有約束優(yōu)化問(wèn)題

1、任課教師簽字：課程作業(yè)學(xué)年學(xué)期：20172018學(xué)年第二學(xué)期課程名稱：優(yōu)化理論作業(yè)名稱：作業(yè)四學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：提交時(shí)間:一、問(wèn)題重述形如下式的尋優(yōu)問(wèn)題稱為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題的最優(yōu)解稱為約束最優(yōu)解。minf(x)j.tgi(x)<0,i=1,.phj(x)=0,j=1,.qp>0,q>0約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件是，在滿足燈飾和不等式約束條件下，其目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)所必須滿足的條件。約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題求解方式有兩種，間接法和直接法。直接法是在滿足不等式約束的可行設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)直接搜索問(wèn)題的最優(yōu)解和最小值，常用的方法有隨機(jī)方向法、復(fù)合形法。間接法是將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化

2、問(wèn)題來(lái)求解，常用的方法有內(nèi)懲罰函數(shù)法、外懲罰函數(shù)法以及混合懲罰函數(shù)法。本次作業(yè)以為例，介紹無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的尋優(yōu)方法。二、算法原理復(fù)合形法是求解約束非線性尋優(yōu)問(wèn)題的一種重要的直接方法。復(fù)合形法的核心在于可行域內(nèi)構(gòu)造的不斷逼近最優(yōu)點(diǎn)的復(fù)合形。每次迭代,計(jì)算各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找到目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)(稱最壞點(diǎn))，然后按相應(yīng)的原則求出目標(biāo)函數(shù)可行的下降點(diǎn)，以此代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形。復(fù)合形每改變一次，各個(gè)頂點(diǎn)就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至滿足終止條件，找到最優(yōu)點(diǎn)。復(fù)合形法的頂點(diǎn)數(shù)K通常取n+1<K<2n,其中n表示搜索環(huán)境的維度。初始圖形的頂點(diǎn)是由設(shè)計(jì)者確定或者隨機(jī)產(chǎn)生的，但一定要保證在

3、可行域內(nèi)。如果隨機(jī)產(chǎn)生的初始點(diǎn)沒(méi)有在可行域內(nèi)，可以通過(guò)以下步驟將其調(diào)入可行域內(nèi)。(1)計(jì)算在可行域內(nèi)點(diǎn)的初始點(diǎn)集中心Xs)；(2)將可行域外的點(diǎn)向Xs)靠攏，每次前進(jìn)間距的一半，直至進(jìn)入可行域內(nèi)。復(fù)合行法的終止條件可以有以下幾種形式，滿足終止條件后，可將最后復(fù)合形的好點(diǎn)及其函數(shù)值作為最優(yōu)解輸出。(1)各頂點(diǎn)與好點(diǎn)函數(shù)值之差的均方根小于誤差限；(2)各頂點(diǎn)與好點(diǎn)的函數(shù)之差平和小于誤差限；(3)各頂點(diǎn)與好點(diǎn)函數(shù)值差的絕對(duì)值之和小于誤差限。另外，需要注意的是復(fù)合形法只能求解僅含不等式約束的問(wèn)題。三、算法流程復(fù)合形算法的流程圖:圖1復(fù)合形法算法流程四、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證用Matlab自帶的fmincon函數(shù)求得

4、的約束最優(yōu)解作為標(biāo)準(zhǔn)值，以此檢驗(yàn)復(fù)合形算法的準(zhǔn)確度。用復(fù)合形法求解下列問(wèn)題的約束最優(yōu)解minf(x)=60-10x1-4x2x12x22-x1x2stgi(x)=-x1E0g2(x)=_x21£0g3(x)-6xi<0g4(x)-8x2-0g5(x)=x1x2-110表1結(jié)果對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)值復(fù)合形法最小值點(diǎn)(6,4.999)最小值點(diǎn)(6,4.992)最小值11.000011.0000四、算法程序復(fù)合形法關(guān)鍵算法：clc;clearall;closeall;%始值area=1.3;error=0.0000000000001;%誤差限k=4;%復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)dimensions=2;%嗖索

5、空間的維度a=-10,-10;%U始點(diǎn)1b=10,10;%U始點(diǎn)2c=zeros(1,2);x_in=;%遁機(jī)點(diǎn)，保證至少有一個(gè)點(diǎn)在可行域內(nèi)whileisempty(x_in)x_in=;x_out=;fori=1:k%產(chǎn)生初始隨機(jī)點(diǎn)c(1)=a(1)+rand*(b(1)-a(1);c(2)=a(2)+rand*(b(2)-a(2);ifInequal(c)>=0x_in=x_in;c;elsex_out=x_out;c;endendend%域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)調(diào)入可行域內(nèi)whileisempty(x_out)x_in_mean=mean(x_in,1);x_out(1,:)=x_in_mea

6、n+0.5*(x_out(1,:)-x_in_mean);ifInequal(x_out(1,:)>0x_in=x_in;x_out(1,:);x_out(1,:)=;endend都在可行域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)x_zero=x_in;%形算法F=zeros(1,k);while(1)fori=1:kF(i)=Fmin(x_zero(i,:);endF_L,x_L_i尸min(F);%子點(diǎn)F_H,x_H_i=max(F);琳點(diǎn)J=(F-F_L)*(F-F_L)'%各頂點(diǎn)與好點(diǎn)的函數(shù)值之差的平方和ifJ<error蹴止條件break;endflag=1;x_SH_i=x_H_i;whil

7、e(flag=1)%需要改變映射方向，即改變x_SH_iflag=0;j=1;以示次最大點(diǎn)x_SH=x_zero(x_SH_i,:);x_0=(sum(x_zero,1)-x_SH)/(k-1);瀚壞點(diǎn)外的其余各項(xiàng)中心點(diǎn)x_R=x_0+area*(x_0-x_SH);啾射點(diǎn)area_part=area*0.5;麻在可行域內(nèi)的映射點(diǎn)while(Inequal(x_R)<0)/在可行域內(nèi)x_R=x_0+area_part*(x_0-x_SH);始射點(diǎn)調(diào)入可行域area_part=area_part*0.5;endwhile(Fmin(x_R)>=F_H)x_R=x_0+area_par

8、t*(x_0-x_SH);%A為映射過(guò)遠(yuǎn)，減半映射area_part=area_part*0.5;ifarea_part<0.0000001旅過(guò)多次映射，仍無(wú)法滿足flag=1;%!要改變映射方向，即改變x_SH_i,x_Fdescend_i=sort(F,'descend');j=j+1;x_SH_i=x_Fdescend_i(j);%表示次j最大點(diǎn)break;endendend%此時(shí)映射點(diǎn)優(yōu)于壞點(diǎn)x_zero(x_H_i,:)=x_R;始射點(diǎn)代替壞點(diǎn)endx_zero(x_L_i,:)%!:優(yōu)點(diǎn)F_L%t小值%岫除束條件的極小值點(diǎn)A_Limit=-10;0-1;10;01;11;%勺束條件矩陣b_Upper=0;-1;6;8;11;xmin,fmin=fmincon(Fmin,c,A_Limit,b_Upper,)目標(biāo)函數(shù)%1優(yōu)目標(biāo)函數(shù)functionoutput=Fmin(x)x1=x(1);x2=x(2);output=60-10*x1-4*x2+x1*x1+x2*x2-x1*x2;約束條件環(huán)等式約束條件functionoutput=Inequ