山東萊蕪一中新《回歸分析基本思想及其初步應(yīng)用》

1、其初步應(yīng)用其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及回歸分析的基本思想及1.3統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例第三章第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)v通過(guò)典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.v學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：通過(guò)探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中尋找更好的模型的方法，了解可用殘差分析的方法，比較兩種模型的擬合效果.v學(xué)習(xí)難點(diǎn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過(guò)比較相關(guān)指數(shù)對(duì)不同的模型進(jìn)行比較.行預(yù)報(bào)并用回歸直線方程進(jìn),直線方程求回歸,點(diǎn)圖其步驟為畫(huà)散,進(jìn)行了研究的方法系的變量利用回歸分析性相關(guān)關(guān)我們對(duì)兩個(gè)具有線,中3數(shù)學(xué)在.方法

2、析的一種常用分系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)是對(duì)具有相關(guān)關(guān))(析回歸分.定性關(guān)系而相關(guān)關(guān)系是一種非確,性關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定,我們知道analysisregression:,y,x,y,x,y,xnn2211二乘估計(jì)公式分別為二乘估計(jì)公式分別為截距和斜率的最小截距和斜率的最小我們知道其回歸方程的我們知道其回歸方程的關(guān)系的數(shù)據(jù)關(guān)系的數(shù)據(jù)對(duì)于一組具有線性相關(guān)對(duì)于一組具有線性相關(guān)探究探究 2xbya 1,121niiniiixxyyxxb?.y, x.yy,xn1xn1iin1ii公公式式嗎嗎你你能能推推導(dǎo)導(dǎo)出出這這兩兩個(gè)個(gè)計(jì)計(jì)算算稱稱為為其其中中樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn)的中心中心.心回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中 yx目的：

3、使各樣本點(diǎn)與這條直線的距離設(shè)回歸方程為，越接近越好！(xi,yi )iiyx., xy, Qba ,n1i2ii的值取最小值時(shí)分別是使和斜率截距從已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)知道 n1i2iixyxyxy, Q由于2n1iii2iixyxyxyxy2xyxy,xynxyxyxy2xyxy2n1iiin1i2iixyxyxyn1iii注意到n1iiixyxyxyn1in1iiixynxyxy, 0 xynxnynxy2n1i2iixynxyxy, Q所以2n1i2iin1in1ii2i2xynyyyyxx2xx2n1i2in1iiin1i2i2xxyyxxxxxyn.yyxxyyxxn1i2in1i2i2n1

4、iii即有均為當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值取最小值因此要使數(shù)而前兩項(xiàng)為非負(fù)無(wú)關(guān)后兩項(xiàng)和在上式中, 0,Q, ,.xy,xxyyxxn1i2in1iii.公式這正是我們所要推導(dǎo)的.,基本思想及其應(yīng)用基本思想及其應(yīng)用進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的下面我們通過(guò)案例下面我們通過(guò)案例.13,81所示所示重?cái)?shù)據(jù)如表重?cái)?shù)據(jù)如表其身高和體其身高和體名女大學(xué)生名女大學(xué)生從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取例例5943616454505748kg/170155165175170157165165cm/87654321體重體重身高身高編號(hào)編號(hào).cm172,的女大學(xué)生的體重的女大學(xué)生的體重并預(yù)報(bào)一名身高為并預(yù)報(bào)一名身

5、高為歸方程歸方程身高預(yù)報(bào)她的體重的回身高預(yù)報(bào)她的體重的回求根據(jù)一名女大學(xué)生的求根據(jù)一名女大學(xué)生的: ) 11.3(.y,x,圖圖作散點(diǎn)體重為因變量真實(shí)取身高為自變量因此選據(jù)身高預(yù)報(bào)體重由于問(wèn)題中要求根解11.3圖圖xy.,11.3畫(huà)它們之間的關(guān)系刻性回歸方程以用線因此可線性相關(guān)關(guān)系較好的重有比高和體身樣本點(diǎn)呈條狀分布中可以看出從圖 12 ,85.712,0.849.0.84985.712.abyx 根據(jù)探究中的公式和可以得到于是得到回歸方程.kg316.60712.85172849.0y,cm172,預(yù)報(bào)其體重為由回歸方程可以的女大學(xué)生對(duì)身高為所以11.3圖圖xy?嗎316.60是女大學(xué)生的體

6、重一定的172身高探究kgcm.21.3.kg316.60kg316.60cm172,位置說(shuō)明了這一點(diǎn)本點(diǎn)和回歸直線的相互中的樣圖以認(rèn)為她的體重接近于但一般可是大學(xué)生的體重不一定的女身高顯然21.3圖圖 3, eabxy:,回歸模型來(lái)表示可用下面的線性所以身高和體重的關(guān)系線的附近而只是散布在某一條直線由于所有的樣本點(diǎn)不共.y,x,yx,exy,稱為預(yù)報(bào)變量稱為預(yù)報(bào)變量把把稱為解釋變量稱為解釋變量因此我們把因此我們把的變化的變化只能解釋部分只能解釋部分即即共同確定共同確定素素和隨機(jī)因和隨機(jī)因的值由的值由在回歸模型中在回歸模型中與函數(shù)關(guān)系不同與函數(shù)關(guān)系不同 2,.,0,0.:abeybxaeE e

7、D e這里 和 為模型的未知參數(shù) 是 與y之間的誤差通常 為隨機(jī)變量 稱為 它的均值方差這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 .eD, 0eE,eabxy2 4 24,.eybxay在線性回歸模型中 隨機(jī)誤差 的方差越小通過(guò)回歸直線預(yù)報(bào)真實(shí)值 的精度越高隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào).,yy 取決于隨機(jī)誤差的方差取決于隨機(jī)誤差的方差其大小其大小之間的誤差的原因之一之間的誤差的原因之一與真實(shí)值與真實(shí)值值值 .yy ,ba,ba 21,另一個(gè)原因另一個(gè)原因之間誤差的之間誤差的與真實(shí)值與真實(shí)值這種誤差是引起預(yù)報(bào)值這種誤差是引起預(yù)報(bào)值之間也存在誤差之間也存在誤差和和它們與真實(shí)值它們與真實(shí)值的估計(jì)值的估計(jì)

8、值為截距和斜率為截距和斜率和和中中和和由于公式由于公式另一方面另一方面?e的原因是什么的原因是什么產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)思考思考.e.,.,的產(chǎn)生的產(chǎn)生差項(xiàng)差項(xiàng)誤誤機(jī)機(jī)隨隨所有這些因素都會(huì)導(dǎo)致所有這些因素都會(huì)導(dǎo)致是一種近似的模型是一種近似的模型型往往只型往往只我們選用的線性模我們選用的線性模另外另外動(dòng)、度量誤差等動(dòng)、度量誤差等食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)例如飲例如飲許多其他因素的影響許多其他因素的影響還受還受身高的影響外身高的影響外一個(gè)人的體重值除了受一個(gè)人的體重值除了受實(shí)際上實(shí)際上,?ey探究 在線性回歸模型中 是用y預(yù)報(bào)真實(shí)值 的誤差 它是一個(gè)不可觀測(cè)的量 那么應(yīng)該怎樣研究隨

9、機(jī)誤差 如何衡量預(yù)報(bào)的精度., 0,.,2隨機(jī)誤差的大小隨機(jī)誤差的大小來(lái)衡量來(lái)衡量因此可以用方差因此可以用方差而隨機(jī)誤差的均值為而隨機(jī)誤差的均值為于均值程度的數(shù)字特征于均值程度的數(shù)字特征差是反映隨機(jī)變量集中差是反映隨機(jī)變量集中方方平均水平的數(shù)字特征平均水平的數(shù)字特征值是反映隨機(jī)變量取值值是反映隨機(jī)變量取值均均畫(huà)它的一些總體特征畫(huà)它的一些總體特征機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)刻機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)刻因此可以通過(guò)這個(gè)隨因此可以通過(guò)這個(gè)隨量量因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變 .e,y,ye43?e.,2的樣本的樣本變量變量因此也就無(wú)法得到隨機(jī)因此也就無(wú)法得到隨機(jī)分離出來(lái)分離出來(lái)中中我們無(wú)法精確地把它從我們

10、無(wú)法精確地把它從中中隱含在預(yù)報(bào)變量隱含在預(yù)報(bào)變量中的中的或或由于模型由于模型的樣本呢的樣本呢到隨機(jī)變量到隨機(jī)變量如何得如何得來(lái)估計(jì)總體方差來(lái)估計(jì)總體方差的想法是通過(guò)樣本方差的想法是通過(guò)樣本方差一個(gè)自然一個(gè)自然的值的值需要估計(jì)需要估計(jì)為了衡量預(yù)報(bào)的精度為了衡量預(yù)報(bào)的精度 , a xby ,21.2歸方程可以建立回和公式根據(jù)截距和斜率的估計(jì)樣本的估計(jì)值來(lái)估計(jì)解決問(wèn)題的途徑是通過(guò) .ey ye , yye.y5y 的估計(jì)量是所以由于隨機(jī)誤差的估計(jì)值中是因此. n, 2 , 1i , abxyyye,y,x,y,x,y,xiiiiinn2211 相應(yīng)它們的隨機(jī)誤差為相應(yīng)它們的隨機(jī)誤差為而言而言對(duì)于樣本

11、點(diǎn)對(duì)于樣本點(diǎn), n, 2 , 1i , a xbyy ye iiiii 其估計(jì)值為其估計(jì)值為,().iiiexyr e s id u a l稱 為 相 應(yīng) 于 點(diǎn)的殘 差.23相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)重的原始數(shù)據(jù)以及重的原始數(shù)據(jù)以及列出女大學(xué)生身高和體列出女大學(xué)生身高和體表表 382.0883.2627.6137.1618.4419.2627.2373.6e 5943616454505748kg/170155165175170157165165cm/87654321殘差殘差體重體重身高身高編號(hào)編號(hào)編號(hào)編號(hào)殘差殘差31.3圖圖.31.3.,.殘殘差差圖圖坐坐標(biāo)標(biāo)的的樣樣本本編編號(hào)號(hào)為為橫橫是

12、是以以圖圖這這樣樣作作出出的的圖圖形形為為等等或或體體重重估估計(jì)計(jì)值值高高數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)或或身身可可選選為為樣樣本本編編號(hào)號(hào)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)為為殘殘差差作作圖圖時(shí)時(shí)分分析析殘殘差差特特性性我我們們可可以以利利用用圖圖形形來(lái)來(lái)殘差圖殘差圖編號(hào)編號(hào)殘差殘差31.3圖圖.,.,;,.,61,31.3越高越高回歸方程的預(yù)報(bào)精確度回歸方程的預(yù)報(bào)精確度擬合精度越高擬合精度越高說(shuō)明模型說(shuō)明模型區(qū)域的寬度越窄區(qū)域的寬度越窄均勻地落在水平的帶狀均勻地落在水平的帶狀殘差點(diǎn)比較殘差點(diǎn)比較另外另外則需要尋找其他的原因則需要尋找其他的原因沒(méi)有錯(cuò)誤沒(méi)有錯(cuò)誤如果數(shù)據(jù)采集如果數(shù)據(jù)采集合數(shù)據(jù)合數(shù)據(jù)歸模型擬歸模型擬性回性回利用

13、線利用線然后再重新然后再重新予以糾正予以糾正就就果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤如如是否有人為的錯(cuò)誤是否有人為的錯(cuò)誤點(diǎn)的過(guò)程中點(diǎn)的過(guò)程中兩個(gè)樣本兩個(gè)樣本需要確認(rèn)在采集這需要確認(rèn)在采集這大大個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較個(gè)樣本點(diǎn)和第個(gè)樣本點(diǎn)和第第第出出中可以看中可以看從圖從圖.yyy y1R:,R,n1i2in1i2ii22其其計(jì)計(jì)算算公公式式是是來(lái)來(lái)刻刻畫(huà)畫(huà)回回歸歸的的效效果果我我們們還還可可以以用用相相關(guān)關(guān)指指數(shù)數(shù)另另外外.rR,2的平方的平方系數(shù)系數(shù)恰好等于相關(guān)恰好等于相關(guān)線性模型中線性模型中在含有一個(gè)解釋變量的在含有一個(gè)解釋變量的如果對(duì)某組數(shù)據(jù)如果對(duì)某組數(shù)據(jù)關(guān)性越強(qiáng)關(guān)性越強(qiáng)量和預(yù)報(bào)

14、變量的線性相量和預(yù)報(bào)變量的線性相表示解釋變表示解釋變?cè)浇咏谠浇咏谝驗(yàn)橐驗(yàn)楸硎净貧w的效果越好表示回歸的效果越好接近于接近于越越化的貢獻(xiàn)率化的貢獻(xiàn)率釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變表示解表示解在線性回歸模型中在線性回歸模型中模型的擬合效果越好模型的擬合效果越好也就是說(shuō)也就是說(shuō)意味著殘差平方和越小意味著殘差平方和越小取值越大取值越大顯然顯然. ), 1R(, 1R.R,.,R,2222.R,R,22據(jù)的模型據(jù)的模型大的模型作為這組數(shù)大的模型作為這組數(shù)選擇選擇可以通過(guò)比較幾個(gè)可以通過(guò)比較幾個(gè)也也回歸分析回歸分析種不同的回歸方程進(jìn)行種不同的回歸方程進(jìn)行取幾取幾可能性采可能性采.%64, %6

15、4,64.0R,12高引起的高引起的是由身是由身女大學(xué)生體重差異有女大學(xué)生體重差異有或者說(shuō)或者說(shuō)體重變化體重變化的的女大學(xué)生身高解釋了女大學(xué)生身高解釋了表明表明中中在例在例:,需要注意下列問(wèn)題用身高預(yù)報(bào)體重時(shí).,.,.1系木的高與直徑之間的關(guān)描述北方干旱地區(qū)的樹(shù)方程的高與直徑之間的回歸在南方多雨地區(qū)的樹(shù)木不能用生長(zhǎng)同樣之間的關(guān)系女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重描述和體重之間的回歸方程不能用女大學(xué)生的身高例如所研究的樣本的總體回歸方程只適用于我們.,8020,.2之間的關(guān)系描述現(xiàn)在的身高和體重方程建立的回歸年代的身高體重?cái)?shù)據(jù)所世紀(jì)能用不例如一般都有時(shí)間性我們所建立的回歸方程.),ycm70 x,cm170,

16、cm155x,(,.3顯然不合適值時(shí)的程計(jì)算而用這個(gè)方的樣本的取值范圍為解釋變量即在回歸方程中重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)幼兒時(shí)期的身高和體那么用它來(lái)描述一個(gè)人立的建大學(xué)生身高和體重?cái)?shù)據(jù)我們的回歸方程是由女例如歸方程的適用范圍樣本取值范圍會(huì)影響回.,.4值的平均值它是預(yù)報(bào)變量的可能取事實(shí)上精確值的的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量不能期望回歸方程得到:,驟為驟為建立回歸模型的基本步建立回歸模型的基本步一般地一般地 ;,1量量是是預(yù)預(yù)報(bào)報(bào)變變量量哪哪個(gè)個(gè)變變量量明明確確哪哪個(gè)個(gè)變變量量是是解解釋釋變變確確定定研研究究對(duì)對(duì)象象 ;,2如如是是否否存存在在線線性性關(guān)關(guān)系系等等觀觀察察它它們們之之間間的的關(guān)關(guān)系系散散點(diǎn)點(diǎn)圖

17、圖釋釋主主變變量量和和預(yù)預(yù)報(bào)報(bào)變變量量的的畫(huà)畫(huà)出出確確定定好好的的解解 );abxy,(3則則選選用用線線性性回回歸歸方方程程線線性性關(guān)關(guān)系系如如我我們們觀觀察察到到數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)呈呈型型由由經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)確確定定回回歸歸方方程程類類 );(4乘乘法法如如最最小小二二程程中中的的參參數(shù)數(shù)按按一一定定規(guī)規(guī)則則估估計(jì)計(jì)回回歸歸方方 .,),(5或模型是否合適等或模型是否合適等則檢查數(shù)據(jù)是否有誤則檢查數(shù)據(jù)是否有誤在異常在異常若存若存律性等等律性等等或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)應(yīng)殘差過(guò)大應(yīng)殘差過(guò)大個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)是否有異常是否有異常得出結(jié)果后分析殘差圖得出結(jié)果后分析殘差圖.xy,337.xy2之間

18、的回歸方程之間的回歸方程與與試建立試建立中中觀察數(shù)據(jù)列于表觀察數(shù)據(jù)列于表組組現(xiàn)收集了現(xiàn)收集了有關(guān)有關(guān)和溫度和溫度一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)例例33表表325115662421117/y35322927252321C/0個(gè)個(gè)產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)溫度溫度41.3圖圖溫溫度度產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù).41.3據(jù)作散點(diǎn)圖根據(jù)收集的數(shù)解所以不能相關(guān)關(guān)系線性個(gè)變量不呈線因此兩帶狀區(qū)域內(nèi)某個(gè)布在有分并沒(méi)樣本點(diǎn)在散點(diǎn)圖中,.cc,ecy,.21xc12是待定參數(shù)和其中的周圍指數(shù)函數(shù)曲線某一條可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)系立兩個(gè)變量之間的關(guān)建來(lái)直接利用線性回歸方程 .xy,.)cb,clna(abxz, yln

19、z.cc,2121了間的非線性回歸方程之和型來(lái)建立就可以利用線性回歸模這樣的周圍直線換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在則變令系變?yōu)榫€性關(guān)過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系我們可以通和參數(shù)問(wèn)題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定現(xiàn)在 .,abxy線性回歸方程線性回歸方程我們稱之為非我們稱之為非時(shí)時(shí)當(dāng)回歸方程不是形如當(dāng)回歸方程不是形如圖的樣本數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)可以得到變換后由表, 4333.,51.3.4351.3用線性回歸方程來(lái)擬合因此可以一條直線的附近變換后的樣本點(diǎn)分布在看出中可以從圖中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖給出了表784.5745.4190.4178.3045.3398.2946.1z35322927252321x43 表產(chǎn)卵數(shù)的對(duì)數(shù)溫度51.3圖圖.8

20、43.3x272.0z 43到線性回歸方程中的數(shù)據(jù)得由表回歸方程為數(shù)對(duì)溫度的非線性因此紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵 10.2723.8435xye.xy,ty,xt,.cc,cxcy41.3,243423非線性回歸方程之間的與從而得到之間的線性回歸方程與立然后建即令變換因此可以對(duì)溫度變量做數(shù)為待定參和其中的附近次曲線中樣本點(diǎn)集中在某二可以認(rèn)為圖另一方面.61.3,53是相應(yīng)的散點(diǎn)圖圖應(yīng)的溫度的平方是紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)表325115662421117y12251024841729625529441t53表.xycxcy,ty,61.3423下面介紹具體方法下面介紹具體方法到到還可以通過(guò)殘差分析得還可以通過(guò)殘差分

21、析得這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論之間的關(guān)系之間的關(guān)系與與來(lái)擬合來(lái)擬合二次曲線二次曲線即不宜用即不宜用合它合它回歸方程來(lái)擬回歸方程來(lái)擬此不宜用線性此不宜用線性因因直線的周圍直線的周圍不分布在一條不分布在一條的散點(diǎn)圖并的散點(diǎn)圖并與與可以看出可以看出中中從圖從圖溫度的平方數(shù)卵產(chǎn)61.3圖圖中用線性回歸模型擬合表的二次回歸方程關(guān)于下面建立的指數(shù)回歸方程關(guān)于前面已經(jīng)建立了方程歸需要建立兩個(gè)相應(yīng)的回殘差為比較兩個(gè)不同模型的52.xy,xy., 222,0.367202.54,0.367202.54.6ytytyxyx的數(shù)據(jù) 得到關(guān)于的線性回歸方程即關(guān)于的二次回歸方程為 的殘差計(jì)算公式分別為和則回歸方程列的數(shù)據(jù)行第第表示表用的擬合效