我認(rèn)為最美好的事,是人潮擁擠你自然而然牽緊我的手

1、在處理產(chǎn)、供、銷的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在處理產(chǎn)、供、銷的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，會(huì)經(jīng)常遇到物資調(diào)撥的運(yùn)輸問(wèn)題。如糧會(huì)經(jīng)常遇到物資調(diào)撥的運(yùn)輸問(wèn)題。如糧棉油、煤炭、鋼鐵、水泥、化肥、木材棉油、煤炭、鋼鐵、水泥、化肥、木材等物資要由若干個(gè)產(chǎn)地調(diào)運(yùn)到若干個(gè)銷等物資要由若干個(gè)產(chǎn)地調(diào)運(yùn)到若干個(gè)銷售地。問(wèn)題是，怎樣制定合理的調(diào)用方售地。問(wèn)題是，怎樣制定合理的調(diào)用方案才能使總運(yùn)輸費(fèi)用最少？本章將專門案才能使總運(yùn)輸費(fèi)用最少？本章將專門討論這類特殊形式的線性規(guī)劃問(wèn)題。討論這類特殊形式的線性規(guī)劃問(wèn)題。導(dǎo)導(dǎo)言言第五章 運(yùn)輸問(wèn)題http:/ 某食品公司經(jīng)銷的主要商品之一是糖果，它下面設(shè)有三個(gè)加某食品公司經(jīng)銷的主要商品之一是糖果，它下面設(shè)有

2、三個(gè)加工廠。某個(gè)的產(chǎn)量分別為工廠。某個(gè)的產(chǎn)量分別為A17t， A24t， A39t該公司把這該公司把這些糖果分別運(yùn)往四個(gè)地區(qū)的門市部銷售，各地區(qū)每天的銷售量為：些糖果分別運(yùn)往四個(gè)地區(qū)的門市部銷售，各地區(qū)每天的銷售量為： B13t， B26t， B35t， B46t 。已知從各個(gè)加工廠到各銷。已知從各個(gè)加工廠到各銷售部門每噸的運(yùn)價(jià)見(jiàn)下表：售部門每噸的運(yùn)價(jià)見(jiàn)下表：5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型31047A38291A2103113A1B4B3B2B1門市部加工廠單位：元/t問(wèn)：該食品公司應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，在滿足各部門銷售的情況下，問(wèn)：該食品公司應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，在滿足各部門銷售的情況下，使總的運(yùn)

3、費(fèi)支出為最少？使總的運(yùn)費(fèi)支出為最少？產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題無(wú)論全國(guó)或一個(gè)地區(qū)，在各種生產(chǎn)或生活物無(wú)論全國(guó)或一個(gè)地區(qū)，在各種生產(chǎn)或生活物資調(diào)運(yùn)中都可以提出入上述問(wèn)題類似的例子。資調(diào)運(yùn)中都可以提出入上述問(wèn)題類似的例子?，F(xiàn)在把問(wèn)題概括一下，在線性規(guī)劃中我們研現(xiàn)在把問(wèn)題概括一下，在線性規(guī)劃中我們研究這樣一類運(yùn)輸問(wèn)題：究這樣一類運(yùn)輸問(wèn)題：5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題 設(shè)有某種物資要從設(shè)有某種物資要從m m個(gè)產(chǎn)地（或稱發(fā)點(diǎn)）個(gè)產(chǎn)地（或稱發(fā)點(diǎn)）A Ai i(i=1(i=1，2 2，m)m)運(yùn)往運(yùn)往n n個(gè)銷地（或稱收點(diǎn)）個(gè)銷地（或稱收點(diǎn)）B

4、Bj j(j=1(j=1，2 2，n)n) ，A Ai i的產(chǎn)量為的產(chǎn)量為a ai i，B Bj j的銷量為的銷量為b bj j，把，把Ai運(yùn)運(yùn)到到Bj的單位運(yùn)價(jià)設(shè)為的單位運(yùn)價(jià)設(shè)為c cijij，問(wèn)怎樣編制調(diào)運(yùn)方，問(wèn)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案才能使總運(yùn)費(fèi)最少？案才能使總運(yùn)費(fèi)最少？ 假設(shè)從假設(shè)從A Ai i運(yùn)到運(yùn)到B Bj j的物資數(shù)量為的物資數(shù)量為x xijij，總運(yùn)，總運(yùn)費(fèi)為費(fèi)為S S，總產(chǎn)量，總產(chǎn)量= =總銷量。那么這個(gè)運(yùn)輸問(wèn)題總銷量。那么這個(gè)運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是：的數(shù)學(xué)模型是：5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題5.1

5、 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是: :產(chǎn)銷平衡表產(chǎn)銷平衡表產(chǎn)量ai產(chǎn)地銷地銷量bi1 nmb1 b2 bna1a2amx11 x12 x1nx21 x22 x2nxm1 xm2 xmn產(chǎn)地銷地1 nmc11 c12 c1nc21 c22 c2ncm1 cm2 cmn單位運(yùn)價(jià)表單位運(yùn)價(jià)表njmiijijxcS11min),2, 1,2, 1(0,0,0.1111njmixbababxaxtsijjiminjjimijijnjiij產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是:

6、 :0, 0. .minbXbAXtsCXSC=(c11，c12，c1n，c21，c22，c2n，cm1，cm2，cmn)B=（a1，a2，am，b1，b2，bn)TX =(x11，x12，x1n，x21，x22，x2n，xm1，xm2，xmn)T5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型其矩陣形式為其矩陣形式為產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題100100100010010010001001001111000000000111000000000111A行n行m（1 1）產(chǎn)量大于銷量的情形）產(chǎn)量大于銷量的情形 minjjiba11minjijijxcS11min), 2 , 1, 2 ,

7、1(0, 0, 0. .11njmixbabxaxtsijjimijijnjiij5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化其運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是其運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是由于總量大于總銷量，所以多余物資應(yīng)儲(chǔ)存在產(chǎn)地。由于總量大于總銷量，所以多余物資應(yīng)儲(chǔ)存在產(chǎn)地。社某產(chǎn)地社某產(chǎn)地Ai的多余存儲(chǔ)量為的多余存儲(chǔ)量為xi,n+1，于是運(yùn)輸問(wèn)題的約束，于是運(yùn)輸問(wèn)題的約束條件方程組為：條件方程組為：ininjnjijijaxxx1,111), 2 , 1(mi mijijbx1), 2 , 1(nj 11111,nnjimimiinibbax則5.1 運(yùn)運(yùn)輸

8、輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化minjijijxcS111min)1,2, 1,2, 1(0,0,0.111111njmixbababxaxtsijjiminjjimijijnjiij5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型可將不平衡的運(yùn)輸問(wèn)題（5.3）化為如下的平衡運(yùn)輸問(wèn)題),2, 1(01,micni產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化令令（2）產(chǎn)量大于銷量的運(yùn)輸問(wèn)題這時(shí)可增加一個(gè)設(shè)想的發(fā)點(diǎn)這時(shí)可增加一個(gè)設(shè)想的發(fā)點(diǎn)Am+1，發(fā)出量為，發(fā)出量為并令該發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)并令該發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)B的運(yùn)價(jià)的運(yùn)價(jià)C.（，（，），），同樣可將不平衡的運(yùn)輸

9、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平衡的運(yùn)輸問(wèn)題。同樣可將不平衡的運(yùn)輸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平衡的運(yùn)輸問(wèn)題。如無(wú)特別說(shuō)明，本章僅限于對(duì)平衡問(wèn)題的運(yùn)輸問(wèn)題求解的討如無(wú)特別說(shuō)明，本章僅限于對(duì)平衡問(wèn)題的運(yùn)輸問(wèn)題求解的討論。論。同一般的線性規(guī)劃問(wèn)題一樣，運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解也一定能在同一般的線性規(guī)劃問(wèn)題一樣，運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解也一定能在它的基本可行解中找到。由于運(yùn)輸問(wèn)題（它的基本可行解中找到。由于運(yùn)輸問(wèn)題（.）的約束系數(shù)矩陣）的約束系數(shù)矩陣的前行之和恰好等于后行之和，即矩陣的行向量組線性的前行之和恰好等于后行之和，即矩陣的行向量組線性相關(guān)，因此的秩必小于相關(guān)，因此的秩必小于+5.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

10、產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化njmiijmaba111100000010000001000111100000010000001015.1 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化根據(jù)以上討論可知，運(yùn)輸問(wèn)題（根據(jù)以上討論可知，運(yùn)輸問(wèn)題（5.2）的基矩陣應(yīng)由）的基矩陣應(yīng)由m+n-1個(gè)線個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量組成，這些列向量是約束方程性無(wú)關(guān)的列向量組成，這些列向量是約束方程Ax=b中去掉多余方程中去掉多余方程后剩下的后剩下的m+n-1個(gè)方程的系數(shù)列向量，因此在研究運(yùn)輸問(wèn)題的基時(shí)個(gè)方程的系數(shù)列向量，因此在研究運(yùn)輸問(wèn)題的基時(shí)只要在只要在A中找到中找到m+n-1個(gè)線性無(wú)

11、關(guān)的系數(shù)列向量就可以了。個(gè)線性無(wú)關(guān)的系數(shù)列向量就可以了。運(yùn)輸問(wèn)題中的約束方程和變量個(gè)數(shù)一般比較多。例如運(yùn)輸問(wèn)題中的約束方程和變量個(gè)數(shù)一般比較多。例如m=25,n=500時(shí)，就有時(shí)，就有525個(gè)約束方程和個(gè)約束方程和12500個(gè)變量，這樣的問(wèn)題即使使用電子個(gè)變量，這樣的問(wèn)題即使使用電子計(jì)算機(jī)求解也很困難。但根據(jù)運(yùn)輸問(wèn)題具有的特殊結(jié)構(gòu)，有專門為計(jì)算機(jī)求解也很困難。但根據(jù)運(yùn)輸問(wèn)題具有的特殊結(jié)構(gòu)，有專門為其設(shè)計(jì)的求解方法，這里不作介紹。對(duì)小規(guī)模的運(yùn)輸問(wèn)題的求解，其設(shè)計(jì)的求解方法，這里不作介紹。對(duì)小規(guī)模的運(yùn)輸問(wèn)題的求解，可通過(guò)表上作業(yè)法和圖上作業(yè)法去完成?？赏ㄟ^(guò)表上作業(yè)法和圖上作業(yè)法去完成。 5.1 運(yùn)

12、運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型因此秩（因此秩（A）=m+n-1。同樣可得。同樣可得A的增廣矩陣的增廣矩陣 =（a,b）的秩也）的秩也等于等于m+n-1。所以（。所以（5.2）式的）式的m+n個(gè)等式約束中有一個(gè)是多余的，個(gè)等式約束中有一個(gè)是多余的，于是增廣矩陣于是增廣矩陣 的任意一行都可用其余的任意一行都可用其余m+n-1行線性表出。這樣，運(yùn)行線性表出。這樣，運(yùn)輸問(wèn)題（輸問(wèn)題（5.2）中去掉任一個(gè)等式約束后就成為標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃）中去掉任一個(gè)等式約束后就成為標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問(wèn)題，便可用單純形或?qū)ε紗渭冃畏椒ㄇ蠼狻?wèn)題，便可用單純形或?qū)ε紗渭冃畏椒ㄇ蠼狻A產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)銷不平

13、衡運(yùn)輸問(wèn)題的轉(zhuǎn)化5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法對(duì)于小規(guī)模的運(yùn)輸問(wèn)題其求解過(guò)程可以在表上進(jìn)對(duì)于小規(guī)模的運(yùn)輸問(wèn)題其求解過(guò)程可以在表上進(jìn)行。行。5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法表中共有mn個(gè)格子，每個(gè)格子對(duì)應(yīng)一個(gè)變量求解運(yùn)輸問(wèn)題的首要任務(wù)是，在表上找到m+n-1個(gè)格子對(duì)應(yīng)的一組變量，11211,2nmnmjijijixxx是一組變量。為此，先引入以下概念和結(jié)論。定義 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法稱變量組的集合稱變量組的集合,132222111jijijijijijisssxxxxxx,151333314145xxxxxx是一個(gè)閉回路。其

14、中是一個(gè)閉回路。其中i1,i2,is互不相同，互不相同，j1,j2,js互不相同互不相同,稱其中稱其中每個(gè)變量為閉回路的頂點(diǎn)。每個(gè)變量為閉回路的頂點(diǎn)。 例如，變量組例如，變量組 中的中的i1=4,i2=3,i3=1,j1=5,j2=1 ,j3=3 各互不相同，若在表格中把相鄰兩各互不相同，若在表格中把相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)，第一個(gè)頂點(diǎn)與最后一個(gè)頂點(diǎn)用直線段連接起來(lái)，就可在下個(gè)頂點(diǎn)，第一個(gè)頂點(diǎn)與最后一個(gè)頂點(diǎn)用直線段連接起來(lái)，就可在下表表5.2中畫出這個(gè)閉回路。中畫出這個(gè)閉回路。 X45X41X31X33X13X15定義 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法X11但變量組x11,x12

15、,x22,x24,x44,x42,x21不能構(gòu)成一條閉回路，因?yàn)閤42不是拐角點(diǎn)。X12X22X24X44X42X42132222111,jijijijijijisssxxxxxx 若變量組若變量組 是一個(gè)閉回路，則這個(gè)變量組對(duì)應(yīng)矩陣是一個(gè)閉回路，則這個(gè)變量組對(duì)應(yīng)矩陣A中的列向量組線中的列向量組線性相關(guān)。性相關(guān)。證明矩陣矩陣A中的每列只有兩個(gè)元素為，其余都是。變量中的每列只有兩個(gè)元素為，其余都是。變量xij對(duì)應(yīng)中的列向量是對(duì)應(yīng)中的列向量是5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法定理5.15.101010ijp第i個(gè)分量第m+j個(gè)分量5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法定理5

16、.15.1通過(guò)計(jì)算閉回路中變量對(duì)應(yīng)中的列向量，得0132222111jijijijijijiSSSPPPPPP這表明變量組對(duì)應(yīng)矩陣中列向量組線性相關(guān)。ssjijijixxx,2211變量組變量組 對(duì)應(yīng)矩陣中列向量組對(duì)應(yīng)矩陣中列向量組 根據(jù)以上結(jié)論，給出了從表格上判斷運(yùn)輸問(wèn)題的方根據(jù)以上結(jié)論，給出了從表格上判斷運(yùn)輸問(wèn)題的方法。法。m+n-1個(gè)變量是否為一組基變量就看表中個(gè)變量是否為一組基變量就看表中m+n-1個(gè)變量是否含有閉回路。于是可從表格上方個(gè)變量是否含有閉回路。于是可從表格上方便的求出運(yùn)輸問(wèn)題的初始基本可行解來(lái)便的求出運(yùn)輸問(wèn)題的初始基本可行解來(lái).5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)

17、法法定理5.25.2ssjijijippp,2211線性無(wú)關(guān)的充要條件是該變量組不含有閉回路。線性無(wú)關(guān)的充要條件是該變量組不含有閉回路。求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法可按以下步驟進(jìn)行。求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法可按以下步驟進(jìn)行。一 、編制初始調(diào)運(yùn)方案方法一方法一 最小元素法最小元素法令令jiijbax,min（1）若aibj，則取xij=bj,而xsj=0(s=1,2,i-1,i+1,m),將bj填入(i,j)格內(nèi)。這時(shí)x1j+x2j+xij+xmj=xij=bj例例5.1用最小元素法求下列運(yùn)輸問(wèn)題的初始調(diào)運(yùn)方案用最小元素法求下列運(yùn)輸問(wèn)題的初始調(diào)運(yùn)方案 銷地產(chǎn)地B1 B2 B3 B4 B5產(chǎn)量ai 銷

18、量bjB1 B2 B3 B4 B510 20 5 9 10 10 8 25 621 15 7 10 4平衡表運(yùn)價(jià)表5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法一 、編制初始調(diào)運(yùn)方案求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法的步驟：求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法的步驟： 銷地產(chǎn)地B1 B2 B3 B4 B5產(chǎn)量ai 銷量bjB1 B2 B3 B4 B510 20 5 9 10 10 8 25 621 15 7 10 4平衡表運(yùn)價(jià)表初始基本可行解為初始基本可行解為x12,x13,x14,x22,x31,x32,x35=1,5,3,4,3,0,5,相應(yīng)運(yùn)價(jià)為：相應(yīng)運(yùn)價(jià)為：c12,c13,c14,c22,c31,c32,

19、c35=20,5,9,10,1,15,4,由此表上作業(yè)得初始調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)為由此表上作業(yè)得初始調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)為S=1x20+5x5+3x9+4x10+3x1+0 x15+5x4=135（元）（元）5.2 運(yùn)運(yùn)輸輸問(wèn)問(wèn)題題的的表表上上作作業(yè)業(yè)法法一 、編制初始調(diào)運(yùn)方案求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法的步驟：求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法的步驟：1534305解法二方法二 左上角法左上角法(也稱西北角法）也稱西北角法）令令1111,minbax（1）若）若a1b1，則取，則取x11=b1,則取則取x11=b1 ，而而xs1=0(s=2,3,m),將將b1填入填入(1,1)格內(nèi)。這時(shí)格內(nèi)。這時(shí)x11+x21+