固體物理基礎(chǔ)課后1到10題答案

1、本章習(xí)題P272習(xí)題1.試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=.一. 說(shuō)明：C是上下底面距離，a是六邊形邊長(zhǎng)。二 分析：首先看是怎樣密堆的。如圖（書圖（a）, P8）,六方密堆結(jié)構(gòu)每個(gè)格點(diǎn)有12個(gè)近鄰。（同一面上有6個(gè)，上下各有3個(gè)）上下底面中間各有一個(gè)球，共有六個(gè)球與之相切，每個(gè)球直徑為a。中間層的三個(gè)球相切，又分別與上下底面的各七個(gè)球相切。球心之間距離為a。所以球心之間即格點(diǎn)之間距離均為a （不管是同層還是上下層之間）。三.證明:如圖OA=a, OO, =C/2 （中間層是上下面層的一半），AB=a O,是AABC的三垂線交點(diǎn)（由余弦定理x 2 = a 2 + x 2 2 ax cos30。a =

2、 2 x cos 30 o, x =2 cos 30。OA 2 = OO + AO f2 =（2 ）2 + *）2221 a2 = c234氏 1.6332.若晶胞基矢a,b, c互相垂直，試求晶面族（hki）的面間距。一、分析:、T 2冗我們想到倒格矢與面間距的關(guān)系d =聲。G倒格矢與晶面族（hkl）的關(guān)系g=必+kb2+b。進(jìn)而求寫出（bbbbbb）與正格子基矢（abc）的關(guān)系。即可得與晶面族（hkl）垂直的倒格矢G1 2 3得此面間距d。二、解：0 a,b,C 互相垂直，可令 a = ai,b - bj, C = ck晶胞體積v = £（ bxC）= abc倒格子基矢：絲（h

3、P）= v竺（Cx a）=2兀 abc2兀abc2兀abcX aC) 二2兀P ia2兀PrJb(aP x b)=絲 kcG = hbb + kbb + 1bb = 2兀(-而與（hkl）晶面族垂直的倒格矢=2k;1(-)2 + (k)2 + (1 )2 a b c故（hkl）晶面族的面間距/2兀"二肖2K2兀；(一)2 + ()2 + (一)2 a b c1:/、,k、 J、<(-)2 + (7)2 + (一)2a a b c3.若在體心立方晶胞的每個(gè)面中心處加一個(gè)同類原子，試說(shuō)明這種晶體的原胞應(yīng)如何 選擇？每個(gè)原胞含有幾個(gè)原子？1 .分析：考慮選取原胞的條件：(即布拉菲晶格

4、的最小單元)(1) 體積最小的重復(fù)結(jié)構(gòu)單元(2)只包含一個(gè)格點(diǎn)(3) 能反映晶格的周期性應(yīng)將幾個(gè)原子組合成一個(gè)格點(diǎn)，然后構(gòu)成原胞。原胞反映周期性，在空間無(wú)空隙無(wú)交疊排列成晶格。我們不容易看出哪幾個(gè)原子組合成一個(gè)格點(diǎn)。我們可先分析晶胞是否組成復(fù)式格子？何種格子組成的復(fù)式格子？是由幾層套構(gòu)而成的？我們知道如果是體心立方，將是兩個(gè)簡(jiǎn)立方套構(gòu)而成的二重復(fù)式格子。如果是面心立方，將有對(duì)面面心處的原子構(gòu)成三重簡(jiǎn)立方格子；加上頂點(diǎn)處是四重簡(jiǎn)立方格子。這樣，我們的題中是體心加面心，面心的四重格子加上體心處的原子構(gòu)成的一重格子，故應(yīng)是五重 簡(jiǎn)立方的復(fù)式格子。所以布拉菲晶格是簡(jiǎn)單立方格子。這樣可將體心，八個(gè)頂點(diǎn)中

5、取一個(gè)，對(duì)面面心各取一個(gè)原子(即三個(gè))作為一個(gè)組合形成一個(gè)格點(diǎn), 即由5個(gè)原子形成一個(gè)格點(diǎn)，亦即基元是選這樣的原子組合。最后格點(diǎn)的原胞是簡(jiǎn)立方，每個(gè)原胞 含一個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)含五個(gè)原子。故每個(gè)原胞含有5個(gè)原子。2 .答：通過(guò)分析我們知道，原胞可選為簡(jiǎn)單立方，每個(gè)原胞中含有5個(gè)原子。體心，八個(gè)頂點(diǎn)中取一個(gè)，對(duì)面面心各取一個(gè)原子(即三個(gè))作為基元。布拉菲晶格是簡(jiǎn)單立 方格子。4.試求面心立方結(jié)構(gòu)的（111）和（110）面的原子面密度。一.（111）面（1） 分析：先分析有幾個(gè)原子？如圖（書圖，P10）。（111）面由3頂點(diǎn)連線組成的面。3個(gè)頂點(diǎn)原子，每個(gè)貢獻(xiàn)1/6, 3個(gè)面心原子，每1 o 1人一

6、個(gè)貢獻(xiàn)1/2,共6原子，每個(gè)（111）面有3x- + 3x = 2個(gè)原子。62求出（111）面面積可得原子面密度。解：平均每個(gè)（111）面有3 x1 + 3 x1 = 2個(gè)原子。62(111)面面積萬(wàn) 2a( ：Q2a)2 (-a)2)=立a .擔(dān)a =2<2a2一一_24所以原子面密度O =(111) v13<3 a 2a 22二.(110)面（1） 分析：如圖（書圖，P10）。（110）面是四頂點(diǎn)組成的面。分析有幾個(gè)原子？4個(gè)頂點(diǎn)原子，每個(gè)貢獻(xiàn)1/4 （上下兩層，每層兩個(gè)單胞中的（110）共用一個(gè)頂點(diǎn)）； 2個(gè)面心原子，每個(gè)貢獻(xiàn)1/2。11共6個(gè)原子，平均每個(gè)（110）面有4x

7、 + 2x- = 2原子。再求出（110）面積即可。I乙（2）解：,、_ 一, 1 C 1 一-平均每個(gè)（110）面有4 x + 2 x = 2個(gè)原子。42（110）面面積 a 2 a a = <2 a 22<2所以（110）面原子面密度。= =（110）2 a a 2a 25 .設(shè)二維矩形格子的基矢為S1 = ai, &= 2譚，試畫出第一、二、三、布里淵區(qū)。解：倒格子基矢：b=絲（ax a）=1 V 232 aix =冬 a( a= xi) a3)2兀/P .p、2兀P 2兀 P 12兀 P 1 |P|P V(a3 x a” a2a：x四二五. 2 ” 2 的所以倒格子

8、也是二維矩形格子。121最近鄰b，-b ； 次近鄰",2彳,2£ ; 再次近鄰b - b :b+ b1 P 21p 2再再次近鄰3b 2，-3 b 2；做所有這些點(diǎn)與原點(diǎn)間連線的垂直平分線，圍成布里淵區(qū)。再按各布里淵區(qū)的判斷原則進(jìn)行判斷，得：第一布里淵區(qū)是一個(gè)扁長(zhǎng)方形；第二布里淵區(qū)是2塊梯形和2塊三角形組成；第三布里淵區(qū)是2對(duì)對(duì)角三角和4個(gè)小三角以及2個(gè)等腰梯形組成。6 .六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基矢為：P 1 P, <3 P a ai + a j i 22P 1。百 Pa ai + a j 222a = ck3試求倒格子基矢并畫出第一布里淵區(qū)。1.分析：從前面的學(xué)習(xí)我們已

9、經(jīng)知道，六方密堆結(jié)構(gòu)是兩個(gè)簡(jiǎn)單六方格子復(fù)合成的二重復(fù)式格子。所以 原胞為簡(jiǎn)單六方結(jié)構(gòu)。1.解：原胞為簡(jiǎn)單六方結(jié)構(gòu)。原胞體積:V = P.(a2X a3)=1 a (P+ <3 a) . 1 a (-P + a)1 P B 1 P-p=2a(i + <3j).弓ac(j + v3)12a 2 c倒格子基矢:V 23=4 a 2 c (P + ,/3 p) - (；3P +j)= ga(-P + - <3a) x ck = / (P+ 3ja) % 323aa 2 c2b = 土 (a x a)=ckx1a( P+.3a)=至(-P+百 a) 2 v 317 32aa 2 c2)

10、=絲(Sx a )=絲 3 V 12 c由此看到，倒格子同原胞一樣，只是長(zhǎng)度不同，因此倒格子仍是簡(jiǎn)單六方結(jié)構(gòu)。（注意：倒格 子是簡(jiǎn)單六方，而不是六方密堆）選六邊形面心處格點(diǎn)為原點(diǎn)，則最近鄰為六個(gè)角頂點(diǎn)，各自倒格矢的垂直平分面構(gòu)成一個(gè)六 面柱體。次近鄰為上下底面中心，其垂直平分面為上下平行平面。再次近鄰是上下面六個(gè)頂角，其垂直平分面不截上面由最近鄰和次近鄰垂直平分面構(gòu)成的六 角柱體。所以第一布里淵區(qū)是一個(gè)六角柱體。比倒格子六方要小。7.試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子并討論X射線衍射消失的條件。解：圖見(jiàn)書P7圖(a)金剛石結(jié)構(gòu)的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有兩個(gè)原子。將頂角處選為原點(diǎn)，另一原子位置P=

11、a( i+j+6L 4進(jìn)而，將面心再看成是四套簡(jiǎn)立方的復(fù)式格子。簡(jiǎn)立方每個(gè)格點(diǎn)有四個(gè)面心立方的格點(diǎn)，而面心立方的格點(diǎn)有2個(gè)原子。所以簡(jiǎn)立方的每個(gè)格 點(diǎn)就相當(dāng)于有2 x 4 = 8個(gè)原子。也就是考慮一個(gè)金剛石結(jié)構(gòu)單胞中，頂點(diǎn)中的一個(gè)原子和6個(gè)面心中的3個(gè)原子(每對(duì)對(duì)面中取一個(gè))及4個(gè)對(duì)角原子作為一個(gè)基元。，最后可構(gòu)成簡(jiǎn)單立方晶格。這時(shí)基矢：J = a,J =a,a = ak一個(gè)單胞中各1原子位矢：3頂點(diǎn)：耳=0=、P _a P P、P _ a A P、P _a P P、面心：r (i + J), r (J + k), r (i + k),223242對(duì)角：p a /P P P P a P P P

12、、r (i + J + k), r (i + 3 J + 3 k),5464p a p p P p a p p p r (3i + 3 / + k), r (3i + / + 3 k)7484因?yàn)槎际峭辉?，故原子散射因子都為f，P 2兀p p p簡(jiǎn)立方布拉菲晶格的倒格矢a(hi + h j+hk)a i 23則結(jié)構(gòu)因子S (G) Z f e&r jjp p pppp p ppp 、1 + ei ( h11 + h 2 j+h3 k )( i + j ) + eE( h11 + h 2 j+h3 k )( j+k) +C A OHO.2 7 P 7 P 7 P、&,P P P

13、、ei兀(h+ h2 J+h3k)(i +k) + e a(hii + 2J + h3k) 4(i + j+k)+f ccCJ工 PPP PPP21Ppp pppei 2( h11 + h 2 J+h 3 k )( I+3 J +3 k) + ei 2( hj + h 2 J+h3 k ).(31 +3 J+k).兀 P , P , P P P J、 i>i (h11 + h2j + h.k>(31 + j +3k) + e 2 1 2 3i i 八.,i 八.,i 八.,i 八i (h + h +h )1 + ei兀(h + h) + ei兀(h + h) + ei兀(h + h

14、)+ e 2 1 2 3/122313<>222+ ei2( hi + 3 h 2 +3 h3) + ei2(3 "3 h 2 + h 3) + ei2(3 hi + h 2 +3 h3)1 + ei 2 (h1 + h 2) + ei 2 (h 2 + h3) + ei 兀(1+ h3) +>.2.e 2( hi+ h 2+ h3)1 + e 12 (h 2 + h3) + e 12 (h1 + h 2) + e 12 (h1 + h3)=f 1 + ein (h1+ h 2) + GE (h 2 + h3) + em (h1+ h3)1 + 3 2( h# h

15、2 + h3)故當(dāng) Gin （h1 + h2） + e譏（h2 + h3） + e譏（h1 + h3） = -1時(shí)，S=0,消光;或當(dāng)（2）卜 2（ h1+ h 2 + h3） j = -1時(shí)，也有S=0,也消光。為使得（2）成立，需1（h + h + h ） = 2n +1 （奇數(shù)）（n為整數(shù)） 2123即 h + h + h = 2（2 n +1）即：7b）2密勒指數(shù)之和為奇數(shù)的2倍時(shí)，消光。為使得（1）成立，需（a）h、h2、h不全為奇或不全為偶。（奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)）（1）中左端的3項(xiàng)有2個(gè)是-1,能保證（1）式成立）所以當(dāng)：（a）3個(gè)密勒指數(shù)不全為奇

16、或不全為偶時(shí)，消光；或（b）3個(gè)密勒指數(shù)之和為奇數(shù)的2倍時(shí)，消光。若（I）密勒指數(shù)為全奇，并且三者之和為h + h 2 + h 3= 2 - 2 n = 4 n即3者之和可被4整除時(shí)，S豐0能看到衍射線。但因?yàn)槿鏁r(shí)，三者之和必為奇數(shù)，故肯定不能被4整除，所以此條件不存在。故只有在下面的條件，能看到衍射線。即僅當(dāng)（II）密勒指數(shù)為全偶并且三者之和可被4整除時(shí)，方有S W 0，才能看到衍射線。8、證明一維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)為a = 2ln2證明:N , 1由馬德隆常數(shù)的定義有a = X 土 一 a（于 i） j其中異號(hào)離子取“+”，同號(hào)離子取“-”一維NaCl晶體的結(jié)構(gòu)如圖，正負(fù)離子相間排

17、列。最近鄰離子的距離為a。選O點(diǎn)處離子為參考點(diǎn)，其它離子與它的相對(duì)距離為r = aa = a - 1, r = aa = a - 2, r = aa = a - 3,r= aa = a - 1, r = aa = a - 2, r = aa = a - 3,d 1111111111a = X ± = + + . 土+-+-+. 土( ) a a1111=+ +12 3 4a a a a aaa34.±2211111、+ - + ± -T7) 1 2 3 4 N-、X 2, _ Xn ,由泰勒公式展開ln(1 + x) = x- +. + (-1)n-1 一 + R

18、 (x)(高數(shù)第一冊(cè) P161 例 2) 2n n當(dāng) x=1 時(shí)，有l(wèi)n2 = 1 -1 +. + (-1)n-11 + R (1) 2n nN人上面的k = n,N很大，n大，余項(xiàng)R (1)很小，舍去。 2n故有a = 2ln2 問(wèn)題得證。9、若離子間的排斥勢(shì)用九e / P來(lái)表示，只考慮最近鄰離子間的排斥作用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)合能的 表達(dá)式，并討論參數(shù)人和P應(yīng)如何決定。解：(1)一般情況:e 2第j個(gè)與第i個(gè)離子間的庫(kù)侖勢(shì)為±(同號(hào)取“+”，異號(hào)取“-”)4兀e r/排斥勢(shì)為九e 一句Pe 26 r.第j個(gè)與第i個(gè)的相互作用勢(shì)為u(r ) = ±-+ ke- j P1 4

19、ks r所有離子對(duì)第i個(gè)離子的總相互作用為X ± J + M-rip八與)4底0 r因?yàn)楸砻骐x子數(shù)相對(duì)總數(shù)少，忽略晶體表面離子與內(nèi)部的差異。設(shè)最近鄰離子間距為r,則r =ra故有晶體內(nèi)離子間總的相互作用為： N X zi e2、 rj 、 Nr e2 V , 1 X。 aU = X (±+ 九e p ) = - X ± 一X 九e p 2 八、4底0r2 4底0',) a 八,)(此時(shí)，±中的”+”表示異號(hào)離子之間，“-”表示同號(hào)離子之間)aj如果只考慮最近鄰的排斥，且設(shè)有Z個(gè)最近鄰離子則 U = (- a九Ze -r p)2 4的ra是馬德隆常

20、數(shù)。0結(jié)合能E =-UC(2)平衡時(shí)結(jié)合能的表達(dá)式:設(shè)r=r。是平衡時(shí)的最近鄰距離。則U (r。)取得極小值。 即r=ro一 s U (r)則有1-c rr=r0解得九=v_4兀£ r 2 ZN - e 22 4兀£ r 20 0e'r p平衡時(shí)，晶體相互作用能平衡時(shí)結(jié)合能的表達(dá)式Ec1八 ra-(-認(rèn)Ze -0 p) = 0P叫)Nae 28兀£ r(1 -)r0=-U (r )0(3)確定參數(shù)人和p為了能求出入和p,可建立與宏觀測(cè)量量間的關(guān)系，如體彈模量或壓縮系數(shù)。一 ，1 P V、-按定義：壓縮系數(shù)k = - ( )丁表示溫度一定時(shí)，加單位壓強(qiáng)時(shí)，晶

21、體體積的相對(duì)改變量。V cPT1 一 c 2 U一c U體彈模量K = - = V- (此由P = -得出。V是平衡時(shí)晶體體積)kC V 2C V0V0以類似于NaCl晶體結(jié)構(gòu)為例:V = Nr3,V = Nr 300C V c z Cr11=3 Nr 2, =CrC V3 Nr 23 Nr 2N2ae 2-(±2 4k8 r 30 00u入Z -r0、e p)P2C V 2V0C UC a u、C a u C r、()=() C V C VC V C r C VV0Cr C /CU、+()C V C V C rV0=0 C r_r0C rC C U= .()C V C V C rV0Cr C CU.()C V C r C r,Cr、 C 2 U/ 1 、 C 2 U=()2 , = ()2C VC r 23 Nr 2 C r 2r00r0k=v au a v 29 Nr0=Nr 3 (0V0N 2oe 2r (i2 4-£ r 3001 、a 2 u)23 Nr 2 ar20九Z r一e - P)P29 Nr a r 20類似于NaCl結(jié)構(gòu)（V = Nr3 ）的晶體都有K =9 Nr ar20r0將九二02P er0P代入得4-8 r 2 Zo