圓弧和橢圓弧的繪制

1、222Ryx 圓上的點關(guān)于X軸、Y軸以及x=y,x=-y對稱，只要實現(xiàn)1/8圓的掃描轉(zhuǎn)換就可以利用對稱性得到完整的圓（8對稱點算法，圓心不在原點的處理見教材）。最容易想到的算法如下最容易想到的算法如下： 根據(jù)圓的基本方程，可以沿x軸，x從0到 ，以單位步長計算對應的y值來得到圓周上每點的位置： 該算法每一步均包含浮點乘法和開方運算，且所繪制的像素間間隔不一，隨著x的增加，間隔越來越大。 為了方便起見，可以只考慮中心在原點、半徑為整數(shù)R的圓：2/2R 一種消除不等間距的方法是使用極坐標來計算圓周上的點角度角度DDADDA法產(chǎn)生圓弧法產(chǎn)生圓弧。l算法的要點l1）以角度為參數(shù)，寫出圓弧的參數(shù)方程。l

2、2）按均勻的（角度）間隔，計算出圓弧上點的坐標，用這些點（繪圖時要對坐標值取整）的連線來代替圓弧。l設(shè)以原點為圓心，半徑R，圓弧的起始角ts，終止角te，則參數(shù)方程為l選取適當?shù)慕嵌仍隽縟t，令t以步長dt從ts變到te，l總步數(shù)：n=(te-ts)/dt.lti=ts+dt*i, i=0,1,n.l算出相應的圓弧上的點，畫點(或連成線)即可。l問題： dt的選取tsinRytcosRxdt的一種取法的一種取法l如圖，設(shè)Pi(xi,yi)和Pi1 (xi+1,yi+1)對應的參數(shù)分別為t和t+dt，顯然，l|dx|=xi+1-xi| =r|cos(t+dt)-cost|=r|-sint|dtr

3、dtl同理，|dy|=yi+1-yi| rdtl為使|dx| 1 &dy| 1， 可取dt 1/r.OPiPi+1l和角度DDA法產(chǎn)生圓弧類似l1）以角度為參數(shù)，寫出橢圓弧的參數(shù)方程。l2）按均勻的（角度）間隔，計算出橢圓弧上點的坐標，用這些點（繪圖時要對坐標值取整）的連線來代替橢圓弧。l角度DDA法產(chǎn)生圓弧的算法使用了三角函數(shù)和浮點運算，運算速度依然很慢，與直線繪制算法相似，理想的圓繪制算法也是只需要作一些簡單的整數(shù)和判別運算，常見的有中點畫圓法中點畫圓法的具體算法見教材中點判別法生成橢圓中點判別法生成橢圓 設(shè)橢圓的方程為： 將其化為： F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=01222

4、2byaxxy 由于橢圓的對稱性，我們只討論第1象限橢圓弧的生成。Oab|k|11）算法的要點xyOab|k|1i) |k|1的情況設(shè)當前點為P（xp,yp), 則下一點在兩個候選點S(xp+1,yp)和T (xp+1,yp1)中選擇。 判別規(guī)則: 設(shè)M為S 和T的中點a)若M在橢圓內(nèi)(上方), 則選S;b)否則選T。PTSPTS(a)(b)xyOab|k|1i) |k|1的情況設(shè)當前點為P（xp,yp), 則下一點在兩個候選點S(xp,yp-1)和T (xp+1,yp1)中選擇。 判別規(guī)則: 設(shè)M為S 和T的中點a)若M在橢圓內(nèi)(左側(cè)), 則選T;b)否則選S。PTSPTS(a)(b)2）判

5、別式的計算設(shè)當前點Pi的坐標為(xi,yi)，兩個候選點為S(xi+1,yi)和T(xi+1,yi-1),中點M(xi+1, yi-0.5)，判別式為di=b2(xi+1)2+a2(yi-0.5)2-a2b2 a)若di0（見右上圖）,則下一點Pi+1(xi+1,yi+1)應該選S (xi+1,yi),di+1=b2(xi+1+1)2+a2(yi+1-0.5)2-a2b2 = b2(xi+2)2+a2(yi-0.5)2-a2b2PTS先討論先討論k di+1- di= b2(2 xi+3) b)若di0,則Pi+1(xi+1,yi+1)應該選T (xi+1,yi-1),di+1=b2(xi+1

6、+1)2+a2(yi+1-0.5)2-a2b2 = b2(xi+2)2+a2(yi-1.5)2-a2b2 =di+1- di= b2(2 xi+3)-a2(2 yi-2)PTS3) 判別式的初值 由于橢圓弧的起點P(0,b), 因此，點M(1,b-0.5), 判別式 d0=F(1,b-0.5) =b2+a2(b-0.5)2-a2b2 =b2+a2(-b+0.25)PM橢圓方程橢圓方程: F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=04) 由上半部分轉(zhuǎn)入下半部分的判斷橢圓方程橢圓方程: F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0yaxbyyyaxb2222022方法1：b2xa2y？方法2：求出橢圓上 的點1 y),(yxx x設(shè)P（xi,yi)，則M(xi+0.5,yi-1),判別式：Di=F(xi+0.5,yi-1),a） 若Di0,則下一點選S（ xi,yi-