一類常見數(shù)列的倒數(shù)裂項(xiàng)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、一類常見數(shù)列的倒數(shù)裂項(xiàng)教學(xué)設(shè)計(jì)余姚中學(xué) 龔鳳一. 教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是在高三學(xué)生二輪復(fù)習(xí)時(shí)的一節(jié)數(shù)列綜合專題復(fù)習(xí)課。它是在復(fù)習(xí)了等差等比數(shù)列概念及相關(guān)性質(zhì)和解遞推公式和求和問題的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列綜合問題中的某一類常見問題的歸納、深化和整理，由此加深對(duì)之前數(shù)列及不等式知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，加深對(duì)歸納類比、倒數(shù)裂項(xiàng)、放縮思想等在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也為進(jìn)一步解決相關(guān)更加復(fù)雜的數(shù)列綜合問題打下基礎(chǔ)。二. 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析任教的學(xué)生在年段屬中等程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但數(shù)列綜合問題，特別是跟不等式相結(jié)合的問題，對(duì)學(xué)生來說有一定的困難，尤其是不易找到解題的切入口。三. 教學(xué)策略分析建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為

2、，建構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建，其過程一般是引導(dǎo)學(xué)生從身邊的、生活中的實(shí)際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，思考如何解決問題，進(jìn)而聯(lián)系所學(xué)的舊知識(shí)，首先明確問題的實(shí)質(zhì)，然后總結(jié)出新知識(shí)的有關(guān)概念和規(guī)律，形成知識(shí)點(diǎn)，把知識(shí)點(diǎn)按照邏輯線索和內(nèi)在聯(lián)系，串成知識(shí)線，再由若干條知識(shí)線形成知識(shí)面，最后由知識(shí)面按照其內(nèi)容、性質(zhì)、作用、因果等關(guān)系組成綜合的知識(shí)體。也就是以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)以及學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)?；谝陨侠碚摚竟?jié)課遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，循序漸進(jìn)的思路，采用問題探究式教學(xué)，運(yùn)用多媒體輔助，倡導(dǎo)"自主、合作、探究"的學(xué)習(xí)方式。本節(jié)課通過對(duì)一系列相似問題的探究，體驗(yàn)&

3、quot;數(shù)學(xué)是過程的思想"，改變課程實(shí)施過程中強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識(shí)的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。四. 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置本堂課通過對(duì)一類數(shù)列問題的研究，讓同學(xué)們?cè)陬惐葰w納中逐步掌握此類問題的基本解決辦法倒數(shù)裂項(xiàng)，作差、作商比大小，不等式放縮，領(lǐng)會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想。五. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 對(duì)這一類數(shù)列綜合問題的歸納和深化，掌握倒數(shù)裂項(xiàng)的基本技能。教學(xué)難點(diǎn)：從一個(gè)問題到一類問題的自主探究。六. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一） 知識(shí)準(zhǔn)備：上課前一天發(fā)下練習(xí)，由學(xué)生自

4、主完成前三題的解答。設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生對(duì)將要研究的問題有一個(gè)基本的思考和了解。 （二）新課引入： 對(duì)目前的高考現(xiàn)狀中的數(shù)列考點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，并給出引例： 已知數(shù)列滿足.（1）求證：；（2）求證：，其中.由于學(xué)生有準(zhǔn)備，可以由學(xué)生來進(jìn)行解答。第（1）小題比較明顯，第二小題在放縮上有些困難，可以適時(shí)給與些指導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖在此例中及時(shí)提出倒數(shù)裂項(xiàng)、作差比大小、放縮的思想方法，讓學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中可以隨時(shí)參考。 （三）題型變換，層層深入變式一. 提問，由學(xué)生來對(duì)此等式進(jìn)行倒數(shù)裂項(xiàng)的變化，并適當(dāng)變形，掌握第二種形式。例1已知數(shù)列滿足且.（1）求證：；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：. 依然由學(xué)生進(jìn)行求解，第（

5、1）小題倒數(shù)裂項(xiàng)后變形，變形到一個(gè)合適的等式，疊加可得。但是在求解范圍的時(shí)候又會(huì)有些麻煩，需要用到作差比大小及放縮，需要進(jìn)行隨時(shí)得提點(diǎn)和指導(dǎo)。第（2）小題用前面的結(jié)論即可解答，反而比較簡(jiǎn)單。變式二. 提問，由學(xué)生來對(duì)此等式進(jìn)行倒數(shù)裂項(xiàng)的變化，并適當(dāng)變形，掌握第三種形式。例2數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的，有.（1）求的值；（2）若，是否存在，使得，若存在，試求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由. 此題含有參數(shù)c，不過第（1）小題不難，可直接求出前三項(xiàng)，或者運(yùn)用剛才剛剛得到的結(jié)論來簡(jiǎn)化運(yùn)算，由學(xué)生解答。但是第（2）小題就相對(duì)麻煩些，可讓學(xué)生先自主分組交流，并由代表來解決此題，經(jīng)由師生共同來完善。 設(shè)

6、計(jì)意圖通過兩個(gè)例題，由易到難，給學(xué)生一個(gè)解題的階梯，循序漸進(jìn)，慢慢體會(huì)此類問題的一般解法。變式三. 提問，由學(xué)生來對(duì)此等式進(jìn)行倒數(shù)裂項(xiàng)的變化，并適當(dāng)變形，掌握第四種形式。注意與前面三種形式的比較。變式四. 提問，由學(xué)生來對(duì)此等式進(jìn)行倒數(shù)裂項(xiàng)的變化，并適當(dāng)變形，掌握第五種形式。注意在提出時(shí)說明為什么首位兩項(xiàng)系數(shù)互為倒數(shù)，給學(xué)生予以證明。 （四）課堂小結(jié) 對(duì)這一類數(shù)列問題進(jìn)行歸納，點(diǎn)明其中涉及到的解題基本方法和數(shù)學(xué)思想方法。 （五）課后練習(xí)1已知數(shù)列.（1）求證：對(duì)于恒有成立；（2）求證：.2已知函數(shù)，若數(shù)列滿足： . 求證：. 設(shè)計(jì)意圖課堂時(shí)間有限，希望通過學(xué)生課外通過對(duì)課堂知識(shí)的整理歸納，以及

7、對(duì)兩個(gè)習(xí)題的解答，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)能夠及時(shí)鞏固，能夠不再懼怕這樣看似復(fù)雜的數(shù)列綜合問題，有信心又有能力去完美解決這些問題。七. 教學(xué)反思這是一堂高三復(fù)習(xí)課，也是一堂“新課”。數(shù)列綜合問題今年來成了高三學(xué)生的一個(gè)“心頭病”，希望通過本堂課的學(xué)習(xí)，能給與學(xué)生一個(gè)研究問題、解決問題的基本方向。在課堂教學(xué)中，原本打算把引例的解答過程和五種形式的倒數(shù)裂項(xiàng)形式寫在黑板上，后面兩個(gè)例題的解答直接用電子白板寫在屏幕上，便于修改和隨時(shí)翻看，卻由于微格教室里電子白板失靈，只好把所有的解答過程都寫在黑板上，五種形式就只能寫在后面那塊黑板上，有些不方便，字也相對(duì)小了些，倒也一目了然。另外，由于學(xué)生知道了要錄課，竟比我還要緊張，一