無限長單位脈沖響應濾波器的設計方法

1、 下面舉例討論應用模擬濾波器低通原型，設計各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。 一低通變換 通過模擬原型設計數(shù)字濾波器的四個步驟： 1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。2）由變換關系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值k。3）根據(jù)k設計模擬濾波器的Ha(s)4） 把Ha(s) 變換成 H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）例1 設采樣周期 ,設計一個三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法求解。 解：a. 脈沖響應不變法 由于脈沖響不變法的頻率關系是線性的，所以可直接按c =2fc設計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻

2、率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率，得：322211)(ssssHa32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250khzfsTs 也可以查表得到。由手冊中查出巴特沃茲多項式的系數(shù)，之后以 代替歸一化頻率，即得 。 將 代入，就完成了模擬濾波器的設計，但為簡化運算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。)(sHaccf2cs / 為進行脈沖響應不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結構： 對照前面學過的脈沖響應不變法中的部分分式形式 有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： , -極點 2/ )3

3、1 (3/2/ )31 (3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jccecAsA2/)31 (,3/;2/)31 (36/32jsecAjscjcNiTSiZeAZHi111)(iS并將 代入，得： 合并上式后兩項，并將 代入，計算得： 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)(ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(ZZZZTZHTcc/ 可見，H（Z）與采樣周期T有關，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，

4、實際應用脈沖響應不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與 有關，即只與fc和fs的相對值 有關，而與采樣頻率fs無直接關系。 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結論適合于所有的數(shù)字濾波器設計。 最后得：scff /21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzZHCKHzfKHzfcs10,40KHzfKHzfcs1,4 b. 雙線性變換法 （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 （二）根據(jù)頻率的非線性關系，確定預畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式。

5、 （四）將雙線性變換關系代入，求H(Z)。5 . 02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應不變法雙線性變換法fs/2我們也可以用 MATLAB 完成設

6、計，在 MATLAB 中相關的語句有butter（巴特沃茲濾波器） 、impinvar（脈沖響應不變法） 、bilinear（雙線性變換） ，具體的程序如下：B,A=butter(3,2*pi*1000,s); num1,den1=impinvar(B,A,4000); h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000); h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(頻率/

7、Hz ) ylabel(幅值/dB)020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻率/Hz圖3.14 三階巴特沃茲濾波器的頻率響應幅值 圖1為兩種設計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折 疊頻率處 形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。, 1Z 二.高通變換 設計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時，有兩種方法： 先設計一

8、個相應的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻 數(shù)字高通、帶通、帶阻 設計方法同上面討論的低通濾波器的設計。 即確定 轉(zhuǎn)換為相應的 高通、帶通、帶阻 模擬濾波器的設計 Ha(s) H(Z) 直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設計。 頻率變換 模擬原型 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻kk這里只討論第二種方法。因其簡捷便利，所以得到普遍采用。 變換方法的選用： 脈沖響應不變法：對于高通、帶阻等都不能直接采用，或只 能在加了保護濾波器后才可使用。因此，使 用直接頻率變換（第二種方法），

9、對脈沖響 應不變法要有許多特殊的考慮，它一般應用 于第一種方法中。 雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實際使用中多數(shù)情況 也是如此?；陔p線性變換法的高通濾波器設計： 在模擬濾波器的高通設計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關系同樣可應用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器. 即11112zzTs 由于倒數(shù)關系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即 jjjctgTeeTseZjjj22112,時22ctgT如圖 映射到 即 映射到 即 圖1 高通變換頻率關系 這一曲線的形狀與雙線性變

10、換時的頻率非線性關系曲線相對應，只是將 坐標倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。22ctgT01z1z01.01.00 圖2 高通原型變換 應當明確： 所謂高通DF，并不是高到 ，由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ，對于實數(shù)響應的數(shù)字濾波器， 部分只是 的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是 ，高通也僅指這一段的高端，即到 為止的部分。 高通變換的計算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預畸的臨界頻率時，應采用 ,不必加負 號，因臨界頻率只有大小的意義而無正負的意義。2由0由022kkctgT例 ： 采樣 設計一個三階切比雪夫高通DF，其通過頻率 （但不必考慮 以上的頻率分量）

11、，通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：首先確定數(shù)字域截止頻率 , 則 切比雪夫低通原型的模函數(shù)為： 為N階切比雪夫多項式,100,10usTkHzfskHzf5 .2kHzfs525.0211Tf22211TctgT1222/11)(NaVjH)(NV通帶損耗 時，N=3時,系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計算獲得）：5089. 01101 . 03212131319883. 0238. 14913. 04913. 0)(ssssHadB1為方便，將 和 S 用T/2歸一化， 則12, 12/11TssT329883. 0238. 14913. 04913. 0)(ssssHa于是 3213211120

12、41. 06043. 03432. 013311321. 0)()(11zzzzzzsHZHzzsa圖3 三階切比雪夫高通頻響例5（書上 ） 設計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù) N。 模擬切比雪夫濾波器設計中階數(shù)的確定公式為 求得最小的N： 1220184. 0110,5 . 01 . 02今)(1lg102dBeA9 . 1210A及、2AcScsAN/cosh/1cosh121wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000

13、*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid; xlabel() ylabel(幅度/dB)050100150200250300350400450500-80-70-60-50-40-30-20-10010頻率/Hz幅度/dB頻率/Hz 切比雪夫高通濾波器幅度/dB三帶通變換

14、 如圖1 ,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為 ，則帶通變換的目的是將: （頻率映射關系具有周期性, 幅頻響應具有原點對稱性）。 即將S的原點映射到 ，而將 點映射到 ，滿足這一要求的雙線性變換為：000000映射0jezjS1z11cos2)1(122zzzzzezezsojjoo模擬低通000映射 圖1 帶通原型變換 jez 當 時 因此 （帶通變換關系 ）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscossincoscoso 圖中 點正好映射在 上，而 映射在 ， 兩端，因此滿足帶通變換的要求。000帶通變換的頻率關系穩(wěn)定性證明： 同時，這一變換也滿足

15、穩(wěn)定性要求，設 由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在S平面 軸上。其中分子永遠非負的 ， 因此 的正負決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關系是穩(wěn)定的變換關系，可用它來完成帶通的變換，如圖1。0 rz11cos222rrrso1cos1211cos212222rrrrrroo0)cos1(212orr12r010, 1時，時，rr設計： 設計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設計要求。 為了應用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率 。為此將 代入變換關系式：由于 在模擬低通中是一對鏡象頻率，代入上面兩等式，求出2

16、1,21,0cco,21求21,111sincoscoso21,210cos2cos2cossinsinsincos212121210222sincoscoso例又 同時也就是模擬低通的截止頻率 ，有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。 ：采樣 fs=400kHz，設計一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率： 1c11sincoscosoc45.0/222sff55.0/211sff6.0/233sff55. 0sin45. 0sin55. 045. 0sincos

17、05 . 00求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率 ： 從 頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標（查表） 歸一化的系統(tǒng)函數(shù)： 代入 ， 代入變換公式 c1584. 055. 0sin55. 0cos5 . 0cosc3249.06 .0sin6 .0cos5 .0cosrrc 到121)(2sssHa1/2/1)(2ccasssH1111cos222202zzzzzsf1f2f3fdB10dB30)(jeH例6 帶通濾波器設計111317. 6211317. 61)()(2222221122zzzzsHazHzzs66.3725.8466.

18、37) 1(2422zzz 四帶阻變換 把帶通的頻率關系倒置就得到帶阻變換。 ozzzscoscossin,1cos21022011coscossincco,21求給定21210sinsin)sin(cos例7w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1, w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB)5060708090100110120130140150-30-25-20-15-10-50

19、510頻 率 / Hz幅 度 / dB頻率/Hz巴特沃茲帶阻濾波器幅度/dB3.4 3.4 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z Z平面變換法） 上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡的低通原型來設計各種DF的方法，這種原型變換的設計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。 DF低通原型函數(shù) 這種變換是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個映射變換。 為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，我們把變換前的 Z平面定義為u平面，并將這一映射關系用一個函數(shù)g表示： 變換)(zHp)(ZHp)(11zgu各種DF的 H（z）平面平面zuZHuHzgup)()()(11于是，DF的原型變換可表為： )(11)()

20、(zgupuHzH 函數(shù) 的特性： 1) 是 的有理函數(shù)。 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求 u的單位圓內(nèi)部必須對應于z的單位圓內(nèi)部。 3） 必須是全通函數(shù)。 為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應映射到u的單位圓上，若以 分別表示u平面和Z平面的單位圓，則式為 且必有 ，其中 是 的相位函數(shù)， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。 )(1zg)(1zg1z)(1zgjjee 和)(jjjjeegege )(jeg1jeg全通函數(shù)的基本特性： 任何全通函數(shù)都可以表示為： 其中 為極點，可為實數(shù)，也可為共軛復數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即 ，以保證變換的穩(wěn)定

21、性不變，*為取共軛。 的所有零點 都是其極點的共軛倒數(shù) N：全通函數(shù)的階數(shù)。 變化時，相位函數(shù) 的變化量為 。 不同的N和 對應 各類不同的變換。 Niiizzzg11*111)(i1i)(1zg*/1i0i N下面具體討論幾種原型變換： 低通低通（LP） LPLP的變換中， 和 都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當 時，相應的 ，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位 變化量為 的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件： g(1) = 1 , g(-1) = -1 滿足以上要求的映射函數(shù)應為： 其中 是實數(shù)，且)(jpeHjeH0 N1111)(zzz

22、g10 圖1(a) LP-LP變換（有對稱性）c00 代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關系： 由此得 上式把 ， 。頻率特性: 呈線性關系，其余為非線性。 當 時， ， 帶寬變窄， 當 時， ， 帶寬變寬， 適當選擇 ，可使 變換為 ，如上圖所示 。 :低通原型截止頻率， : 變換后截止 頻率 jjeuez及將）（21jjjeeecos12sin122arctg,0zucc時00cccccccc00LP-LPLP-LP頻率變換圖 LP-LP頻率變換特性 cc 確定 ： 把變換關系 帶入（2）式 ，有： 得 （2） 式的 頻率關系，如圖 cccjjjeee12sin2sincccc

23、cc LP-HP a .基本思想：上述 LP 變換中的Z代以Z , 則 LP = HP 。)( zH b. 高通變換）（21jjjeee或, 00LP-HP變換把cc如圖2（a）， 在上述LP-LP 變換中，將 Z代以Z , 得 LP - HP變換關系：）（11111111zzzzu 原型低通的截止頻率 對應于高通的邊界頻率 ，欲將 變換到 ，由（2）式， 有： cccccccccccjjjjjjeeeeee1,12cos2coscccc:確定 LP - Hp變換圖2 (a) LP Hp變換cc00 LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關系： 或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1122212jjjjjererreree00000,0時，如圖3(a), 1)1(,0g，時全通函數(shù)取負號。LP-BP變換圖3 (a) LP-B