第3章一元函數(shù)積分學(xué)1-12(不定積分的概念與性質(zhì))

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A3.1.1 3.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念3.1.2 3.1.2 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)3.1.3 3.1.3 基本積分表基本積分表3.1 3.1 不定積分不定積分3.1.3 基本積分表基本積分表3.1.1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)3.1.2 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)求積分習(xí)例求積分習(xí)例2-143.1.2 不定積分的概念不定積分的概念 思考題思考題-分段函數(shù)的不定積分分段函數(shù)的不定積分問題問題 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定

2、義原函數(shù)的存在性原函數(shù)的存在性定義定義不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 1. 問題問題 ).(),()1(tstv求求路路程程已已知知速速度度).(),)()( tstvts求求已已知知即即 ).(),()2(xfyxk 求曲線求曲線切線斜率切線斜率已知曲線上每一點(diǎn)處的已知曲線上每一點(diǎn)處的).(),)( xfyxky 求求已已知知即即一、原函數(shù)的概念一、原函數(shù)的概念 2. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義 ,內(nèi)內(nèi)若在若在I,)()()()(dxxfxdFxfxF 或或.)()(內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在為為則則稱稱IxfxF ,cossin xx 如如xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).

3、),0( 1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0( 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù). 3. 原函數(shù)的存在性原函數(shù)的存在性 定理定理1.問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？(2) 若不唯一若不唯一,它們之間有什么聯(lián)系？它們之間有什么聯(lián)系？若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)上連續(xù), 則則f(x)在在I上存在上存在原函數(shù)原函數(shù)F(x). xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C如如定理定理2. 設(shè)設(shè)F(x)是是f(x)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù), 則則;,)()( )1(為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)也是也是Cx

4、fCxF .)()(,)()( )2(CxFxxfx 則則的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是若若證明證明:),()()( )1(xfxFCxF .)( )(的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是xfCxF )()()()( )2(xFxxFx 0)()( xfxfCxFx )()(CxFx )()( 即即). (為任意常數(shù)為任意常數(shù)C注意注意: (1) 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù).(3) 原函數(shù)不唯一原函數(shù)不唯一.)cos(sin2cos41,cos21,sin2122的的原原函函數(shù)數(shù)都都是是如如x

5、xxxx (4) 如果如果f(x)在在I上存在原函數(shù)上存在原函數(shù),則稱則稱f(x)在在I上可積上可積.任意常數(shù)任意常數(shù)1. 定義定義 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上的原函數(shù)全體上的原函數(shù)全體, 稱為稱為f(x)在在I上的不定積分上的不定積分. 記為記為 dxxf)(積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量二、不定積分的概念二、不定積分的概念 , )( ,的全部原函數(shù)的過程稱求已知函數(shù)習(xí)慣上xf . )( 的不定積分為求函數(shù)xf .運(yùn)算求不定積分是求導(dǎo)的逆 例如： ;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxx

6、x .|lnd1 ,1) |(lnCxxxxx 每一個(gè)求導(dǎo)每一個(gè)求導(dǎo)公式公式, 反過反過來就是一個(gè)來就是一個(gè)求原函數(shù)的求原函數(shù)的公式公式, 加上加上積分常數(shù)積分常數(shù)C就成為一個(gè)就成為一個(gè)求不定積分求不定積分的公式的公式.注意注意: 盡管不定積分中各個(gè)部分都有其獨(dú)特的含義，盡管不定積分中各個(gè)部分都有其獨(dú)特的含義，但在使用時(shí)須作為一個(gè)整體看待但在使用時(shí)須作為一個(gè)整體看待.(2) 積分變量是指積分變量是指d后面的那個(gè)量后面的那個(gè)量.,)( duudxuuduufxx與與比比較較為為積積分分變變量量中中如如(3) 不定積分與原函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，它們不定積分與原函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，它們是整體是整體

7、 與個(gè)體的關(guān)系，原函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不與個(gè)體的關(guān)系，原函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不定積分是一族函數(shù)定積分是一族函數(shù).)()(),()( )4(CxFdxxfxfxF 則則若若2.不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 若若F(x)是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),則稱則稱y=F(x)的圖形為的圖形為f(x)的的一條積分曲線一條積分曲線.)()(線族線族所有積分曲線組成的曲所有積分曲線組成的曲意地平行移動(dòng)所得到的意地平行移動(dòng)所得到的縱軸方向任縱軸方向任的某一條積分曲線沿著的某一條積分曲線沿著表示表示則則xfdxxf 如圖如圖.xoy這些曲線在橫坐標(biāo)這些曲線在橫坐標(biāo)相同處切線平行相同處切線平行.例例1. 設(shè)

8、曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解: :設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx三、基本積分表三、基本積分表特別地特別地,2212211xxdxCdxxCxdxCxx (3)ln|;dxxCx dx

9、x211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx .0 )16(Cdx ),()( ) 1 (xfdxxfdxd ,)()( dxxfdxxfd 或或,)()( )2( CxFdxxF.)()(

10、CxFxdF或或 dxxgxf)()( )3(;)()( dxxgdxxf證明證明: dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 故結(jié)論正確故結(jié)論正確.四、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)不定積分的基本性質(zhì)：不定積分的基本性質(zhì)： dxxkf)( )4(.)( dxxfk(k為任意常數(shù)為任意常數(shù)).)()( )5(11dxxfkdxxfkiniiniii 性質(zhì)性質(zhì)(1)(2)說明微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算說明微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是是的的.性質(zhì)性質(zhì)(3)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況. .五、求不定積分習(xí)例五、求不定積分習(xí)例-直接積分法

11、直接積分法例例2. 計(jì)算計(jì)算2(5)x xdx 例例3. 計(jì)算計(jì)算2(1033sin)xxxx dx 例例4. 計(jì)算計(jì)算2(23)xxxxxdxx 例例5. 計(jì)算計(jì)算2(23 )xxdx 例例6. 計(jì)算計(jì)算sec (sectan )xxx dx 例例7. 計(jì)算計(jì)算2232()11dxxx 例例8. 計(jì)算計(jì)算221(1)xxdxxx 例例9. 計(jì)算計(jì)算22212(1)xdxxx 例例10. 計(jì)算計(jì)算421.1xdxx 例例11. 計(jì)算計(jì)算2cot.xdx 例例12. 計(jì)算計(jì)算22cos2cossinxdxxx 例例13. 計(jì)算計(jì)算221sincos22dxxx 例例14. 計(jì)算計(jì)算1.1cos2

12、dxx 2(5).x xdx 解解:dxxxdxxx )5()5(21252dxxdxx 21255232731072xx + C例例2. 計(jì)算計(jì)算例例3.)sin3310( 2dxxxxx 計(jì)計(jì)算算解解:dxxxxx )sin3310(2 dxxxdxdxxsin3902332cos390ln90 xxx C 例例4.)32( 2dxxxxxxx 計(jì)計(jì)算算解解:dxxxxxxx 2)32( dxxx)32(21xxxln322 C 例例5.)32( 2dxxx 計(jì)算計(jì)算解解:dxdxxxxxx )9624()32(29ln96ln624ln4xxx C 例例6.)tan(secsec dxx

13、xx 計(jì)計(jì)算算解解:dxxxxdxxxx )tansec(sec)tan(secsec2xxsectan C 解解: :.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例7. 計(jì)算計(jì)算解解: :.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例8. 計(jì)算計(jì)算分式化成最分式化成最簡真分式的簡真分式的代數(shù)和代數(shù)和解解: :.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdx

14、x 22111.arctan1Cxx 例例9. 計(jì)算計(jì)算分式化成最分式化成最簡真分式的簡真分式的代數(shù)和代數(shù)和例例10.11 24dxxx 計(jì)計(jì)算算解解: dxxx1124dxxxxx 1212224 假分式假分式化成多項(xiàng)式化成多項(xiàng)式加真分式加真分式dxxx )121(22.arctan2313Cxxx 例例11.cot 2dxx 計(jì)計(jì)算算解解:dxxdxx )1(csccot22.cotCxx 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表變形，才能使用基本積分表.說明：說明：例例12.sincos2cos 22dxxxx 計(jì)計(jì)算算解解:dxxxx

15、xdxxxx 222222sincossincossincos2cosdxxx)sec(csc22 .tancotCxx 例例13.2cos2sin1 22dxxx 計(jì)算計(jì)算解解: dxxdxxx222sin42cos2sin1 xdx2csc4.cot4Cx 解解: :.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明說明:被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)需要進(jìn)行三被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)需要進(jìn)行三角恒等變形，才能使用基本積分表角恒等變形，才能使用基本積分表.例例14. 計(jì)算計(jì)算思考題思考題-分段函數(shù)的不定積分的求法分段函數(shù)的不定積分的求法先求各分段部分在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)先求各分段部分在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)1. 考察在分界點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性考察在分界點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性11,2, 1)( xxxxxf設(shè)dxxfxF)()(,求例例15.15. . d | |xex求例例16.16.11,2, 1)( xxxxxf設(shè)dxxfxF)()(,求例例15.15.2111,( )(1)2xF xxdxxxC時(shí)處有定義且連續(xù)在知又函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)1)(,xxF解解: :221 ,( )2xF xxdx xC