數(shù)列函數(shù)的極限

1、第二講.授課題目（章節(jié)）§1.1 數(shù)列的極限 §1.3 函數(shù)的極限.教學(xué)目的與要求1. 理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；明確極限是描述變量的變化趨勢(shì)；了解極限的定義中的的含義2. 理解極限的性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念難點(diǎn)：極限的定義.講授內(nèi)容：§1.1數(shù)列極限的定義一 列極限的定義定義：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得n>N時(shí),不等式都成立,那么就常數(shù)a是數(shù)列的極限,或者稱數(shù)列收斂與a,記為.如果不存在這樣的常數(shù)a,就說(shuō)數(shù)列沒(méi)有極限,或者說(shuō)數(shù)列是 發(fā)散的,習(xí)慣上也說(shuō)不存在.例1.證明

2、數(shù)列2,的極限是1.證:小于任意給定的正數(shù),只要.所以,則當(dāng)n>N時(shí),就有<,即例2.設(shè)證明等比數(shù)列的極限是0.證:,因?yàn)?要使取自然對(duì)數(shù),得,取時(shí),就有.二 斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（極限的唯一性）：如果收斂，則它的極限唯一證明用反證法.假設(shè)同時(shí)有.因?yàn)闀r(shí),不等式都成立.同理,因?yàn)闀r(shí),不等式都成立.取(這式子表示中較大的那個(gè)數(shù)),則當(dāng)時(shí),(2)式及(3)式會(huì)同時(shí)成立.但由(2)式有由(3)式有,這是不可能的.這矛盾證明了本定理的斷言.數(shù)列的有界性概念定義：對(duì)于數(shù)列,如果存在著正數(shù)M,使得對(duì)于一切都滿足不等式,則稱數(shù)列是有界的;如果這樣的正數(shù)M不存在,就說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的.定理2（收斂數(shù)列的

3、有界性）如果收斂，則數(shù)列一定有界定理3：（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果且a>0（或a<0）那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，都有>0（或<0）推論：如果從某項(xiàng)起有0（或0）且子數(shù)列的概念：在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序,這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列).設(shè)在數(shù)列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,這樣無(wú)休止地抽取下去,得到一個(gè)數(shù)列,這個(gè)數(shù)列就是的一個(gè)子數(shù)列.定理4.（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a§1.3 函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于有限值時(shí)

4、函數(shù)的極限定義1：設(shè)函數(shù)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正數(shù),使得當(dāng)x滿足不等式時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)時(shí)的極限,記作.例1. 證明證明:這里,函數(shù)在點(diǎn)x=1是沒(méi)有定義的餓，但是函數(shù)當(dāng)是的極限存在或不存在與它并無(wú)關(guān)系.事實(shí)上,約去非零因子x-1，就化為 ，因此，只要取，那么當(dāng)時(shí)，就有所以 單側(cè)極限的概念：上述時(shí)函數(shù)的極限概念中，x是既從的左側(cè)也從的右側(cè)趨于的.但有時(shí)只能或只需考慮x僅從的左側(cè)趨于(記作)的情形,或x僅從的右側(cè)趨于(記作)的情形.在的情形,x在的左側(cè),.在的定義中,把改為,那么A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限,記

5、作或.類似的,在的定義中,把改為,那么A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限,記作或.右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.解:仿例3可證當(dāng)時(shí)的左極限而右極限,因?yàn)樽髽O限和右極限存在但不相等,所以不存在. 2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義2：設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記作或.定義2可簡(jiǎn)單地表達(dá)為:時(shí)有.例3:證明證：時(shí)，不等式成立.因這個(gè)不等式相當(dāng)于或由此可知,如果取,那么當(dāng)成立.這就證明了一 數(shù)極限的性質(zhì)：定理1（函數(shù)極限的唯一性）：如果存在，則這極限必唯一定

6、理2（函數(shù)極限的局部有界性）:如果,那么存在常數(shù)M>0和,使得當(dāng).證:因?yàn)?A,所以取=1,則時(shí),有,記則定理2就獲證明.定理3（函數(shù)極限的局部保號(hào)性）:如果,而且,那么存在常數(shù),使得當(dāng)時(shí),有).如果=A，而且A>0（或A<0），那么存在常數(shù)>0，使得當(dāng)時(shí)，有f (x )>0 ( 或f (x ) <0 )推論：如果在的某去心鄰域內(nèi)而且，那么,定理4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）如果極限存在，為函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意收斂于的數(shù)列，且滿足：，那么相應(yīng)的函數(shù)列必收斂，且.小結(jié)與提問(wèn)：小結(jié)：極限定義是本講的難點(diǎn)，必須結(jié)合極限的直觀描述和集合解釋弄懂其本質(zhì)。要逐步掌握放大法的技巧。提問(wèn)：思考題