數(shù)學(xué)立體思維的培養(yǎng)

1、數(shù)學(xué)立體思維的培養(yǎng)摘要：發(fā)展數(shù)學(xué)思維最有效的方法是通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)的。然而，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常聽(tīng)到學(xué)生反映上課聽(tīng)老師講課，聽(tīng)得很明白”，但到自己解題時(shí)，總感到困難重重，無(wú)從入手；同學(xué)發(fā)生困難，并不是因?yàn)檫@些問(wèn)題的解答太難以致學(xué)生無(wú)法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問(wèn)題的解決存在著差異，也就是說(shuō)，這時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來(lái)自于我們教學(xué)中的疏漏，而更多的則來(lái)自于學(xué)生自身，來(lái)自于學(xué)生中存在的非科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維模式。因此，研究高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)對(duì)于增強(qiáng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性有十分重要的意義。關(guān)鍵詞：思維能力；數(shù)學(xué)；思維障礙1.引言思維

2、是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接的反映，反映的是事物的本質(zhì)及內(nèi)部的規(guī)律性。所謂數(shù)學(xué)思維，是指學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容而且能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)能力。數(shù)學(xué)思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，數(shù)學(xué)思維的形成是建立在對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的；發(fā)展數(shù)學(xué)思維最有效的方法是通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)的。然而，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常聽(tīng)到學(xué)生反映上課聽(tīng)老師講課，聽(tīng)得很明白”，但到自己解題時(shí)，總感到困難重重，無(wú)從入手；有時(shí)，在課堂上待我們把某一問(wèn)題分析完時(shí)，常常看到學(xué)生拍腦袋

3、：唉，我怎么會(huì)想不到這樣做呢？”事實(shí)上，有不少問(wèn)題的解答，同學(xué)發(fā)生困難，并不是因?yàn)檫@些問(wèn)題的解答太難以致學(xué)生無(wú)法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問(wèn)題的解決存在著差異，也就是說(shuō)，這時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來(lái)自于我們教學(xué)中的疏漏，而更多的則來(lái)自于學(xué)生自身，來(lái)自于學(xué)生中存在的非科學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維模式。因此，研究高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)對(duì)于增強(qiáng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性有十分重要的意義。數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯思維極強(qiáng)的學(xué)科。思維又是一種復(fù)雜的心理過(guò)程，是由人們的認(rèn)識(shí)需要引起的。教師對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的情感、態(tài)度、方法的了解與把握；對(duì)思維活動(dòng)的觀察、質(zhì)疑、探索、猜想的引導(dǎo)，是

4、搞好數(shù)學(xué)教學(xué)的必要條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生不斷地產(chǎn)生學(xué)習(xí)意向，引起學(xué)生的認(rèn)識(shí)需要，就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出一種學(xué)習(xí)氣氛，使學(xué)生急欲求知，主動(dòng)思考；就要設(shè)置出有關(guān)的問(wèn)題和操作，利用學(xué)生舊有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以造成認(rèn)知沖突。心理學(xué)的研究告訴我們：認(rèn)知沖突是學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與新學(xué)知識(shí)之間的沖突式差別，這種沖突會(huì)引起學(xué)生的新奇的驚愕，并促使其注意關(guān)心和探索的行為。課堂教學(xué)中有了學(xué)習(xí)氣氛和認(rèn)知沖突，即創(chuàng)設(shè)了思維情境，學(xué)生便有了展開(kāi)思維的動(dòng)因、時(shí)間和空間，從而有助于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的提高。2數(shù)學(xué)思維障礙的具體表現(xiàn)由于數(shù)學(xué)思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，數(shù)學(xué)思維障

5、礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：2.1數(shù)學(xué)思維的膚淺性由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程沒(méi)有深刻的去理解，一般的學(xué)生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握事物的本質(zhì)。由此而產(chǎn)生的后果：1學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往只順著事物的發(fā)展過(guò)程去思考問(wèn)題，注重由因到果的思維習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問(wèn)題的途徑和方法。例如在課堂上我曾要求學(xué)生證明：如|a|b|則。讓學(xué)生思考片刻后提問(wèn)，有相當(dāng)一部分的同學(xué)是通過(guò)三角代換來(lái)證明的（設(shè)a=cosqb=sin8,理由是|a|wj|b|w1（事

6、后統(tǒng)計(jì)這樣的同學(xué)占到近20%）。這恰好反映了學(xué)生在思維上的膚淺，把兩個(gè)毫不相干的量（a,b）建立了具體的聯(lián)系。2缺乏足夠的抽象思維能力，學(xué)生往往善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)那些不具體的、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題常常不能抓住其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)模型或過(guò)程去分析解決。例：已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，則點(diǎn)P（x,y）所對(duì)應(yīng)的軌跡為（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線(xiàn)（D）拋物線(xiàn)。在復(fù)習(xí)圓錐曲線(xiàn)時(shí)，我拿出這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生一著手就簡(jiǎn)化方程，化簡(jiǎn)了半天還看不出結(jié)果就再找自己運(yùn)算中的錯(cuò)誤（懷疑自己算錯(cuò)），而不去仔細(xì)研究此式的結(jié)構(gòu)進(jìn)而可以看出點(diǎn)P到點(diǎn)（1,3）及直線(xiàn)x+y+1=0的距離相等，從而其軌跡為拋物線(xiàn)。2

7、.2數(shù)學(xué)思維的差異性由于每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點(diǎn)，因此不同的學(xué)生對(duì)于同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、感受也不會(huì)完全相同，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏頗。這樣，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一方面不大注意挖掘所研究問(wèn)題中的隱含條件，抓不住問(wèn)題中的確定條件，影響問(wèn)題的解決。如非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+2y=1,求x2+y2的最大、最小值。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，如對(duì)x、y的范圍沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)（0wxw,l0<yS2）,那么就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。另一方面學(xué)生不知道用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、方法為依據(jù)進(jìn)行分析推理，對(duì)一些問(wèn)題中的結(jié)論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對(duì)自我思維進(jìn)程的調(diào)控，從而造成障礙。2.3數(shù)學(xué)思維定勢(shì)

8、的消極性由于學(xué)生已經(jīng)有相當(dāng)豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，因此，有些學(xué)生往往對(duì)自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗(yàn)，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據(jù)新的問(wèn)題的特點(diǎn)作出靈活的反應(yīng)，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認(rèn)識(shí)。如：剛學(xué)立體幾何時(shí)，一提到兩直線(xiàn)垂直，學(xué)生馬上意識(shí)到這兩直線(xiàn)必相交，從而造成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。由此可見(jiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的形成，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展，而且也不利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提高。所以，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中注重突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙就顯得尤為重要。3、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中思維情景的創(chuàng)設(shè)3.1 引入新課中創(chuàng)設(shè)思維情境，注重激起學(xué)生探求知識(shí)新課的引入，這是教學(xué)過(guò)程的一個(gè)重要

9、環(huán)節(jié)，教師若不注意思維情境的創(chuàng)設(shè)，師生便不易進(jìn)入角色”，教師的導(dǎo)學(xué)過(guò)程和導(dǎo)學(xué)效應(yīng)便不能得到充分體現(xiàn)，從而導(dǎo)致整堂課欠佳的教學(xué)效果。引入新課中創(chuàng)設(shè)思維情境有以下幾種方法：1.巧設(shè)懸念，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)意向。心理學(xué)的知識(shí)告訴我們：意向是在一定恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境中產(chǎn)生的。如在教學(xué)全等三角形的引入時(shí)，提問(wèn)學(xué)生：不過(guò)池塘，如何測(cè)得池塘的寬度？這樣很容易激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)意向。2.提出疑點(diǎn)，點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花。導(dǎo)學(xué)”的中心在于引導(dǎo)，引在堵塞處，導(dǎo)在疑難處。搞好引導(dǎo)，能有效地促進(jìn)學(xué)生思維狀態(tài)的轉(zhuǎn)化。在新課引入時(shí)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，提出一些疑問(wèn)，就會(huì)引發(fā)學(xué)生解疑的要求。如在教學(xué)負(fù)數(shù)的引入時(shí)，提問(wèn)學(xué)生：（1

10、）?你有5元錢(qián)，還了別人2元錢(qián)，還有多少錢(qián)？列式算出。（2）你有5元餞，還了別人8元錢(qián)，還有多少錢(qián)，列式后能算出結(jié)果嗎？3.直觀演示、探索、發(fā)現(xiàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)興趣。在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中，直觀形象具有的鮮明性和強(qiáng)烈性往往給抽象思維提供較多的感性認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)。心理學(xué)家魯賓斯坦指出：直觀要素以概括的映象表象的形態(tài)，以及仿佛顯示著和預(yù)知著還沒(méi)有以同的形態(tài)展開(kāi)的思想系統(tǒng)圖式的形態(tài)，參加在思維過(guò)程中?！币虼嗽谛轮R(shí)教學(xué)引入時(shí)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，重視直觀演示、實(shí)驗(yàn)操作，就會(huì)使學(xué)生感興趣，就能較好地為新知識(shí)的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)思維情境。引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，其進(jìn)行的過(guò)程中就蘊(yùn)含著很好的思維情境。學(xué)生在嘗試了探索、發(fā)現(xiàn)后的樂(lè)趣和成

11、功的滿(mǎn)足后印象深刻，學(xué)習(xí)信心倍增，從而能較快地牢固地接收新知識(shí)。止匕外，在新課引入時(shí)還可通過(guò)：以舊引新一一復(fù)習(xí)與新課有聯(lián)系的舊知識(shí)，引入新知識(shí)；故事激趣一一與新課有關(guān)的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的趣味故事等以創(chuàng)設(shè)思維情境。3.2 注重培養(yǎng)學(xué)生正確的思維觀察模式、方法思維通常是從觀察教學(xué)對(duì)象開(kāi)始，結(jié)合運(yùn)用其他方式才能獲得關(guān)于客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)觀察，無(wú)論是圖形的識(shí)別、數(shù)據(jù)之間關(guān)系的把握，還是基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、綜合分析能力的提高都離不開(kāi)認(rèn)真、仔細(xì)的觀察。觀察、發(fā)現(xiàn)是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中必需的、第一位的方法。而正確的觀察方法，對(duì)學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)具有重要的推動(dòng)作用。因此，在教學(xué)中，要針對(duì)學(xué)生在心理缺乏觀

12、察事物所必須具備的基本素質(zhì)，在掌握知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的水平上缺乏觀察的能力和數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，可以考慮利用多媒體教學(xué)或啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用眼睛觀察、欣賞同類(lèi)型題的變化，保證觀察的正確性。3.2.1 引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系”的哲學(xué)觀點(diǎn)觀察部分與整體的關(guān)系數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)理間的關(guān)系，還與其他學(xué)科具有緊密的知識(shí)聯(lián)系。我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)觀察時(shí)，要注重把政治教學(xué)中有關(guān)哲學(xué)思辯的思想和方法在不知不覺(jué)”中引導(dǎo)和發(fā)散學(xué)生思維模式。比如，整體與部分的關(guān)系中，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察的整體的同時(shí)，還應(yīng)觀察其部分的特點(diǎn)，從整體看部分，從部分中把握整體，這樣，才能抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵，使解題簡(jiǎn)化。例：計(jì)算1+2+3+100許多學(xué)生一看到題就將數(shù)一

13、個(gè)一個(gè)累加，當(dāng)然能夠算出結(jié)果，但比較麻煩。此時(shí)可以啟發(fā)學(xué)生去觀察思維，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們隱含的規(guī)律，1+100=101,2+99=101,3+98=101如此類(lèi)推一共有50個(gè)101,兩者相乘，輕而易舉地解決了問(wèn)題。3.2.2 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散性觀察思維，尋求多樣解題途徑發(fā)散性觀察思維，就是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在多樣性的數(shù)量、數(shù)理關(guān)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)量、數(shù)理演變的規(guī)律，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通。比如,有些數(shù)學(xué)題，教師可以對(duì)例題進(jìn)行有目的、多角度的演變，調(diào)換命題的題設(shè)和結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)一題多變的觀察和思考，在解題過(guò)程中開(kāi)闊思路，尋求多種方法解決問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到辦法總比問(wèn)題多”。這就是我們數(shù)學(xué)教育在學(xué)生全面素質(zhì)教育中

14、的一個(gè)重要命題，可以讓學(xué)生體會(huì)到：可以在人生觀、世界觀方面同樣具有教育的意義和優(yōu)勢(shì)。例1.已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于1350,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。變式1已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是10800,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。變式2已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)是8,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和。以上兩變式的解法都用原例同一關(guān)系式，解法略。變式3已知一個(gè)正多邊形的外角是450,求這個(gè)正多邊形內(nèi)角和。變式4已知多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為11800,求此多邊形的邊數(shù)。以上變式從不同角度調(diào)換例題的題設(shè)和結(jié)論，解法不盡相同，但是它們都依據(jù)了多邊形內(nèi)角和公式和外角和公式，這樣教學(xué)，為學(xué)生從不同角度去觀察問(wèn)題，思考問(wèn)題，用不同

15、方法解決問(wèn)題提供了豐富的材料，使學(xué)生的知識(shí)在更廣闊的領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行循環(huán)，觀察的靈活性得以培養(yǎng)和訓(xùn)練，在突破學(xué)生定向性思維模式上具有一定的意義。3.3 重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識(shí)。數(shù)學(xué)意識(shí)是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)對(duì)自身行為的選擇，它既不是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的具體應(yīng)用，也不是對(duì)應(yīng)用能力的評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)意識(shí)是指學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)該做什么及怎么做，至于做得好壞，當(dāng)屬技能問(wèn)題，有時(shí)一些技能問(wèn)題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先想到的是套那個(gè)公式，模仿那道做過(guò)的題目求解，對(duì)沒(méi)見(jiàn)過(guò)或背景稍微陌生一點(diǎn)的題型便無(wú)從下手，無(wú)法解決，這是數(shù)學(xué)意識(shí)落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的

16、準(zhǔn)確性、規(guī)范性、熟練程度的同時(shí)，我們應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識(shí)帶動(dòng)雙基，將數(shù)學(xué)意識(shí)滲透到具體問(wèn)題之中。如：設(shè)x2+y2=25,求u=的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，w的取值范圍不大容易求，但適當(dāng)對(duì)u進(jìn)行變形：轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形容易求得u66,6,這里對(duì)u的適當(dāng)變形實(shí)際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識(shí)在起作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)的教學(xué)，如因果轉(zhuǎn)化意識(shí)”類(lèi)比轉(zhuǎn)化意識(shí)”等的教學(xué)，才能使學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題得心應(yīng)手、從容作答。所以,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)是突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的一個(gè)重要環(huán)節(jié)?？傊?，數(shù)學(xué)教學(xué)具有數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，在教學(xué)中，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、處理數(shù)據(jù)的能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)信息的表達(dá)和交流能力為目的，