第一章 軸向拉伸及壓縮

1、F1-1 工程實(shí)際中的軸向拉伸和壓縮問題工程實(shí)際中的軸向拉伸和壓縮問題F1-2 拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力F1-3 截面上的應(yīng)力截面上的應(yīng)力F1-4 拉伸和壓縮時(shí)的變形拉伸和壓縮時(shí)的變形F1-5 拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能F1-6 拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算F1-7 拉伸和壓縮超靜定問題拉伸和壓縮超靜定問題F1-8 應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念F1-9 變形能的概念變形能的概念拉伸或壓縮桿件大多數(shù)是等截面直桿等截面直桿，其特點(diǎn)是： w在桿兩端受一對(duì)大小相等、方向相反的力，力的作用線與桿的軸線重合，若兩端的兩個(gè)力向外，則是拉伸，向內(nèi)則是壓縮；

2、 w有一些桿受到兩個(gè)以上的軸向外力作用，仍屬于拉壓桿。 桿件沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。 所研究物體內(nèi)部一部分對(duì)另一部分之間的作用力。 物體內(nèi)部：方向相反：大小相等：成對(duì)出現(xiàn)： 作用線與桿件軸線重合的內(nèi)力。軸力背離截面時(shí)稱為軸向拉力，規(guī)定為正值，指向截面時(shí)稱為軸向壓力，規(guī)定為負(fù)值。同一截面兩側(cè)的軸力大小相等，符號(hào)相同。 NNPPPP軸力N(N)的符號(hào)為正NNPPPP軸力N(N)的符號(hào)為負(fù) 在平面坐標(biāo)系用橫坐標(biāo)表示桿件橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力大小，并標(biāo)明其符號(hào)的圖形。 用任意一截面假想地把桿件截成兩個(gè)單元體，以顯示并確定內(nèi)力的方法。 欲求某一截面的軸力，就假想用一截面把桿截成兩個(gè)單元體，取其中的一個(gè)

3、單元體為研究對(duì)象，移去另一個(gè)單元體； 用軸力代替移去單元體對(duì)保留單元體的作用，一般假定其符號(hào)為正(即拉向軸力)； 建立平衡方程，由已知外力確定未知軸力。 【例1-1】求桿的軸力并畫出軸力圖 NABAPA=PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=P【解】1)根據(jù)載荷“突變”情況，采用截面法從左至右分段列平衡方程求各段的軸力: AB段: 0NPFABAixBC段: 0NPPFBCBAixNBCAPA=PBPB=2PPPNAABPPPNBABC3)(APA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=P0NPPPFCDCBAixCD段: DE段: 0NPPPPFDEDCBAixAP

4、A=PBPB=2PCPC=4PNCDPPPPNCBACD)()(PPPPPNDCBADE)()()(APA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PNDE2)畫軸力圖: ABCDE+單元體上背離截面的外力在截面上產(chǎn)生正的軸力，指向截面的外力在截面上產(chǎn)生負(fù)的軸力;軸力的大小等于外力的大小;截面上總的軸力等于單元體上的所有外力單獨(dú)作用產(chǎn)生的軸力的代數(shù)和。P3PPPANTP p內(nèi)力在截面上的密集程度稱為應(yīng)力應(yīng)力。即： dAdPAPpA0lim將P沿截面分解成法向內(nèi)力N和切向內(nèi)力T 。dAdNANA0lim稱為正應(yīng)力正應(yīng)力，它垂直于截面，并規(guī)定拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負(fù)值。 dAdTATA0lim稱為剪應(yīng)

5、力剪應(yīng)力，并規(guī)定使單元體繞其上任一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的為正，反之為負(fù)。 +-+-PP國(guó)際單位為帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕，用表示Pa。其常用單位有兆帕(MPa)、吉帕(GPa)等。mN1P12aP10kP10MP10PG1a9a6a3a取等截面直桿作拉伸實(shí)驗(yàn)。 拉伸前拉伸前: : ab、cd為直線且均垂直于軸線 。abcdabcd拉伸后拉伸后: :ab、cd仍為直線且均垂直于軸線， ab 與cd 間距離變大，桿變細(xì)。 1)變形前的橫截面，變形后仍保持為垂直于桿軸的平面，即平面假設(shè)平面假設(shè)。 2)任意兩橫截面間縱向纖維伸長(zhǎng)量(或縮短量)是相等的，即應(yīng)力是均布的。故： ANPPabcdPl1d1ldP 絕對(duì)變形001

6、1dddlllPP 絕對(duì)變形0011dddlllll縱向線應(yīng)變，無(wú)量綱，拉伸為正，壓縮為負(fù)。 dd橫向線應(yīng)變，無(wú)量綱，拉伸為負(fù)，壓縮為正。ldl1d1當(dāng)拉壓桿件的應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比為一常數(shù)，其絕對(duì)值稱為泊松比泊松比，用表示。 即： |或 E即：構(gòu)件的應(yīng)力未超過材料的比例極限時(shí)，其應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 E材料的彈性模量彈性模量，與應(yīng)力量綱相同。 w虎克定律的另一表達(dá)式EANll EA構(gòu)件的抗拉抗拉( (壓壓) )剛度剛度w若構(gòu)件在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Ei、Ai、Ni為常數(shù)，則變形為niiiiiAElNl1xtAtEdttNx0)()()()(w若構(gòu)件E(x)、A (x

7、) 、N (x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則變形為：這里僅研究材料在常溫靜載常溫靜載下的機(jī)械性質(zhì)。 試樣中段用于測(cè)量拉伸變形的部分。 對(duì)圓截面試樣要求其標(biāo)距滿足l0=10d0 或 l0=5d0 。 l0d0ABPfO特征：特征：在OAB段任何處御除載荷后，曲線能沿原路返回。其中OA段為一直線，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為彈性模量E，且E為直線OA的斜率；與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限比例極限，即是材料應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力。 應(yīng)力超過比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比關(guān)系即AB段是微彎曲線。B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限彈性極限。 CDs特征：特征：在過B點(diǎn)至試樣斷裂的整個(gè)過程的任何地方卸除載荷后

8、曲線均不能沿原路返回，只能沿與OA平行的直線返回。試樣表面將出現(xiàn)與軸線成45左右的滑痕，材料發(fā)生永久變形稱為塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變。如果此時(shí)再加載，曲線將沿與OA平行的直線上升至原卸載點(diǎn)。 過B點(diǎn)后變形增加較快而應(yīng)力增加不顯著，對(duì)應(yīng)于C點(diǎn)的應(yīng)力稱為上屈服點(diǎn)上屈服點(diǎn)。過C點(diǎn)后不計(jì)初始瞬時(shí)效應(yīng)時(shí)的最低點(diǎn)D稱為下屈服點(diǎn)下屈服點(diǎn)。從D點(diǎn)后曲線上將出現(xiàn)近乎水平的微小波動(dòng)段。一般取D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為屈服極限屈服極限。 ABPfOE特征：特征：與彈性階段相比，應(yīng)力增加緩慢，變形增加較快，變形大部分屬于塑性變形，曲線最高點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限。如果此時(shí)卸載，曲線將沿FO1下降，再加載，曲線將沿O1F上升，

9、比例極限和塑性極限都將增大，該過程稱為冷作硬化冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。 FGbO1EABCDPfsOABCDFEGPf sO1bOHO2特征：特征：過G點(diǎn)后，變形集中在試樣的薄弱地方，橫向尺寸急劇縮小，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象，雖然曲線下降但由于橫截面尺寸較名義值變小，實(shí)驗(yàn)證明頸縮截面上的實(shí)際應(yīng)力卻是一直在增加，最后沿橫截面斷裂。 此時(shí)的殘余應(yīng)變OO2()稱為延伸率延伸率。延伸率與截面收縮率反映材料塑性性能指標(biāo)。 %100001lllnl0試件原來(lái)的標(biāo)距段長(zhǎng)度。 l1試件拉斷的標(biāo)距段長(zhǎng)度。 n試樣標(biāo)距直徑比。 00010100AAAA0試件原來(lái)橫截面積。 A1試件斷裂后斷口處的橫截面積。

10、 一般稱5的材料為塑性材料塑性材料，如低合金鋼、碳素鋼、青銅等；1安全因數(shù)安全因數(shù) 對(duì)塑性材料：nss 對(duì)脆性材料：nbbns、nb分別為按屈服極限和強(qiáng)度極限規(guī)定的安全因數(shù)，一般地nsnb。 確定安全系數(shù)一般應(yīng)考慮的因素: 材料的均勻程度； 載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性； 計(jì)算方法方面的簡(jiǎn)化和近似程度；構(gòu)件加工工藝，構(gòu)件工作條件；構(gòu)件的重要性。 一般在常溫靜載情況下，塑性材料的安全系數(shù)ns=1.52.0，脆性材料安全系數(shù)nb=2.53.0。 AN桿件橫截面上的工作應(yīng)力； N橫截面上的軸力； A橫截面面積； 材料的許用應(yīng)力。 AN最大工作應(yīng)力是否超過材料的許用應(yīng)力。NA AN 【例例1-2】圖示等厚度直桿，

11、BC段加工有一槽。已知：彈性模量 E = 200 GPa，許用應(yīng)力=220MPa，l=200。尺寸單位為mm，力的單位為kN。1)作該桿的軸力圖；2)計(jì)算伸長(zhǎng)量lAE；3)校核桿的強(qiáng)度。 【解】1)根據(jù)桿上的載荷“突變”情況分段畫軸力圖： 20 kN10 kNCDEAB+10102010llllABCD103020E2)計(jì)算伸長(zhǎng)量lAE )(DEDECDCDBCBCABABDECDBCABAEANANANANEllllll3)校核強(qiáng)度 MPa100102010203ABABABANMPa200101010203BCBCBCANMPa50102010103CDCDCDANMPa100101010

12、103DEDEDEAN因 MPa200|)| |,| |,| |,max(|DECDBCAB故該桿安全。 mm 15. 0)10101010102010101010102010201020(1020020033333【例1-3】圖示結(jié)構(gòu)中，圓桿AB直徑dAB=30mm，許用應(yīng)力AB=120MPa，圓桿BC直徑dBC=20mm，許用應(yīng)力BC=160MPa，不考慮結(jié)構(gòu)自重。(1)求其所能承受的最大載荷W？(2)若載荷的最大值W=100kN，求兩桿的最小直徑。 【解】1)設(shè)AB桿、BC桿的內(nèi)力如圖示。060sin060cosWNFNNFABiyABBCixABC60WNBC60WNAB2)AB桿、B

13、C桿能承受的最大載荷： 382ABABABABABdWAN342BCBCBCBCBCdWAN360cot3260sinWWNWWNBCABkN5 .73832ABABdWkN1 .87432BCBCdW故最大載荷為73.5kN。 3)AB桿、BC桿的最小直徑： mm351012031010083838632ABABABABABABABWddWANmm4 .211016031010043434632BCBCBCBCBCBCBCWddWAN【例1-4】 圖示蒸氣機(jī)氣缸內(nèi)徑D=560mm，蒸汽壓力p=2.5MPa，活塞桿直徑d=100mm，許用應(yīng)力=76MPa。氣缸和缸蓋用螺栓連接，螺栓內(nèi)徑d1=3

14、0mm，許用應(yīng)力t=60MPa。校核活塞桿強(qiáng)度并計(jì)算缸蓋所需螺栓個(gè)數(shù)n。 Dppd1d【解】1)校核活塞桿強(qiáng)度 DdppNkN596105 . 210)100560(4)(40662222pdDPNPNFix活塞桿的工作應(yīng)力為： MPa9 .75Pa10100105964623AN2)計(jì)算螺栓個(gè)數(shù)n 螺栓在工作中受拉伸，總拉力等于氣缸蓋所受的總推力P，則每個(gè)螺栓的軸力 。nPN11410601030105964466232111111tttdPAPnnAPAN由螺栓的強(qiáng)度條件得：ppd1dDN1【例1-5】圖示均質(zhì)正圓錐臺(tái)密度為，高為h，上、下底面直徑分別為d、D。寫出其在自重作用下的軸力、應(yīng)

15、力和變形公式。xdxhdxN(x)N(x)+d N(x)【解】取單元體作受力分析0)()()()(xdNxNdxxAgxNFiydxxgAxdN)()(dxxAg)(dhdDxhxAx)(4)(2橫截面面積因)()(12)()(334hdhddDxhhdDgxN故)()()(3)()()()(232hddDxhhdhddDxhhdDgxAxNx故hxdxxAgxN)()(dxxddxxxdxx)()()()()(設(shè)x橫截面變形為(x)，(x+dx)橫截面變形為: (x)+ d(x)由線應(yīng)變的定義得：由虎克定律得：Exdxxdx)()()(Edxxxd)()(xdxhddDxhhdhddDxhh

16、EdDgx0232)()()(3)()()(12)()(12)(3)(222hddDxhhddDxhhddDhhddDhhEgx故dx(x)(x)+ d(x) 能用靜力平衡方程完全求解的問題。 未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)目，僅僅根據(jù)平衡方程尚不能全部求解的問題。 未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立方程個(gè)數(shù)之差。該差為一則為一次超靜定，為二則為二次超靜定等。 靜力學(xué)平衡方程； 變形與內(nèi)力等的關(guān)系； 指保持結(jié)構(gòu)連續(xù)的變形幾何條件。這是重點(diǎn)和難點(diǎn)。 【例1-6】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1，桿3的抗拉剛度為E3A3 ，求各桿件的內(nèi)力。 【解解】1)以節(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象。 cos20cos21331N

17、PNPNNFiy2)物理方程。 AElNl11111AElNl333333)變形協(xié)調(diào)方程。cos31ll4)求解。 cos2cos311332111AEAEAPENcos231133333AEAEAPENl3123OPl1POllllcos 由所求結(jié)果知：超靜定問題中桿件內(nèi)力(或構(gòu)件約束反力)不僅與載荷有關(guān)，還與桿件的抗拉(壓)剛度有關(guān)。【例1-7】已知桿AB、AC、DE的長(zhǎng)度為L(zhǎng)AB、LAC、LDE， 桿AB、AC的抗拉剛度為EABAAB、EACAAC。求桿AB、AC的內(nèi)力。 A【解解】1)靜力平衡方程。0cossincossin)(LPLNLNmDEACACABABiDFNABPECBDF

18、DxFDy2)物理方程。AELNLABABABABAB3)變形協(xié)調(diào)方程。LLLLACABACABcoscossinsinAELNLACACACACAC4)解方程得： 2sin2sin2sin222LAELAELAPENACACACABABABDEABABAB2sin2sin2sin222LAELAELAPENACACACABABABDEACACACDBCEBCEALLCCBBLLACABACABsinsincoscosNAC在超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件由于制造的幾何誤差，裝配成結(jié)構(gòu)后雖然未承受外載荷，但在各構(gòu)件中也存在內(nèi)力。這種內(nèi)力引起的應(yīng)力稱裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力。 計(jì)算裝配應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件

19、建立變形幾何方程。 【例1-8】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1 ，桿3的抗拉剛度為E3A3 ，制造誤差為。求各桿裝配內(nèi)力。 O13O0O2l1l3【解解】1)以節(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，建立方程： cos20cos21313NNNNFiy2)物理方程。AElNl11111AElNl333333)變形協(xié)調(diào)方程。ll13cos)(4)求解。 cos2cos311133133111AElAElAEAENcos2cos23111331233113AElAElAEAEN【思考【思考】裝配好后若在O點(diǎn)垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答【答】令平衡方程右邊等于P即可。O13O0O2l1l3在超

20、靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件的長(zhǎng)度互相牽制，不能自由收縮，因此溫度變化將導(dǎo)致各構(gòu)件的長(zhǎng)度的變化，使得構(gòu)件產(chǎn)生內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為溫度內(nèi)力溫度內(nèi)力。由溫度內(nèi)力引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力。 計(jì)算溫度應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程和寫出正確的物理方程。 【例1-9】圖示結(jié)構(gòu)中桿1和桿2的抗拉剛度為E1A1 ，線膨脹系數(shù)為1= 2 ，桿3的抗拉剛度為E3A3 ，線膨脹系數(shù)為3 。設(shè)升溫為T，求各桿的溫度內(nèi)力。 l3123Ol1O【解解】1)以節(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，建立靜力平衡方程： cos20cos21313NNNNFiyl3123Ol1O2)物理方程。設(shè)二力桿1、桿2受壓，桿3受拉，則變形滿足：

21、AElNTll1111111由溫度升高和壓縮內(nèi)力引起的變形 AElNTll3333333由溫度升高和拉伸內(nèi)力引起的變形 3)變形協(xié)調(diào)方程。 cos31ll4)求解。cos2)cos(3113323133111AEAETAEAENcos2cos)cos(23113323133113AEAETAEAEN桿1、桿2受壓，桿3受拉的假定成立與否由 的符號(hào)確定。 cos231【思考】【思考】若在O點(diǎn)垂直向下作用一力P，該如何求各桿件的內(nèi)力？【答】【答】令平衡方程右邊等于P即可?！舅伎肌舅伎肌咳绻鲜鼋Y(jié)構(gòu)同時(shí)存在裝配誤差、溫度變化、外載荷，如何求解？ 【解】【解】1)靜力平衡方程： 0cos231PNNFiy2