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1、行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有:(1)證兩組對(duì)邊分別平行;(2)證兩組對(duì)邊分別相等;(3)證一組對(duì)邊平行且相等;(4)證對(duì)角線互相平分;(5)證兩組對(duì)角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說(shuō)明如何證明四邊形是平行四邊形。一、兩組對(duì)邊分別平行如圖1,已知ABC是等邊三角形,DE分別在邊BCAC上,且CD=CE連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE連結(jié)AFBE和CF1請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形,并加以證明;判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說(shuō)明理由。解:(1)選證BDEAFEC證明:ABC是等邊三角形,BC=ACZACD=60vCD=CE二BD=AEAEDC是等邊三角形DE=ECZCDEMD
2、EC=60/BDEMFEC=120又vEF=AE二BD=FEBDEAFEC(2)四邊形ABDF是平行四邊形理由:由(1)知,ABCEDCAEF都是等邊三角形vZCDEMABCMEFA=60AB/DF,BD/AFv四邊形ABDF是平行四邊形點(diǎn)評(píng):當(dāng)四邊形兩組對(duì)邊分別被第三邊所截,易證截得的同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角相等時(shí),可證四邊形的兩組對(duì)邊分別平行,從而四邊形是平行四邊形。二、一組對(duì)邊平行且相等例2已知:如圖2,在正方形ABC沖,G是CD上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到E,使CE=CG連結(jié)BG并延長(zhǎng)交DE于F求證:BCQADCE將厶DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE,判斷四邊形EBGD是
3、什么特殊四邊形并說(shuō)明理由。分析:(2)由于ABCD1正方形,所以有AB/DC又通過(guò)旋轉(zhuǎn)CE=AE已知CE=CG所以EA=CG這樣就有BE=GD可證EBGD是平行四邊形。解:(1)vABCD是正方形,/BCDMDCE=90又tCG=CEBC3ADCE(2)vDCE繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE,CE=AE,vCE=CG二CG=AE,四邊形ABCD是正方形BE/DGAB=CDABAE'=CDCG,即卩BE=DG四邊形DEBG是平行四邊形點(diǎn)評(píng):當(dāng)四邊形一組對(duì)邊平行時(shí),再證這組對(duì)邊相等,即可得這個(gè)四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等例3如圖3所示,在ABC中,分別以ABACBC為邊在B
4、C的同側(cè)作等邊ABD等邊厶ACE等邊BCF求證:四邊形DAEF是平行四邊形;分析:利用證三角形全等可得四邊形DAEF勺兩組對(duì)邊分別相等,從而四邊形DAEF是平行四邊形。解:ABDPFBC都是等邊三角形/DBF/FBAWABC#FBA=60/DBF#ABC又BD=BABF=BCABCADBFAC=DF=AE同理ABCAEFCAB=EF=AD四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評(píng):題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時(shí),可證四邊形的兩組對(duì)邊分別相等,從而可證四邊形是平行四邊形。四、對(duì)角線互相平分例4已知:如圖4,平行四邊形ABCD勺對(duì)角線AC和BD相交于0,AELBD于E,BF丄AC于F,CGLBD于G,DHLAC
5、于H,求證:四邊形EFGH是平行四邊形。分析:因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個(gè)頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線,這些條件與四邊形EFGH勺對(duì)角線有關(guān),若能證出0E=0G0F=0H則問(wèn)題可獲得解決/AE0NCG0同理B0FAD0H0F=0HA5證明:AE!BDCGLBDvZA0ENC0G0A=0C四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評(píng):當(dāng)已知條件與四邊形兩對(duì)角線有關(guān)時(shí),可證兩對(duì)角線互相平分,從而證四邊形A0EC0G-0E=0G是平行四邊形五、兩組對(duì)角相等例5將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起四邊形ABCD是平行四邊形嗎理由如圖2,將RtBCDS射線BD方向平移到RtBiD的位置,四邊形ABCD是平行四邊形嗎
6、說(shuō)出你的結(jié)論和理由:分析:因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān),故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問(wèn)題。解:(1)四邊形ABCD是平行四邊形,理由如下:ZABCZABDZDBC=30+90°=120°,ZADCZADBZCDB=90+30°=120°又/A=60,/C=60,/ABCMADC/A=ZC(2)四邊形ABCD是平行四邊形,理由如下:將RtBCD沿射線方向平移到RtBiCD的位置時(shí),有RtCiBBBRtADD/CiBB=/ADD,/BGBi=ZDAD有MCiBA=/ABDMCiBB=/C1DB1+/ADB=ZADG,/BGD=/BCB+/BiCDi=/DiAD+MDAB/DiAB所以
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