM =3DP.2（1）求點M的軌跡C的方程;(2)設(shè) Fi(0, J5),若過Fi的直線交（1）中曲線C于A、點，求F2A F2B的取值范圍.解析(1)設(shè) P(x。, y。), M(x, y),.3fy=-y°DM=-DP, 222y°=;y3X = X°X° = Xx2 y2代入 X°+y2=4 得，一十一491.(2)當直線AB的斜率不存在時，顯然 F2A F2B= 4 ,當直線AB的斜率存在時，不妨設(shè) AB的方程為：y=kX+5,y = kx+ aJ5由 X2 y2得，(9 + 4k2)X2+8/5kx-16 = 0,，十一=149不妨設(shè) Ai(xi, yi), B(x2, y2),則一 16X1X2=；9 +4k2F2A F2B=(X1, y1 +5)(X2,y2+ 5) =