多元統(tǒng)計(jì)分析期末試題及答案

1、1、設(shè)XN(P,Z),其中X二(x,x),P=(P,P),221212則Cov(x+x,x121-x)=2r1<pp'1丿2、設(shè)XiN(卩,Z),i=I,.。，則W3服從3、設(shè)隨機(jī)向量X=(xx12x)',且協(xié)方差矩陣3-49-23、-216J則它的相關(guān)矩陣R=X的共性方差h2二11X的方差c1,1112、_33r0.9340r0.934-0.4170.835、r0.128'10=-0.4170.894,00.8940.447丿+0.027j0.8350.447丿丿j0.103丿01丿4、設(shè)X二(xxx)的相關(guān)系數(shù)矩陣通過(guò)因子分析分解為123rr11_323試判斷

2、x+2x與13rx-x、23是否獨(dú)立？公因子f對(duì)X的貢獻(xiàn)g2=115、設(shè)X,i=1,16是來(lái)自多元正態(tài)總體N(P,Z),X和A分別為正態(tài)總體N(P,Z)iP_P的樣本均值和樣本離差矩陣，則T2=154(X-P)丫A-14(X-P)。r16-42、1、設(shè)X二(x,x,x)N(P,Z),其中P=(1,0,-2)；Z=-44-112332、對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量，得相關(guān)數(shù)據(jù)如下,根據(jù)以往資料,該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個(gè)指標(biāo)的均值卩=(90,58,16)；現(xiàn)欲在多元正態(tài)性的假定下檢驗(yàn)該地區(qū)農(nóng)村男嬰是0否與城市男嬰有相同的均值。r82.0、r4.3107-14.62

3、108.9464、其中X=60.2,(5S)-1=(115.6924)-114.62103.17237.3760J4.5丿、8.9464-37.376035.5936丿(a=0.01,F(3,2)=99.2,F(3,3)=29.5,F(3,4)=16.7)0.010.010.01(2、r4、r11、3、設(shè)已知有兩正態(tài)總體G與G,且卩=121<6丿,P=2<2丿，工=工=S=12J9/而其先驗(yàn)概率分別為q=q=0.5,誤判的代價(jià)C(2|1)=e4,C(1|2)=e；試用Bayes判別法確定樣本X=r3、<5丿屬于哪一個(gè)總體？r1PPP、4、設(shè)X=(X,X,X,X)tN(0,幼，

4、協(xié)方差陣丫=P1Pp,0<P<112344PP1pIpPP1丿(1) 試從工出發(fā)求X的第一總體主成分；(2) 試問(wèn)當(dāng)取多大時(shí)才能使第一主成分的貢獻(xiàn)率達(dá)95以上,且其協(xié)方差陣5、設(shè)X=(X,X)t,Y=(Y,X)t為標(biāo)準(zhǔn)化向量,1212(100000工11工21工12工22010.95000.9510求其第一對(duì)典型相關(guān)變量和它們的典型相關(guān)系數(shù)？1、設(shè)隨機(jī)向量X的均值向量、協(xié)方差矩陣分別為小E,試證：E(XX')二Y+呼。2、設(shè)隨機(jī)向量XN(卩,E),又設(shè)Y=AX+b,Prxprx1試證：YN(Ap+b,AEA')Or1、02、W(10,E)3、3(121、一34R二2

5、11一3一6111l4一6丿4、0.87211.7435、T2(15,戸)或(15p/(16p)F(p,np)、23,y2(x一x1、令y1y1y2x+2x,則131-1、(x、100x202丿lx丿311(01、(2、0=12丿l-3丿-1Y(y、(01-01、f16-42、(01-1、V1=100I-44-1II100ly2丿l102丿l2-14丿Il102丿100丿102y1y2(10-6-16、=-61620、-162040丿(2、故y,y_的聯(lián)合分布為N_(1,-6l-1612l-3丿-6-16、1620)2040丿(10故不獨(dú)立。2、假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：H:卩=卩，H:卩北卩0經(jīng)計(jì)算可得

6、：X-卩=0S-1=(23.13848)-100"-8.0'2.2,J-1*5丿"4.310714.6210.8.946414.62103.17237.37608.9464、37.376035.5936丿構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：T2二n（X-卩）S-1（X-卩）00二6x70.0741二420.445由題目已知F（3,3）二29.5,由是0.013x5T2二F（3,3）二147.50.0130.01所以在顯著性水平a=0.01下，拒絕原設(shè)H0即認(rèn)為農(nóng)村和城市的2周歲男嬰上述三個(gè)指標(biāo)的均值有顯著性差異3、由Bayes判別知(31"911"41"2

7、1,Z-1二-,（口一口）二J4丿8J11丿12J丿J2丿J4丿=exp(x一圧)tZ1(卩一卩)沁exp(4x+2x+4)12)=exp(2)<d=e312W(x)=4f(x)21其中，n=(卩+卩)=212九一14、(1)由-P-P-P-P九一1-P-P-P-P九一1-P-P-P-P九一1=0得特征根為九=1+3p,1九=九=九=1P234(k-1-P-P-P-Pk-1-P-P-P-Pk-1-P1-P-P-Pk-1解九所對(duì)應(yīng)的方程1得1所對(duì)應(yīng)的單位特征向量為&1x2X3X丿4111故得第一主成分Z=1X+丄X+1X2122(2)第一個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率為九1+3pT廠二n95%入

8、+入+入+入41234得pn0.95；4-1沁0.933+-X324-(0.10、-(10、5、由題得工2=,工211101J22、00.1丿-TTt=工_2工工-1工工_21112222111(0.10、(00、(10、(00.95、(0.10、(00、101J110.950J1100.01J1100J1101J1100.9025J求TTt的特征值，得0=:=九20.9025九0.9025九n九2=0.9025,九2=0nk=0.95121ttT的單位正交化特征向量-(0.10、(0、(0、a=工-2e=1101J111J111J1111(00)100.9025Je1二0.902叫P=九t工

9、t工a11222111(10)(00.95100.1J100.950(1V=X,W=0.54Y1211為第一典型相關(guān)變量，且p(V,W)=0.95為一對(duì)典型相關(guān)系數(shù)。11-EX)1、證明：S=V(X)二E(X-EX)(X二E(XXJ-(EX)(EXy二E(XX')-中'故E(XX')=+中，2、證明：由題可知Y服從正態(tài)分布，E(Y)=E(AX+b)=AE(X)+b=Ap+bV(Y)=V(AX+b)=AV(X)A=ASA'故YN(Ap+b,ASA')。一、填空題：1、多元統(tǒng)計(jì)分析是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)研究解決多指標(biāo)問(wèn)題的理論和方法2、回歸參數(shù)顯著性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)

10、解釋變量對(duì)被解釋變量的影響是否著3、聚類(lèi)分析就是分析如何對(duì)樣品（或變量）進(jìn)行量化分類(lèi)的問(wèn)題。通常聚類(lèi)分析分為Q型聚類(lèi)和R型聚類(lèi)。4、相應(yīng)分析的主要目的是尋求列聯(lián)表行因素A和列因素B的基本分析特征和它們的最優(yōu)聯(lián)立表示。5、因子分析把每個(gè)原始變量分解為兩部分因素：一部分為公共因直，另一部分為J特殊因6、若xN（卩,2）,a=1,2,3-n且相互獨(dú)立，則樣本均值向量x服從的分布為©）p_xN（u,/n）_。、簡(jiǎn)答1、簡(jiǎn)述典型變量與典型相關(guān)系數(shù)的概念，并說(shuō)明典型相關(guān)分析的基本思想。在每組變量中找出變量的線性組合，使得兩組的線性組合之間具有最大的相關(guān)系數(shù)。選取和最初挑選的這對(duì)線性組合不相關(guān)的線

11、性組合，使其配對(duì)，并選取相關(guān)系數(shù)最大的一對(duì)，如此下去直到兩組之間的相關(guān)性被提取完畢為止。被選出的線性組合配對(duì)稱(chēng)為典型變量，它們的相關(guān)系數(shù)稱(chēng)為典型相關(guān)系數(shù)。2、簡(jiǎn)述相應(yīng)分析的基本思想。相應(yīng)分析，是指對(duì)兩個(gè)定性變量的多種水平進(jìn)行分析。設(shè)有兩組因素和B,其中因素A包含r個(gè)水平，因素B包含c個(gè)水平。對(duì)這兩組因素作隨機(jī)抽樣調(diào)查,得到一個(gè)rc的二維列聯(lián)表，記為。要尋求列聯(lián)表列因詡和行因素B的基本分析特征和最優(yōu)列聯(lián)表示。相應(yīng)分析即是通過(guò)列聯(lián)表的轉(zhuǎn)換，使得因A素和因素B具有對(duì)等性，從而用相同的因子軸同時(shí)描述兩個(gè)因素各個(gè)水平的情況。把兩個(gè)因素的各個(gè)水平的狀況同時(shí)反映到具有相同坐標(biāo)軸的因子平面上，從而得到因素A、

12、B的聯(lián)系。3、簡(jiǎn)述費(fèi)希爾判別法的基本思想。從k個(gè)總體中抽取具有p個(gè)指標(biāo)的樣品觀測(cè)數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個(gè)線性判別函數(shù)系數(shù)：確定的原則是使得總體之間區(qū)別最大，而使每個(gè)總體內(nèi)部的離差最小。將新樣品的P個(gè)指標(biāo)值代入線性判別函數(shù)式中求出直，然后根據(jù)判別一定的規(guī)則，就可以判別新的樣品屬于哪個(gè)總體。5、簡(jiǎn)述多元統(tǒng)計(jì)分析中協(xié)差陣檢驗(yàn)的步驟第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)和H1；第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布；第三，給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否定域；第四，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看是否落入否定域中，以便對(duì)待判假設(shè)做出決策（拒絕或接受。）協(xié)差陣的檢驗(yàn)檢驗(yàn)£=

13、£0H:£=I0p=exp<-trS2n/2Anp/2H:£=£豐I00p檢驗(yàn)£=£=£H:£12k01=exp<-trS*>S*2n/2廠eAnp/2<n丿統(tǒng)計(jì)量九=nnp/2kFI|sih/2sinpni/2ii=16、在進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)分析時(shí)，不同的類(lèi)間距離計(jì)算方法有何區(qū)別？請(qǐng)舉例說(shuō)明。設(shè)d表示樣品X與X之間距離，用D表示類(lèi)G與G之間的距離。（1）最短距離法jiJ1jD=mindjX.eG,X,eGjiijjD=mind=minD,DkrXeG,XeGijkpkqikjr2）最長(zhǎng)距離法D=

14、maxdpqXeG,XeGijipjqD=maxd=maxD,DkrXeG,XeGijkpkqikjr3）中間距離法D2=D2+D2+pD2kr2kp2kqpq其中-一=注/(4)重心法=丄(nX+nX)nppD2=(X-X)(X-X)pqpqpqnnnnD2二亠D2+_qD2-pqD2krnkpnkqpq(5)類(lèi)平均法D2=-LpqnnD2krpqX-叫Xj巴(6)可變類(lèi)平均法nnkrXieGkXj尹d2ijnn=pD2+qD2nkprnkqrcnD2=(1-0)(D2+krnrkpnkqpq其中0是可變的邱1(7)可變法10D2=(D2+D2)+0D2kr2kpkqpq其中0是可變的邱1(8)離差平方和法St-X)f(X-X)ittittt=1nrn+nn+nnD2=kpD2+kqD2kD2krn+nkpn+nkqn+npqrkrkrk7、比較主成分分析與因子分析的異同點(diǎn)。相同點(diǎn)：兩種分析方法都是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。兩種分析的求解過(guò)程是類(lèi)似的，都是從一個(gè)協(xié)方差陣出發(fā)，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以說(shuō)是主成分分析的姐妹篇，將主成分分析向前推進(jìn)一步便導(dǎo)致因子分析。因子分析也可以說(shuō)成是主成分分析的逆問(wèn)題。如果說(shuō)主成分分析是將原指標(biāo)綜合、歸納，那么因子分析可以說(shuō)是將原指標(biāo)給予分解、演繹。主要區(qū)別是：主成分分析本質(zhì)上是一種線性變換