復(fù)變函數(shù)留數(shù)

1、1CH 5 留數(shù) 1 1、孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 2 2、留數(shù)留數(shù)( (Residue) ) 3 3、留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用、留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用2 2009, Henan Polytechnic University2第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換5.15.1 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)& 1. 1. 定義定義& 2. 2. 分類分類& 3. 3. 性質(zhì)性質(zhì)& 4. 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系& 5. 5. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)3 2009, Henan Polytechnic University3第五

2、章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇點(diǎn)奇點(diǎn)11)( zzf-z=1為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)定義定義.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱內(nèi)內(nèi)解解析析的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域但但在在處處不不解解析析在在若若zfzzzzzzf 4 2009, Henan Polytechnic University4第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換xyo這說明奇點(diǎn)未這說明奇點(diǎn)未必是孤立的必是孤立的.的

3、的奇奇點(diǎn)點(diǎn)存存在在，總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn .1sin10的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)不是不是故故zz 5 2009, Henan Polytechnic University5第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2. 分類分類以下將以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類.考察：考察： )!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點(diǎn)：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪次項(xiàng)沒有負(fù)冪次項(xiàng) ! 211

4、!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點(diǎn)：特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng) nznzzez!1!211)3(211特點(diǎn)：特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)6 2009, Henan Polytechnic University6第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換定義定義 設(shè)設(shè)z0是是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0 的去心鄰域內(nèi)，的去心鄰域內(nèi)， 若若f (z)的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù) 00)()()(nnnzzczfi沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn);)1, 0()()()(0 mczzczf

5、iimmnnn只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為為m 階極點(diǎn)階極點(diǎn); nnnzzczfiii)()()(0有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn).7 2009, Henan Polytechnic University7第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換3. 性質(zhì)性質(zhì).)()(000解解析析在在補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義：zzfczf 000)(lim)()(0czfzzczfzznnn q若若z0為為f (z)的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn))1, 0()()(0 mczzczfmmnnnq若若z0為為f (z)的的m (m 1) 階

6、極點(diǎn)階極點(diǎn))()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz 8 2009, Henan Polytechnic University8第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換. 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm內(nèi)是解析函數(shù)且內(nèi)是解析函數(shù)且在在其中其中 422)1)(1(23)( zzzzzf例如：例如：z=1為為f (z)的一個(gè)三階極點(diǎn)，的一個(gè)三階極點(diǎn)， z= i為為f (z)的一階極點(diǎn)的一階極點(diǎn).不存在，也不為負(fù)冪次項(xiàng)的洛朗級(jí)數(shù)有無窮多項(xiàng))(lim)(0zfzfzzq若若z0為為f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)9 2009, He

7、nan Polytechnic University9第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義定義 不恒等于不恒等于0的解析函數(shù)的解析函數(shù)f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm Nmzzz ,)(, 0)(00點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在其其中中： 則稱則稱z=z0為為f (z) 的的m 階零點(diǎn)階零點(diǎn).與與三三階階零零點(diǎn)點(diǎn)。的的一一階階分分別別是是與與3)1()(10 zzzfzz例如：例如：10 2009, Henan Polytechnic University10第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換0

8、)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()()()(0)(0)(0 zfmnzfzzzzfmnm 定理定理事實(shí)上事實(shí)上，必要性得證！必要性得證！ 00)()(nmnnzzczf0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)(:00)(0)( cmzfmnzfTaylormn而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)公公式式有有由由充分性略！充分性略！11 2009, Henan Polytechnic University11第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換的的零零點(diǎn)點(diǎn)。均均為為與與3)1()(

9、10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf為為一一階階零零點(diǎn)點(diǎn)00)1()0( 3 zf為三階零點(diǎn)為三階零點(diǎn)1 z06)1( f0)1( f12 2009, Henan Polytechnic University12第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換階階極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0定理定理:.)(10階零點(diǎn)階零點(diǎn)的的是是mzfz證明證明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0為為f (z)的的m 階極點(diǎn)階極點(diǎn) 0)(,)(00 zgzzg且且解析解析在在)(

10、)()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm .0)(,)(00 zhzzh且且解析解析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10階零點(diǎn)階零點(diǎn)的的是是則則mzfz13 2009, Henan Polytechnic University13第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換則則階階零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm .0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) .0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0階階極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是

11、mzfz14 2009, Henan Polytechnic University14第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換.)1)(1()( 2如如果果是是極極點(diǎn)點(diǎn)指指出出它它的的階階的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，求求zezzzf 例例解解顯然，顯然，z= i 是是(1+z2)的一階零點(diǎn)的一階零點(diǎn), 2, 1, 0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為：即即 0)12(sin)12(cos)1()12()12( kikeekizzkizz的的一一階階零零點(diǎn)點(diǎn)是是zkekkiz 1), 2, 1, 0()12(15 2009, Henan P

12、olytechnic University15第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換.)(), 2, 1()12(;)(一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為的的二二階階極極點(diǎn)點(diǎn)為為zfkkizzfizk 綜合綜合.極極點(diǎn)點(diǎn)，指指出出它它的的階階數(shù)數(shù)如如果果是是孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型，練練習(xí)習(xí)：考考察察下下列列函函數(shù)數(shù)的的)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( 16 2009, Henan Polytechnic University16第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換11)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 11)

13、()7( zezf 322sin)2()1()()8(zzzzf 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf 17 2009, Henan Polytechnic University17第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換5. 5. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài).)()(的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)解解析析，那那么么稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在若若函函數(shù)數(shù)zfzRzf .)1(0)(的的狀狀態(tài)態(tài)相相同同在在的的狀狀態(tài)態(tài)與與在在tftzfz 由此得定義：由此得定義：展成冪級(jí)數(shù)展成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù),)( nnnnzczRzf定義定義規(guī)定規(guī)定 .-,-展展式式中中

14、含含無無窮窮項(xiàng)項(xiàng)正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為最最高高正正冪冪；且且展展式式中中含含有有限限項(xiàng)項(xiàng)正正冪冪階階極極點(diǎn)點(diǎn)展展式式中中不不含含正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)；可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)mzm18 2009, Henan Polytechnic University18第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換& 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則& 4. 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)5.2 留數(shù)留數(shù)(Residue)19 2009, Henan Polytechnic University19第五章留數(shù)第

15、五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義rzzzzczfnnn 000 ,)()(設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得：線線對(duì)對(duì)上上式式兩兩邊邊沿沿簡簡單單閉閉曲曲),)(00在在其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是zczfz 的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)含含有有未未必必為為所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在)(0)(0)(zfcczfdzzfc20 2009, Henan Polytechnic University20第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換定義定義設(shè)設(shè) z0 為為 f

16、(z) 的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)， f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng) (z- z0)1 的系數(shù)的系數(shù) c1 稱為稱為f (z)在在 z0 的的留數(shù)留數(shù)，記作，記作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0).由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故21 2009, Henan Polytechnic University21第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfs

17、idzzfcczfzzzczfc 則則上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外有有限限個(gè)個(gè)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有在在函函數(shù)數(shù)是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明22 2009, Henan Polytechnic University22第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換Dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()

18、()(21由復(fù)合閉路定理得：由復(fù)合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！23 2009, Henan Polytechnic University23第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)奇點(diǎn)的留數(shù). 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用將是采用將 f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù) c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有

19、利奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利.0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則24 2009, Henan Polytechnic University24第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點(diǎn)時(shí)，求為極點(diǎn)時(shí)，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4( );()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)是是若若1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開展

20、開為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)若若25 2009, Henan Polytechnic University25第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換階極點(diǎn)階極點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II )5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 26 2009, Henan Polytechnic University26第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換事實(shí)上事實(shí)上，由條件，由條件)0(,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmm

21、mzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求 .)5(,)!1()()(lim10110式式移移項(xiàng)項(xiàng)得得 cmzfzzdzdmmmzz27 2009, Henan Polytechnic University27第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換A當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，式時(shí)，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的的

22、一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)是是處處解解析析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則III事實(shí)上事實(shí)上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)為為從從而而的的一一階階零零點(diǎn)點(diǎn)為為及及zQzzQzzQzQ 0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此28 2009, Henan Polytechnic University28第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換),0)(,)()()()(1)(000 zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！0)( )( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzPzzzQ

23、zQzPzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則階階極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則,)(0zfz29 2009, Henan Polytechnic University29第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 22)1(25:zdzzzz計(jì)計(jì)算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和和一一個(gè)個(gè)二二階階極極點(diǎn)點(diǎn)極極點(diǎn)點(diǎn)的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個(gè)個(gè)一一階階在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzzzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0

24、1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 30 2009, Henan Polytechnic University30第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2:14 zcdzzzc正正向向計(jì)計(jì)算算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個(gè)個(gè)一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故31 2009, Henan Polytechnic University31第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積

25、分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換dzzzz 13cos計(jì)計(jì)算算例例3解解的的三三階階極極點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則32 2009, Henan Polytechnic University32第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換)( tanNndzznz 計(jì)計(jì)算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0sin)(cos2121kzkzzz得

26、得由由規(guī)規(guī)則則為為一一階階極極點(diǎn)點(diǎn)III,21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz 33 2009, Henan Polytechnic University33第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 ninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則數(shù)，不要死套規(guī)則.6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三階階零零

27、點(diǎn)點(diǎn)是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三階極點(diǎn)的三階極點(diǎn).34 2009, Henan Polytechnic University34第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換:)(級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10 ,sinRe306 zzzzzzsz由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則該方法較規(guī)則II更簡單！更簡單！35 2009, Henan Polytechnic University35第五章留數(shù)第五

28、章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 665506sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由規(guī)則由規(guī)則II 的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II時(shí)，可將時(shí)，可將 m 取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更簡單簡單.如如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 zzzdzdzz36 2009, Henan Polytechnic University36第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換3. 3. 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).)()(21)(的的留留數(shù)數(shù)在在為為閉閉曲

29、曲線線，那那么么稱稱積積分分向向?yàn)闉閳A圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)一一條條簡簡單單正正內(nèi)內(nèi)解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) zfdzzfiCzRzfC wccwcwcwfwwzmm1)1()(,1101 則則若若令令定義定義1),(Re czfs由此得由此得)0),1(1(Re),(Re2wfwszfs .32)(2的的留留數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)例例如如求求 zzzf37 2009, Henan Polytechnic University37第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換定理定理如果如果 f (z) 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），奇點(diǎn)（包括無窮

30、遠(yuǎn)點(diǎn)）， 那么那么f (z) 在在 所有孤立奇所有孤立奇點(diǎn)點(diǎn) 的的留數(shù)和等于零留數(shù)和等于零.1)2();,1(Re1242dzzzzzeszz ）練習(xí)：（練習(xí)：（38 2009, Henan Polytechnic University38第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用的的有有理理函函數(shù)數(shù)；為為其其中中 sin,cos)sin,(cos,)sin,(cos . 120RdR ;)( . 2dxxR ).0( )( . 3adxexRiax39 2009, Henan Polytechnic University3

31、9第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問題中，往往要在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如表示出來；例如 ,1cos,sin2dxxxdxxx或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非?；蛘哂袝r(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如復(fù)雜，例如 ,)1(122dxx40 2009, Henan Polytechnic University40第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變

32、換復(fù)變函數(shù)與積分變換（2 2）利用留數(shù)計(jì)算積分，沒有一些通用的方法）利用留數(shù)計(jì)算積分，沒有一些通用的方法，我們主要通過例子進(jìn)行討論；，我們主要通過例子進(jìn)行討論；利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)：利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)：（1 1）利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問）利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡了計(jì)算；數(shù)，從而大大化簡了計(jì)算；41 2009, Henan Polytechnic University41第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換例例1.1. 計(jì)算積分計(jì)算積分20.sin2t

33、dtI解：令解：令zeit izdzdtzzit ),(sin121而且當(dāng)而且當(dāng)t從從0增加到增加到2時(shí)，時(shí)，z按逆時(shí)針方向繞按逆時(shí)針方向繞圓圓C:|z|=1一周一周. .42 2009, Henan Polytechnic University42第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換因此因此,14212zizzdzI于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算1422 izz在在|z|1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出I. .上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：321iiz322iiz顯然顯然1| , 1|21 zz43 2009,

34、 Henan Polytechnic University43第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換因此被積函數(shù)在因此被積函數(shù)在|z|1，那么，那么z=i包含在包含在Cr的內(nèi)區(qū)域內(nèi)的內(nèi)區(qū)域內(nèi), ,沿沿 Cr取取22)1(1z 的積分，得的積分，得47 2009, Henan Polytechnic University47第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換現(xiàn)在估計(jì)積分現(xiàn)在估計(jì)積分 rzdz22)1(我們有我們有,)1(1|)1(|2222rrzdzr 因此因此, 0)1(lim22 rzdzr令令 ，就得到就得到r.2)1(22 xdxI48 2009,

35、 Henan Polytechnic University48第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換結(jié)論結(jié)論2 2. .應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如,)( dxxRI的積分，其中的積分，其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在實(shí)軸上分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2 2次次. .), 2 , 1(, ),(Re21點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzzRsiIknkk 49 2009, Henan Polytechnic University49第

36、五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換)2( )( 1111 nmbzbzazazzRmnmnnn由于由于mmnnnmmmnnnmzbzbzazazzbzbzazazzR 11111111111111)( 故故219111)(101,10121111 zzzRzbzbzazaznmmmnn可得可得充分大時(shí)，可使充分大時(shí)，可使當(dāng)當(dāng). 0)(,2)()(2 RRRCCCdzzRRRRdszRdzzR時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)因因此此， 50 2009, Henan Polytechnic University50第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換例例3.3. 計(jì)算積分計(jì)算積

37、分 02.1cosdxxxI解：取解：取r0，則有，則有,121)1(21cos20202 rrixrixixrdxxedxxeedxxx12 zeiz0 y函數(shù)函數(shù) 在在時(shí)有一階極點(diǎn)時(shí)有一階極點(diǎn)z=i外，在外，在其他每一點(diǎn)都解析其他每一點(diǎn)都解析, ,取積取積分區(qū)域如圖，而只要取分區(qū)域如圖，而只要取r1. .于是我們有于是我們有51 2009, Henan Polytechnic University51第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換于是我們有于是我們有,),1(Re211222eizesidzzedxxeizizrrixr r其中其中 表示表示Cr 上的圓弧部分，沿

38、它的積分是按上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的幅角增加的方向取的. .52 2009, Henan Polytechnic University52第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換)1(2121212111112202220sin20sin2sin222rrrrryyizizerrrderrderrderrdserdszedzzerrr 而而012 rdzzeriz時(shí)時(shí)由由此此，當(dāng)當(dāng).21cos02edxxxI 即即,1lim2edxxerrixr 因因此此)2,0(,1sin2 53 2009, Henan Polytechnic University53

39、第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換結(jié)論結(jié)論3 3. .應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如)0( )( adxexRIiax的積分，其中的積分，其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1 1次次. .), 2 , 1(,sin)(cos)(),)(Re2-1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzaxdxxRiaxdxxRzezRsiIknkkiaz 54 2009, Henan Polytechnic Universi

40、ty54第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換)1(24422)()(20220sin0sinsinararararryayiaziazeardedededserdsezRdzezRrrr 而而.), 2 , 1(, ),(Re2)()(1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中事事實(shí)實(shí)上上，nkzzzRsidzezRdxexRknkkrriaziaxr 0)( rdzezRriaz時(shí)時(shí)由由此此，當(dāng)當(dāng).), 2 , 1(, ),)(Re2)(1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzezRsidxexRknkkiaziax 55 2009, H

41、enan Polytechnic University55第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換其中其中R(x,y)是有理分式，并且在圓是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等上，分母不等于零于零. .結(jié)論結(jié)論1 1：.1)21,21()cos,(sin12220dzizzzizzRdtttRz 其中其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2 2次次. .結(jié)論結(jié)論2 2：.), 2 , 1(, ),(Re2)(1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzz

42、zRsidxxRknkk 56 2009, Henan Polytechnic University56第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換其中其中R(x)是有理分式，是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1 1次次. .結(jié)論結(jié)論3 3：.), 2 , 1(, sin)(cos)(),)(Re2) 0()(-1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzaxdxxRiaxdxxRzezRsiadxexRknkkiaziax 57 2009, Henan Polytechnic Uni

43、versity57第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 練習(xí)練習(xí). . 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分. . 20451; cos2cos1)(dI );0, 0( )()2(22222badxbxaxxI ).0( sin)3(22adxaxxxI58 2009, Henan Polytechnic University58第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 例例4.4. 計(jì)算積分計(jì)算積分 0,sindxxxI,22sin rixrixrixixrdxxedxxeidxixeedxxx 函數(shù)函數(shù) 只是在只是在z=0有一個(gè)一階極點(diǎn)有一個(gè)一階極點(diǎn). .zeiz

44、r及及 0 r解：取解：取 ，使，使59 2009, Henan Polytechnic University59第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換于是我們有于是我們有, 0 dzzedxxedzzedxxeizrixizrixr作積分路徑如右圖作積分路徑如右圖, ,在上半在上半平面上作以原點(diǎn)為心平面上作以原點(diǎn)為心, ,r與與 r 與與 為半徑的半圓為半徑的半圓r 與與在在這這里里沿沿 的積分分別是按幅角的積分分別是按幅角減小與增加的方向取的減小與增加的方向取的. . dzzeiz現(xiàn)在求當(dāng)現(xiàn)在求當(dāng) 趨近于趨近于0 0時(shí)，時(shí)， 的極限的極限. .圍道積分法圍道積分法60 2

45、009, Henan Polytechnic University60第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換其中其中h(z)是在是在z=0的解析函數(shù)的解析函數(shù). .因此因此,)()(1 dzzhidzzhdzzdzzeiz由于，由于，h(z)在在z=0的解析，在的解析，在z=0的一個(gè)鄰域內(nèi)的一個(gè)鄰域內(nèi)，|h(z)|有上界有上界 M0 z),(1zhzzeiz 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),2|)(| Mdzzh 于是當(dāng)于是當(dāng) 充分小時(shí)充分小時(shí)61 2009, Henan Polytechnic University61第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換從而從而,lim0i

46、dzzeiz .2 I r , 0 令令 ，應(yīng)用結(jié)論，應(yīng)用結(jié)論3 3的推導(dǎo)過程，可的推導(dǎo)過程，可以得到所求積分收斂，并且以得到所求積分收斂，并且62 2009, Henan Polytechnic University62第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換本章作業(yè)本章作業(yè)1.（3），（），（5），（），（9）；）；8.（3），（），（5），（），（6），（），（7）；）；9.（1），（），（2），（），（5）；）；10.（2），（），（3）；）；11.（1）；）；12.（1）；）；13.（1），（），（4），（），（5）.63 2009, Henan Polytechni

47、c University63第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)留數(shù)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型判判定定留留數(shù)數(shù)應(yīng)應(yīng)用用留留數(shù)數(shù)求求法法 0z 0z）內(nèi)內(nèi)洛洛朗朗展展式式含含負(fù)負(fù)冪冪情情況況定定義義（在在rzz 00 不不存存在在計(jì)計(jì)算算極極限限)(lim0)()(lim,)(lim)(lim00000zfczfzzzfczfzzmzzzzzz階階零零點(diǎn)點(diǎn)）階階零零點(diǎn)點(diǎn)，為為為為利利用用零零點(diǎn)點(diǎn)和和極極點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)系系（nzPmzQzzQzP)()(,)()(0）內(nèi)內(nèi)洛洛朗朗展展式式含含正正冪冪情情況況定定義義（在在 zR)(limzfz 計(jì)計(jì)算算極極限限中中的的類類型型在在轉(zhuǎn)

48、轉(zhuǎn)化化，判判定定)1(0wfw ）定定義義（洛洛朗朗展展式式1 c 本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)，洛洛朗朗展展式式階階極極點(diǎn)點(diǎn)留留數(shù)數(shù)為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)根根據(jù)據(jù)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型101)()(lim)!1(10,0mmmzzdzzfzzdmm 利利用用留留數(shù)數(shù)定定理理轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化洛洛朗朗展展式式無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)留留數(shù)數(shù)0),1(1Re21zfzsc簡簡單單正正向向閉閉曲曲線線積積分分積積分分三三種種特特殊殊類類型型實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)64 2009, Henan Polytechnic University64第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換類型類型1 1：.1)21,21()co

49、s,(sin12220dzizzzizzRdtttRz 類型類型2 2：.), 2 , 1(, ),(Re2)(1點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中nkzzzRsidxxRknkk 類型類型3 3：.), 2 , 1(),)(Re2) 0()(sin)(cos)(1-點(diǎn)點(diǎn)為為上上半半平平面面所所有有孤孤立立奇奇其其中中，nkzzezRsiadxexRaxdxxRiaxdxxRknkkiaziax 65 2009, Henan Polytechnic University65第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 例例1.1.在擴(kuò)充復(fù)平面討論下列函數(shù)奇點(diǎn)類型在

50、擴(kuò)充復(fù)平面討論下列函數(shù)奇點(diǎn)類型. .;1 )1(zez .)sin(1 )2(z 例例2.2.計(jì)算計(jì)算. .;,1Res )1(2 zez;1,1sinRes )2( zz.,1sin1Res )3( z).()()(2)()() )()() )(! 32)0(0)0(1)0(,! 51! 311)(.61)sin(lim! 210 ,sin1Res )3(3-2-2-1-4202zzzzzzzzzzzzzzzz 而而；，則則令令解解答答提提示示：原原式式66 2009, Henan Polytechnic University66第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 例例

51、3.3.計(jì)算計(jì)算. .;)3)(1()( )1(210 zzzizdz;cos45 )2(0 xdx.1)1cos( )3(-2dxxx ;)3(0)13()3(12,)3)(1()(1Res3 ,)3)(1()(1Res2 1 ,)3)(1()(1Res,)3)(1()(1Res2 )1(101010101010iiiizzizzzizizzizizzizi 原原式式 解：解：67 2009, Henan Polytechnic University67第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換;321,2521Re22 25212112145121 )2(21122 zzsiidzzzidzizzzzz原原式式. 1cos1cos,11Re2Re 11coscos11sinsin1coscos )3(2-2-2eiezsidxxxdxxxxiz 原原式式68 2009, Henan Polytechnic University68第五章留數(shù)第五章留數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與