高等數(shù)學(xué)講義--一元函數(shù)微分學(xué)

1、第二章一元函數(shù)微分學(xué)2.1導(dǎo)數(shù)與微分(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)與微分概念1、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xo的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在xo處有增量x，相應(yīng)地函數(shù)增量yf(xox)f(xo)。如果極限|imf(XoX)f(Xo)x0x存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)(也稱微商)，記作f(X。)，或yx冷，d|xx0，XX。等，并稱函數(shù)yf(X)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則dxdx稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令xx0X，XXx0，則f(X0)limf(X)f(X0)xX0xx0我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。右導(dǎo)數(shù)：f(X0)limf(x)f(X0)

2、lim似x)畑x0XX)x0x左導(dǎo)數(shù)：f(x)f(X)f(X0x)f(x)f(X)limlimx冷XX)x0X則有f(X)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)f(X)在點(diǎn)X。處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義如果函數(shù)yf(X)在點(diǎn)X0處導(dǎo)數(shù)f(X0)存在，則在幾何上f(X0)表示曲線yf(x)在點(diǎn)(X0,f(x)處的切線的斜率。切線方程：yf(x0)f(X0)(XX0)法線方程：yf(X0)(XX0)(f(X0)0)f(Xo)設(shè)物體作直線運(yùn)動時路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系為Sf(t)，如果f(t0)存在，則f(t0)表示物體在時刻t0時的瞬時速度。3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系如果函數(shù)yf(x)在

3、點(diǎn)X0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)X0處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)f(X)在點(diǎn)X。處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)X。處可導(dǎo)。例如,f(x)|X|,在X00處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。4.微分的定義設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)X0處有增量X時，如果函數(shù)的增量yf(X0x)f(X0)有下面的表達(dá)式y(tǒng)A(x)xo(x)(x0)其中A(x)為X為無關(guān)，0(X)是X0時比X高階的無窮小，則稱f(X)在X0處可微,并把y中的主要線性部分A(x0)X稱為f(X)在x0處的微分，記以dyXx或df(x)xx我們定義自變量的微分dx就是x。5微分的幾何意義yf(X0x)f(X0)是曲線yf(x)在點(diǎn)X0處相應(yīng)于自變量增量X的縱坐標(biāo)f(x0)的增

4、量，微分dyxx。是曲線yf(x)在點(diǎn)M(x,f(X0)處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量(見圖)。6可微與可導(dǎo)的關(guān)系f(x)在x0處可微f(x)在x0處可導(dǎo)。且dyxX0A(X)xf(X0)dx般地，yf(x)則dyf(x)dxdy所以導(dǎo)數(shù)f(x)dy也稱為微商，就是微分之商的含義。7高階導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處仍是可導(dǎo)的，則把yf(x)在點(diǎn)x0處廣I/的導(dǎo)數(shù)稱為yf(x)在點(diǎn)X。處的二階導(dǎo)數(shù)，記以yxx0，或f(Xo)，或一yxx0等，也dx稱f(x)在點(diǎn)xo處二階可導(dǎo)。如果yf(x)的n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為yf(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記以y(n),(n)y(x),護(hù)等，

5、這時也稱f(x)是n階可導(dǎo)。、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算1 導(dǎo)數(shù)與微分表(略)2 導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則(1) 四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式(2) 反函數(shù)求導(dǎo)公式(3) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式(4) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則(5) 對數(shù)求導(dǎo)法(6) 用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式(乙)典型例題-、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)例設(shè)f(x)(xa)g(x)，其中g(shù)(x)在xa處連續(xù)，求f(a)maz0maHXa)二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性例1設(shè)函數(shù)X2,x1axb,x1試確定a、b的值，使f(x)在點(diǎn)x1處可導(dǎo)。解：可導(dǎo)一定連續(xù)，f(x)在x1處也是連續(xù)的。f(10)limf(x)limx21x1x1f(10)limf(x)lim(axb)

6、abx1x1要使f(x)在點(diǎn)x1處連續(xù)，必須有abf(1)xmf(x)f(1)x1x21limx1x1lim(x1)2f(1)limx1f(x)xf(1)1lim仝衛(wèi)x1x1要使f(x)在點(diǎn)x1處可導(dǎo)，必須f(1)f(1)，即2a.故當(dāng)a2,b1時,f(x)在點(diǎn)x1處可導(dǎo).例2設(shè)f(x)2n(x1)xenime*(x1)axb1解：x1時，n(x1)limenx1時，limen(x10nx2JX1,ab1f(x)x1,2axb,x1，問a和b為何值時，f(x)可導(dǎo)，且求f(x)1，f(1)1，可知a由x1處連續(xù)性，limf(x)limx2x1x1再由x1處可導(dǎo)性，f(1)lim2xf(1)存在

7、x1x1f(1)lim(axb)f(1)存在x1x1且f(1)f(1)根據(jù)洛必達(dá)法則f(1)lim2x2x11f(1)limaa，二a2x11于是b1a12dx,x1,f(x)1,x1,2x1,x1,f(x)2x,x1,2,x1,三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分例1設(shè)f(x)可微，yf(lnx)ef(x)，求dy解：dyf(lnx)def(x)ef(x)df(lnx)f(x)ef(x)f(lnx)dx-f(Inx)ef(x)dxx1ef(x)f(x)f(Inx)f(Inx)dxx例2設(shè)yxyy(Inx)Iny,yyxx(x0)，求矽dx解:Inyxxlnx對x求導(dǎo)，得11xy(x)Inxxyx

8、再令y1xx，Iny1xlnx，對x求導(dǎo),y1Inx1，二(xx)xx(lnx1)y1于是矽xx(lnx1)Inxxx1x(x0)dx例3設(shè)yy(x)由方程xyyx所確定，求dx解：兩邊取對數(shù)，得ylnxxlny,y2xynyx2xylnx對x求導(dǎo)，yInxInyxt2u2desinudut2teuln(1u)du求空dydx解dx2t2dtdydt四、求切線方程和法線方程t4L2tesintesint2t2eln(12t)例1已知兩曲線yf(x)與yarctanx.2etdt在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，寫出此切線方2程，并求limnf()。nn解：由已知條件可知f(0)0,f(0)e(arc

9、tanx)21x2故所求切線方程為yxf(-)f(0)n2limnf(2)lim2nnn2f(0)2例2已知曲線的極坐標(biāo)方程坐標(biāo)方程。解：曲線的參數(shù)方程為1cos，求曲線上對應(yīng)于6處的切線與法線的直角(1(1cos)coscoscos)sinsin2cossincosdydcosc2os2sindx6dx6sn2cossind故切線方程y1也1(x%33)2424即xy5044法線方程y173(x733-)2424即xy1044y6例3設(shè)f(x)為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在x0鄰域內(nèi)，恒有(x)f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)。其中l(wèi)im0,f(x)在x1處可導(dǎo)，x0x求曲線yf(x)

10、在點(diǎn)(6,f(6)處的切線方程。解：由題設(shè)可知f(6)f(1),f(6)f(1)，故切線方程為yf(1)f(1)(x6)所以關(guān)鍵是求出f(1)和f(1)由f(x)連續(xù)性limf(1sinx)3f(1sinx)2f(1)x0由所給條件可知2f(1)0,f(1)0再由條件可知叫IKsinx)3f(1sinx)sinx叫IK8x(X)8sinxsinx令sinxt,limf(1t)3f(1t)8，又t0f(1)0五、上式左邊=limt則4f(1)8所求切線方程為高階導(dǎo)數(shù)1求二階導(dǎo)數(shù)yln(xf(1t)f(1)(1)3f(1)f(1)2y02(x4f6)3lim空t0t)f(1)(t)(1)2xy12

11、0a2)，求y解:、x2a2)(1xxa122尹a)xx22)a2xx(x2a2)3xarctantyln(1t2)dx2dy2t解:少dt1忙2tdxdx1dt1t2d2yd伴)dxd伴)dx/dx12(112)dx2dxdt1t2例3設(shè)yy(x)由方程x2y21所確定，求y解:2x2yy0,yy1yxy2y2xyy2y22yx3y2.求n階導(dǎo)數(shù)(n2，正整數(shù))先求出y,y,L，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n)，最后用歸納法證明。(1)yxe(n)yxe(2)yax(a0,a1)(n)yxa(lna)(3)ysinx(n)ysin(x2)(4)ycosx(n)ycos(x2)(5)yInx(n

12、)y(1)n1(n1)!x有一些常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式n兩個函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)有萊布尼茲公式nu(x)v(x)(n)CnU(k)(x)V(nk)(x)k0其中C：n!k!(nk)!u(0)(x)u(x)，v(0)(x)v(x)假設(shè)u(x)和v(x)都是n階可導(dǎo)xk（k正整數(shù)），求y（n）（n正整數(shù)）解:(n)y(丿k(k0,1)(kn1)xkk,k，求(n)y（n正整數(shù)）解:(xn1)解:解:(xn1xn2x1)(n)y(11i(n)x)(1n!nx)x23x2(n)正整數(shù)）(n)y(n)y(x1)(x2)(x2)2(x(1)(2)(x(11)nn!(x4sinx1)22)3(x2)(n

13、1)cos4x，求2)11(x1)1)(x31)(n1y(n)(n正整數(shù))cos2x、2“1cos2X)22)(12-(22cos22x)4141cos4x44ncos(4x32x(n)xe，求y(n解：用萊布尼茲公式4n1cos(4x-)正整數(shù)）ny(n)c：(x3)(k)(e2x)(nk)x3(e2x)(n)3nx2(e2x)(n1)n(n1)6x(e2x)(n2)n(n1)(n2)6(eV2n3e2x8x312nx26n(n1)xn(n1)(n2)2.2微分中值定理本節(jié)專門討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚毫_爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。注：數(shù)學(xué)三不考泰勒定

14、理，數(shù)學(xué)四不考泰勒定理這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細(xì)。(甲)內(nèi)容要點(diǎn)b、羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f(a)f(b)則存在(a,b)，使得f()0幾何意義：條件(1)說明曲線yf(x)在A(a,f(a)和B(b,f(b)之間是連續(xù)曲線；包括點(diǎn)A和點(diǎn)B。條件(2)說明曲線yf(x)在代B之間是光滑曲線，也即每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B。條件(3)說明曲線yf(x)在端點(diǎn)A和B處縱坐標(biāo)相等。結(jié)論說明曲線yf(x)在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B至少有一點(diǎn)，它的切線平

15、行于x軸。、拉格朗日中值定理b)設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()ba或?qū)懗蒮(b)f(a)f()(ba)(a有時也寫成f(x0x)f(X)f(x0x)x(01)這里x0相當(dāng)a或b都可以，x可正可負(fù)。幾何意義：條件(1)說明曲線yf(x)在點(diǎn)A(a,f(a)和點(diǎn)B(b,f(b)之間包括點(diǎn)A和點(diǎn)B是連續(xù)曲線：條件(2)說明曲線yf(x)不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B是光滑曲線。結(jié)論說明：曲線yf(x)在A，B之間不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B，至少有點(diǎn)，它的切線與割線AB是平行的。推論1若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0,貝U

16、f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2若f(x)和g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)g(x),則在a,b內(nèi)f(x)g(x)C，其中C為一個常數(shù)。(注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當(dāng)f(a)f(b)特殊情形，就是羅爾定理)三、柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足：(1) 在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g(x)0，則存在(a,b)使得g(x)x時，柯西中值定盂需淚b)(注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形理就是拉格朗日中值定理)幾何意義：考慮曲線汕參數(shù)方程y常t兩0珈g自貝冊點(diǎn)A(g(a),f(a)，點(diǎn)B(g(b),f(b)曲線在二上是連續(xù)

17、曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線AB值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。四、泰勒定理(泰勒公式)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)定理1(帶皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f(x)在X。處有n階導(dǎo)數(shù)，則有公式f(x)f(Xo)Xo)f嚴(yán))(XXo)2-卑(xXo)nRn(x)1!2!n!(XXo)其中Rn(x)O(XXo)n(XXo)稱為皮亞諾余項(xiàng)。(Rn(x)o)limno)x冷

18、(xXo)前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)膎,所以對常用的初等函數(shù)如ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)a(為實(shí)常數(shù))等的n階泰勒公式都要熟記。定理2(帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f(x)在包含xo的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n1階導(dǎo)數(shù)，在a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對xa,b，有公式f(X)f(Xo)Xo)Xo)2-嚴(yán)(XXo)nRn(x)1!2!n!其中Rn(x)f(n1)()(nV(XX0)，(在X0與X之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)。上面展開式稱為以x0為中心的n階泰勒公式。x00時，也稱為麥克勞林公式。如果limRn(x)0，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級數(shù)，這

19、在后面無窮級數(shù)中再討論。n(乙)典型例題一、用羅爾定理的有關(guān)方法例1設(shè)f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1.試證：必存在(0,3)，使f()0證：f(x)在0,3上連續(xù)，f(x)在0,2上連續(xù)，且有最大值M和最小值m.于是mf(0)M；mf(1)M；mf(2)M，故1m-f(0)f(1)f(2)M.由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)c0,2使得31f(c)-f(0)f(1)f(2)1，因此f(c)f(3)，且f(x)在c,3上連續(xù)，(c,3)3內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在(c,3)(0,3)使得f()0。1例2設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1

20、)內(nèi)可導(dǎo)，且32f(x)dxf(0)3求證：存在(0,1)使f()02證：由積分中值定理可知，存在c-1，使得3122 f(x)dxf(c)(1-)3 3得到1f(c)32f(x)dxf(0)3對f(x)在0,c上用羅爾定理，(三個條件都滿足)故存在(0,c)(0,1)，使f()0例3設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意k1，有f(1)1k:xe1xf(x)dx,求證存在(0,1)使f()(1171x1c1證：由積分中值定理可知存在c0,使得kxef(x)dxcef(c)(0)k0k)f()令F(x)xe1xf(x)，可知F(1)f(1)1這樣F(1)f(1)k0kxe1xf(x

21、)dxce1cf(c)F(c)，對F(x)在c,1上用羅爾定理(三個條件都滿足)存在(c,1)(0,1)，使F()0而F(x)e1xf(x)xe1xf(x)xe1xf(x)11-F()ef()(1-)f()011又e0，則f()(1)f()在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對f(x)用羅爾定理，否則結(jié)論只是f()0,而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，它與f(x)有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從F()0就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的F(x)是非常關(guān)鍵，下面的模型I,就在這方面提供一些選擇。模型I：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)

22、，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)f(b)0則下列各結(jié)論皆成立。(1) 存在1(a,b)使f(Jlf(1)0(l為實(shí)常數(shù))k1(2) 存在2(a,b)使f(2)k2f(2)0(k為非零常數(shù))(3) 存在3(a,b)使f(3)g(3)f(3)0(g(x)為連續(xù)函數(shù))證：(1)令F(x)elxf(x)，在a,b上用羅爾定理/F(x)lelxf(x)elxf(x)存在1(a,b)使F1lel1f1el1f10消去因子el1，即證.k(2)令F(x)exf(x)，在a,b上用羅爾定理kkF(x)kxk1exf(x)exf(x)kikk存在2(a,b)使F(2)k2k1e2f(2)e2f(2)0消去因子e2，

23、即證。(3)令F(x)eG(x)f(x)，其中G(x)g(x)F(x)g(x)eG(x)f(x)eG(x)f(x)由F(3)0清去因子eG(3)，即證。例4設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)f(1)f()1，試證:(1)存在(2,1)，使f()(2)對任意實(shí)數(shù)，存在(0,)，使得f(f()證明：(1)令(X)f(x)x，0,1上連續(xù)，又1(1)10,(?)20，根據(jù)介值定理，存在(-1,1)使)0即f()(2)令F(x)ex(x)exf(x)x，它在0,上滿足羅爾定理的條件，故存在(0,)，使F()0,即卩eff10從而f()f()1(注：在例4(2)的證明中，相當(dāng)于模型1

24、中(1)的情形，其中I取為，f(x)取為(x)f(x)x)模型n：設(shè)f(x),g(x)在a,b上皆連續(xù)，(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且f(a)0,g(b)0,則存在(a,b)，使f()g()f()g()0證：令F(x)f(x)g(x)，則F(a)F(b)0，顯然F(x)在a,b上滿足羅爾定理的條件，則存在(a,b)，使F()0,即證.求證：存在(0,1)使得f()kf()f()證：令g(x)(x1)k,a0,b1，則f(0)0,g(1)0,用模型n,存在(0,1)使得f()(1)kk(1)k1f()0故f()(1)kf()0貝Uf()kf()f()例5設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0

25、)0,k為正整數(shù)。例6設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)g(x)f(x)g(x),求證f(x)在(a,b)內(nèi)任意兩個零點(diǎn)之間至少有一個g(x)的零點(diǎn)證：反證法：設(shè)a治x2b，f(xj0，f(x2)0而在(xx?)內(nèi)g(x)0，則令F(x)丄兇在xix上用羅爾定理g(x)Qf(xi)f(x?)0,F(xJ0,F(X2)0g(xi)g(x2)(不妨假設(shè)g(xj0,g(X2)0否則結(jié)論已經(jīng)成立)貝U存在(Xi,x2)使F()0，得出f()g()f()g()0與假設(shè)條件矛盾。所以在(x1,x2)內(nèi)g(x)至少有一個零點(diǎn)例7設(shè)f(x),g(x)在a,b二階可導(dǎo)，且g(x)0,又f(a)f

26、(b)g(a)g(b)0求證：(1)在(a,b)內(nèi)g(x)0;(2)存在(ab)使f()f()(a,b)，使g()g()證：(1)用反證法，如果存在c(a,b)使g(c)0,則對g(x)分別在a,c和c,b上用羅爾定理，存在洛(a,c)使g(xj0，存在x?(c,b)使g(x?)0,再對g(x)在xi,X2上用羅爾定理存在X3(Xi,X2)使g(X3)0與假設(shè)條件g(x)0矛盾。所以在(a,b)內(nèi)g(X)0(2)由結(jié)論可知即f()g()f()g()0,因此令F(x)g(x)f(x)g(x)f(x)，可以驗(yàn)證F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)F(b)0滿足羅爾定理的三個條件故存

27、在(a,b)，使F()0于是f()g()f()g()0成立、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1設(shè)f(X)在(,)內(nèi)可導(dǎo),xc且limf(x)e,lim()xlimf(x)f(x1)xxxcx求c的值解：由條件易見，c0(1-)xcXC、xlim()lime2ccexxcX(1亍eX由拉格朗日中值定理，有f(x)f(X1)f()x(X1)f()其中介于(x1)與X之間，那么limf(x)f(x1)limf()eXx()于是e2ce，2c1，則c12例2設(shè)f(x)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)0，又設(shè)M0是f(x)在1，2上的最大值，證明：存在(1,2)，使得|f()2M。

28、證：由周期性可知f(0)f(1)f(2)0,不妨假定X0(1,2)而f(x。)M0，對f(x)分別在1,X。和X0,2上用拉格朗日中值定理，存在1(1,x。)，使得f(J里也血X01(I)存在(0),1)，使得f()1(n)存在(0,1),，使f()f()1(I)令g(x)f(x)x1，則g(x)在0,1上連續(xù),且g(0)g(1)10,用介值定理推論存在(0,1)，使g()0,即f(n)在0,和,1上對f(X)用拉格朗日中值定理，存在得f()f()f(0)1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且例3設(shè)f(X)在0,1f(0)0，f(1)1，證明:(0,)，使0證:10，)1存在2(X0,2)，使得f(2

29、)f(2)f(x)2X0如果Xo(1,|)，則用式，得f(1)f(X0)X12M;如果X03,2)，則用式，得2f(2)f(X。)22M;因此，必有(1,2)，使得f()2MXo存在(,1)，使f()空f)1(1)1例4設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0,若極限limf(2x_a)存在，證明：xaxa(1) 在(a,b)內(nèi)f(x)0；(2) 在(a,b)內(nèi)存在，使b2a22；bf(x)dxf()(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使222bf()(ba)af(x)dxaa證：(1)因?yàn)閘imf(2x_存在，故limf(2xa)0，由f(x)在a,

30、b上Xaxaxa連續(xù)，從而f(a)0.又f(x)0知f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故f(x)f(a)0,x(a,b)2x(2)設(shè)F(x)x,g(x)af(t)dt(axb)，則g(x)f(x)0,故F(x)，g(x)滿足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使F(b)F(a)g(b)g(a)222、ba(x)baxf(t)dtaf(t)dt(af(t)dt)b2a22bf(x)dxf()a(3)因f()f()f()f(a)，在a,上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a,)內(nèi)存在一點(diǎn)，使f()f()(a)，從而由(2)的結(jié)論得即有f()(b2a2、2bf(x)dx.三、泰勒公式(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)

31、二)例1設(shè)f(x)在-1，1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(1)f(1)1，f(0)0.求證:(1,1)，使f()3.f02ffxf0f0x-x證：麥克勞林公式2!其中x1,1，介于0與x之間。3x3!(0)0f(1)f(0)0)守(1)26f(1)(1)babaf(x)dx(2!6f(0)2131ff(0)127f(2)13(021)2!6后式減前式，得f(i)f(2)6-f(X)在!,2上連續(xù)，設(shè)其最大值為M，最小值為m.則m訴(i)f(2)M再由介值定理，2(1,1)1使f()-f(1)f(2)3例2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0,試證：在(a,b)內(nèi)至少存在一

32、點(diǎn)，使|f()14f(b)f(a)(ba)2分析：因所欲證的是不等式，故需估計(jì)f()，由于一階泰勒公式12、f(x)f(X0)f(x)(xX0)2f()(xX0)，(其中在X0,X之間)成立。含有f(),因此應(yīng)該從此入手再由f(a)f(b)0知，應(yīng)在a,豊衛(wèi),七占，b兩個區(qū)間上分別應(yīng)用泰勒公式，以便消去公式中的,f(x)項(xiàng)，同時又能出現(xiàn)(ba)2項(xiàng).證：在a,円與專，b上分別用泰勒公式，便有嚀)abf(a)f(a)(aba)21-f(1)(2!j,a2嚀)f(b)f心b)1d(2)(ba)2a_T),_兩式相減，得If(b)f(a)|181214(ba)2-(|f(J|f(2)|)(ba)2|

33、f(1)f(2)|i(ba)2max|f(J|,|f(2)|.所以至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得f(b)f(a)1f()14|J(ba)2.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（甲）內(nèi)容要點(diǎn)1、判斷函數(shù)的單調(diào)性二函數(shù)的極值1定義設(shè)函數(shù)fx在a,b內(nèi)有定義，x0是a,b內(nèi)的某一點(diǎn)，則如果點(diǎn)Xo存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)xxXo，總有fxfXo，則稱fx0為函數(shù)fx的一個極大值，稱x0為函數(shù)fx的一個極大值點(diǎn)；如果點(diǎn)Xo存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)xxXo，總有fXfxo，則稱fXo為函數(shù)fX的一個極小值，稱Xo為函數(shù)fX的一個極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。2、必要

34、條件（可導(dǎo)情形）設(shè)函數(shù)fX在Xo處可導(dǎo)，且Xo為fX的一個極值點(diǎn)，貝yfXoo我們稱滿足fXoo的Xo為fx的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。3、第一充分條件設(shè)fX在Xo處連續(xù)，在oXXo內(nèi)可導(dǎo)，fX）不存在，或fxo=o1o如果在Xo,Xo內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有fxo，而在Xo,Xo內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有fxo，貝Vfxo為極大值，xo為極大值點(diǎn)；2o女口果在Xo,Xo內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有fX0,而在Xo,Xo內(nèi)的任一點(diǎn)X處，有fXO，貝yfXo為極小值，Xo為極小值點(diǎn)；3O女口果在Xo,Xo內(nèi)與Xo,Xo內(nèi)的任一點(diǎn)X處，fX的

35、符號相同，那么fXo不是極值，Xo不是極值點(diǎn)4、第二充分條件設(shè)函數(shù)fx在X。處有二階導(dǎo)數(shù)，且fX。0,fX)0，則當(dāng)fXo0,fXo為極大值，Xo為極大值點(diǎn)當(dāng)fXo0,fX0為極小值，X0為極小值點(diǎn)三、函數(shù)的最大值和最小值1求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法。首先，求出f(x)在(a,b)內(nèi)所有駐點(diǎn)，和不可導(dǎo)點(diǎn)xi,.,xk。其次計(jì)算f(xj.,f(xQ,f(a),f(b)最后，比較f(x1),.,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M;其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。2最大(小)值的應(yīng)用問題首先要列出應(yīng)用問題中的目標(biāo)函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大(小)值。四、凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸的定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對任意不同的兩點(diǎn)x1,x2,恒有雖)1f(xjf(x2)(f(為1f(Xi)f(X2)，則稱f(x)在I上2222是凸(凹)的2曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。五、漸近線及其求法六、函數(shù)作圖七、曲率(乙)典型例題一、證明不等式例1求證：當(dāng)X0時，(X21)1nx(x1)2證：令f(x)(x21)lnx(x1)2只需證明x0時