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1、第二十四章圓;題型一題型一 利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù) 第二十四章圓例題例題1 1 如圖如圖24-1-4624-1-46所示所示, AB, AB是是OO的直徑的直徑, , 點(diǎn)點(diǎn)C, DC, D在在OO上上, , 且且BC=BD,BOD=65BC=BD,BOD=65. . 求求AA的度數(shù)的度數(shù). .;第二十四章圓分析分析;第二十四章圓解解 如圖如圖24-1-46, 24-1-46, 銜接銜接OCOCBC=BD, BOC=BODBC=BD, BOC=BOD又又BOD=65BOD=65, , BOC=65BOC=65, , A = BOC= A = BOC= 6

2、 5 6 5 =32.5=32.5;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計計算圓心角和圓周角時的本卷須知計算圓心角和圓周角時的本卷須知 在進(jìn)展有關(guān)圓心角與圓周角的計算時在進(jìn)展有關(guān)圓心角與圓周角的計算時, , 應(yīng)適當(dāng)添加輔應(yīng)適當(dāng)添加輔助線助線, , 以方便角度之間的轉(zhuǎn)化以方便角度之間的轉(zhuǎn)化. . 一條弧所對的圓心角只需一條弧所對的圓心角只需一個一個, , 而所對的圓周角有無數(shù)個而所對的圓周角有無數(shù)個, , 它們都相等；一條弦所它們都相等；一條弦所對的圓心角只需一個對的圓心角只需一個, , 但它所對的圓周角卻有無數(shù)個但它所對的圓周角卻有無數(shù)個, , 在在同一條弦的同側(cè)的圓周角相等同一條弦的同側(cè)的圓周角相等,

3、 , 在同一條弦的異側(cè)的兩個在同一條弦的異側(cè)的兩個圓周角互補(bǔ)圓周角互補(bǔ). .;第二十四章圓例題例題2 2 徐州中考徐州中考 如圖如圖24-1-47, AB24-1-47, AB是是OO的直徑的直徑, , 弦弦CDAB, CDAB, 垂足為垂足為E, E, 銜接銜接AC. AC. 假設(shè)假設(shè)CAB=22.5CAB=22.5, CD=8 cm, , CD=8 cm, 那么那么OO的的半徑為半徑為_cm._cm.題型二題型二 利用圓周角定理及其推論求弦長或半徑利用圓周角定理及其推論求弦長或半徑 ;第二十四章圓分析分析;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計求半徑或弦長求半徑或弦長 在知圓周角的情況下在知圓周角的

4、情況下, , 連半徑連半徑, , 將圓心角與圓周角聯(lián)絡(luò)起將圓心角與圓周角聯(lián)絡(luò)起來來, , 使垂徑定理、勾股定理得以運(yùn)用使垂徑定理、勾股定理得以運(yùn)用, , 從而到達(dá)求半徑或弦長從而到達(dá)求半徑或弦長的目的的目的. .;第二十四章圓題型三題型三 運(yùn)用弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系進(jìn)展證明運(yùn)用弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系進(jìn)展證明 例題例題3 3 如圖如圖24-1-48,24-1-48,知知AB, CDAB, CD是是OO的直徑的直徑,DFAB,DFAB交交OO于點(diǎn)于點(diǎn)F, F, BEDCBEDC交交OO于點(diǎn)于點(diǎn)E.E.(1)(1)求證：求證：BE=DFBE=DF；(2)(2)寫出圖中寫出圖中4 4組不同

5、且相等的劣弧組不同且相等的劣弧( (不要求證明不要求證明).).;第二十四章圓解解;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角相圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角相等或倍分關(guān)系的方法等或倍分關(guān)系的方法 在圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角的相等或倍分關(guān)系時在圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角的相等或倍分關(guān)系時, , 應(yīng)從同類型元素應(yīng)從同類型元素( (指弧、弦、角指弧、弦、角) )的相等或倍分關(guān)系入手的相等或倍分關(guān)系入手, , 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關(guān)系為另一種元素的相等或倍分關(guān)系, , 從而得到問題的結(jié)論從而得到問題的結(jié)論;第二十四章圓例題例題4 4 如圖如圖24-1-49, 2

6、4-1-49, 知點(diǎn)知點(diǎn)A, B, CA, B, C在在OO上上, AB, AB為為OO的的直徑直徑, CBA, CBA的平分線交的平分線交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)F, F, 交交OO于點(diǎn)于點(diǎn)D, DEABD, DEAB于于點(diǎn)點(diǎn)E, E, 且交且交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)P, P, 銜接銜接AD.AD.求證：求證：(1)DAC =DBA(1)DAC =DBA；(2)P(2)P是線段是線段AFAF的中點(diǎn)的中點(diǎn). .;第二十四章圓 證明證明 (1)BD (1)BD平分平分CBA,CBA,CBD=DBA.CBD=DBA.DACDAC與與CBDCBD都是弧都是弧CDCD所對的圓周角所對的圓周角, ,DAC=CBD,

7、DAC =DBA.DAC=CBD, DAC =DBA.;第二十四章圓(2)AB(2)AB是是OO的直徑的直徑, ADB=90, ADB=90. .又又DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E, DEB=90E, DEB=90, ,ADE+EDB=ABD+EDB=90ADE+EDB=ABD+EDB=90,ADE=ABD.,ADE=ABD.CBD=ABD, CBD=DAP,ADE=DAP,PD=PA.CBD=ABD, CBD=DAP,ADE=DAP,PD=PA.又又DFA +DAC=ADE +PDF=90DFA +DAC=ADE +PDF=90, ,且且DAC=ADE, DAC=ADE, DFA=PDF,PD=

8、PF.DFA=PDF,PD=PF.又又PD=PA, PA=PF, PD=PA, PA=PF, 即即P P是線段是線段AFAF的中點(diǎn)的中點(diǎn). .;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計證明圓中兩角相等的根本途徑證明圓中兩角相等的根本途徑 (1) (1)利用弧、弦、圓心角、圓周角之間的關(guān)系進(jìn)展證利用弧、弦、圓心角、圓周角之間的關(guān)系進(jìn)展證明；明；(2)(2)引進(jìn)中間量進(jìn)展等量代換；引進(jìn)中間量進(jìn)展等量代換；(3)(3)利用全等三角形進(jìn)利用全等三角形進(jìn)展證明；展證明；(4)(4)利用等邊對等角進(jìn)展證明利用等邊對等角進(jìn)展證明. .;第二十四章圓題型四題型四 圓周角與平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合圓周角與平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合

9、例題例題5 5 如圖如圖24-1-50, 24-1-50, 知知CO, CBCO, CB是是OO的弦的弦, , OO與平面直角坐標(biāo)系的與平面直角坐標(biāo)系的x x軸、軸、y y軸分別交于點(diǎn)軸分別交于點(diǎn)B,A.COB=45B,A.COB=45,OBC=75,OBC=75, , 點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,2), (0,2), 求求OO的直徑的直徑. .;第二十四章圓分析分析;第二十四章圓解解 如圖如圖24-1-50, 24-1-50, 銜接銜接AB.AB.AOB=90AOB=90, ,ABAB是是OO的直徑的直徑. .OAB=C=180OAB=C=180-COB-OBC=-COB-OBC=180

10、180-45-45-75-75=60=60, ,ABO=30ABO=30. .又又點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0, 2), OA=2,(0, 2), OA=2,在在Rt Rt ABOABO中中, AB=2OA=4, AB=2OA=4,即即OO的直徑為的直徑為4.4.;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計在處理圓的有關(guān)問題中的兩種轉(zhuǎn)化在處理圓的有關(guān)問題中的兩種轉(zhuǎn)化 (1) (1)利用同弧或等弧所對的圓周角相等進(jìn)展角與角的利用同弧或等弧所對的圓周角相等進(jìn)展角與角的轉(zhuǎn)化；轉(zhuǎn)化；(2)(2)根據(jù)同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等根據(jù)同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等, , 所對的弦相等所對的弦相等, ,

11、將圓周角相等的問題轉(zhuǎn)化為弧相等或弦將圓周角相等的問題轉(zhuǎn)化為弧相等或弦相等的問題相等的問題. .;第二十四章圓題型五題型五 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用 例題例題6 6 泰州中考泰州中考 如圖如圖24-1-51, 24-1-51, 在在OO的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形ABCDABCD中中, A=115, A=115, , 那么那么BOD=_BOD=_. .130130;第二十四章圓分析分析 四邊形四邊形ABCDABCD是是OO的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形 ,C ,C的度數(shù)是的度數(shù)是BODBOD的度數(shù)的一半的度數(shù)的一半. .A=115A=115, , C=180C=180-A=65-A=65, ,BOD=2C=130BOD=2C=130. .;第二十四章圓錦囊妙計錦囊妙計圓內(nèi)接四邊形中角的圓內(nèi)接四邊形中角的“三種關(guān)系三種關(guān)系 (1) (1)對角互補(bǔ)對角互補(bǔ), , 即假設(shè)四邊形即假設(shè)四邊形ABCDABCD為為OO的內(nèi)接四邊的內(nèi)