圖解微分法和圖解積分法

1、圖解微分法和圖解積分法一些在數(shù)學上有微積分關系的物理量，?？捎脠D解微分法和圖解積分法進行研究。例如已知機構(gòu)的位移曲線后，可不必通過機構(gòu)各個位置的速度圖解和加速度圖解，直接用圖解微分法作出相應的速度曲線和加速度曲線。一 圖解微分法現(xiàn)以由位移曲線求速度為例，進行說明。設有一位移曲線，如圖1-1所示，縱坐標y代表位移s，所用的比例尺為，橫坐標x代表時間t，所用的比例尺為。求位移曲線上某點的速度是，如能作出該點的切線t-t，則所作切線的斜率即該點的速度。由于切線不容易準確作出，在工程上常用鄰近兩點弦線的斜率來作為切線的斜率。在點左右做兩條離開點有等距的縱坐標線與位移曲線相交于l及n點，由于弦線ln與中

2、點的切線接近平行，所以點的速度可表示為 （1-1）圖1-1一般x取得最小時，弦線的斜率就和中點切線的斜率越為接近，因而算出速度的精確度也較高。為了節(jié)省計算和作圖的工作量，一般常取各個時間間隔的x相等，于是可將上式中的合成為一個常數(shù)K，從而只要依次量出各個時間間隔的y，就可算出相應各時間間隔中點的速度，即 （1-2）例如在圖1-1中C、D點的速度分別等于K(mn）、K(pq)。速度算出后，再選擇適當?shù)乃俣缺壤哌M行換算，即可作出速度曲線。為了更簡捷地作出速度曲線，可將式（1-1）改寫成包含弦線與橫坐標軸傾角的形式： (1-3)式中 (1-4)如圖1-1所示，在速度曲線的橫坐標軸上，由原點O向左取

3、一定長度H，得p點，作射線pc/ln,于是線段Oc=Htan，這樣C點的速度可直接用線段Oc表示，但此時所作速度比例尺并非任取，而是由式（1-4）導出。圖1-2所示為上述圖解微分法在作機構(gòu)速度線圖中的應用。由位移曲線作速度曲線的步驟如下：圖1-21）將曲線的橫坐標分成若干等分（圖中為十二等分），過這些等分點作縱坐標線與曲線相交的點1、2、3、；2）過點0、1、2、3、作弦線01、12、23、；3）在速度曲線的橫坐標軸上，自原點O向左選取一段等于Hmm的合適距離，得p點；4）過p點引平行于各弦線01、12、23、的射線，它們與縱坐標軸相交于1、2、3、等點；5）將所得1、2、3、各點分別投影到相

4、應的縱坐標線上，得到一系列長方形（圖中用陰影線表示）；6）過坐標原點O及各長方形頂邊中點a、b、c、等連成圓滑曲線，即得所求的速度曲線。二圖解積分法 圖解積分法是用作圖方法求出待積曲線下一個個區(qū)間的面積，它也是圖解微分的逆過程。仍以圖1-2為例，由速度曲線求位移曲線。將曲線的橫坐標分成若干等分，并在曲線上定出各等分的中點a、b、c、，把這些中點投影到縱坐標軸上，得1、2、3、等點。由橫坐標軸上距原點O為定長H的p點連直線p1、p2、p3、。接著在位移圖上，自原點O 開始，按01、12、23、等區(qū)間，依次作與射線p1、p2、p3、分別平行的線段01、12、23、等。將所得0、1、2、3、各點連成圓滑曲線，即為所求的位移曲線。這樣作圖的位移比例尺可由式（1-4）算出，即 (1-5)圖解微分和圖解積分，雖然做法簡單，但是由于作圖誤差，不夠精確。下列兩個數(shù)學關系值得在作圖時遵守：1