SSP第7章晶格振動理論2_110809-2

1、17.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.1 模型及動力學(xué)方程考察 N 個原胞的一維晶格，每個原胞中有兩個質(zhì)量為 m 的原子，晶格常數(shù)(原胞間距)為 a，原胞中原子間距為 d，d d，所以有，1 2。1 1，以及，mO/22minmA/21max所以有 Omin Amax，2/1212221212 cos21qamm7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.2 色散關(guān)系 取最大值 2/1 即，兩支格波的頻率無交疊，出現(xiàn)禁帶。8一維復(fù)式格子振動色散關(guān)系圖示(q)一維復(fù)式格子振動的色散關(guān)系示意圖0-/a/aq0minAmO/22minmO/221maxmA/21max聲學(xué)支格波光學(xué)支格波7.2 一維復(fù)式格子的振

2、動7.2.2 色散關(guān)系)(2 12m禁帶寬度97.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波考察任意 t 時刻，同一原胞內(nèi)兩個原子位移之比ABAeBenaunautnaqitnaqi)()(12)()(由耦合方程第二式)(21221meABiqa0)()(21221BmAeiqa代入 2/1212221212 cos21qamm2/121222121 ) )(cos2(qaeABiqa7.2 一維復(fù)式格子的振動位移之比等于振幅之比10)(1221iqaiqaee 合并符號后“”為光學(xué)?！?”為聲學(xué)模7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波繼續(xù)分析2/121222121 ) )(cos2(qaeABiq

3、a2/121222121 ) )(cos2(qaeiqa 2/121222121 )(iqaiqaiqaeee2/1121221 )(iqaiqaiqaeee11討論長波極限下，AB 聲學(xué)支格波：1、在長波近似下的光學(xué)支格波，原胞中原子，任意時刻，振動位移大小相等，方向相反，代表了原胞中兩個原子的相對運動。7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波2、在長波近似下的聲學(xué)支格波，原胞中原子，任意時刻，振動位移大小相等，方向相同，代表了原胞中兩個原子的質(zhì)心運動。AB光學(xué)支格波：其物理意義：1 AB有，即，當0 2 qq即：)(1221iqaiqaeeAB ABnaunau)()(12根據(jù)

4、12原胞中兩個原子的質(zhì)心運動7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波對于離子晶體，正負離子交替排列，相鄰離子相對運動導(dǎo)致產(chǎn)生電偶極矩，從而影響晶體光學(xué)性質(zhì)。光學(xué)支格波的命名原因：原胞中兩個原子的相對運動在長波近似下，光學(xué)波和聲學(xué)波，任意時刻 t，原胞中原子的振動形態(tài)圖示132/1212221212 cos21qammA考察聲學(xué)波色散關(guān)系：在長波近似下，2)2(21qa所以2/12221212121 )()(1qamm7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波，即，0 2 qq2/1221221212 )()(1qammA)2(sin21)cos(2qaqa2)(211qa

5、14采用二項式定理，(1x)1/2 1x/2，令222121)()( qax22121)(21qamqaqmAA 212121波矢正比頻率，類似彈性介質(zhì)中傳播的彈性波，這是聲學(xué)波命名的原因。7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.3 光學(xué)波和聲學(xué)波 )()(21122212121212qammA很小，x2/122212121212 )()(1qammA在中157.2.4 周期性邊界條件與獨立振動模式數(shù)目與一維單原子晶格類似，一維雙原子晶格周期性條件表為：)()()()(2211aNnunauaNnunau，1iNaqe,.2, 1, 02llNqa，,.2, 1, 02lNalq，)(2)(tnaq

6、iBenau得到：7.2 一維復(fù)式格子的振動)(1)(tnaqiAenau)(1aNnu)(2aNnu)(taqNniAeiNaqtnaqieAe)()(taqNniBeiNaqtnaqieBe)(iNaqenau)(1iNaqenau)(216因為，每個 q ，對應(yīng)兩個不同振動頻率：O 和 A，所以，一維雙原子晶格共有 2N 個獨立的振動模式。注意到，一維雙原子晶格中，每個原胞有兩個原子，每個原子只有一個自由度，晶體總自由度為 2N。 2 ，即，aNala可見，波矢 q 在第一布里淵區(qū)，可有 N 個不同的取值。aqaq 在第一布里淵區(qū)，即：限制整數(shù)，也即：lNlN 22 可以推論：晶格振動波

7、矢 q 的數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目，獨立振動模式數(shù)目等于晶體的自由度數(shù)。7.2 一維復(fù)式格子的振動7.2.4 周期性邊界條件與獨立振動模式數(shù)目177.3 三維晶格的振動三維晶格的振動模式，可采用和一維晶格中類似的方法來得到。具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)，這里不再給出，只介紹最后結(jié)果。對于 N 個原胞的三維晶體，每個原胞中 P 個原子，每個原子三個自由度，晶體總自由度數(shù)為 3PN。則，晶體振動波矢 q 的數(shù)目等于晶體原胞數(shù)目 N，獨立振動模式數(shù)目等于晶體總自由度數(shù) 3PN。3PN 個獨立格波可分成 3P支，每支有 N 個格波。3P 支格波中，3支是聲學(xué)波，3P-3 支是光學(xué)波。3支聲學(xué)波中有一支是縱波，振動方向與

8、格波傳播方向相同，其余 2支是橫波，振動方向與格波傳播方向垂直。光學(xué)波中也有縱波和橫波之分。187.4 晶格振動量子化 聲子7.4.1 晶格振動的能量需要確定系統(tǒng)的哈密頓量 ，然后求解本征函數(shù)和本征值。UTH統(tǒng)哈密頓量考察一維單原子鏈的系勢能存在交叉項，直接求解困難。根據(jù)晶格振動模式分析，已知，一維單原子晶格振動，最后表現(xiàn)為，由不同波矢 q 標志的， N 個獨立振動模式。也就是，晶格振動在波矢空間，是 N 個獨立振動模式，晶格振動的能量在波矢空間，是 N 個獨立模式振動的能量之和。晶格振動的嚴格處理，當用量子力學(xué)求解系統(tǒng)薛定鄂方程。NnnnNnnuuum212)(2121UTH19據(jù)此，將晶格

9、振動哈密頓量NnnnNnnuuum212)(2121UTH 從原子坐標空間表示變換到狀態(tài)波矢空間表示。代入哈密頓量，可得NllllqQqQH)()(21222晶格振動的總能量表示成 N 個獨立簡諧振子的能量之和。正則坐標正則變換l (ql)un是通解7.4 晶格振動量子化 聲子7.4.1 晶格振動的能量tillleANmqQ2/1)()(取linaqNllneqQNmu)()(2/1則207.4.2 聲子根據(jù)量子力學(xué)，頻率為 l 的諧振子的能量本征值為,.2 , 1 , 0 ,)21(llllnn1/2 為零點振動能。因此，一維單原子晶格振動總能量為：,.2 , 1 , 0 ,)21(lNll

10、lNllnnE推廣到三維晶體：N 個原胞，每原胞 P 個原子，晶格共有 3PN個不同頻率的振動模式，在正則坐標下，晶格振動總能量為 3PN 個相互獨立的諧振子的能量之和，,.2 , 1 , 0 ,)21(33iPNiiiPNiinnE可見，晶格振動的能量增減，是以 為單位，量子化增減的。7.4 晶格振動量子化 聲子21引入聲子概念(1) 每個獨立振動模式能量均以 i 為單位增減，我們把晶格振動能量的量子化單位 “i” 稱為聲子。(2) 不同頻率振動模式對應(yīng)不同聲子。(3) 當頻率為 i 的諧振動處在 i = (1/2+ni)i 態(tài)，我們稱有 ni 個頻率為 i 的聲子。(4) 格波能量的增減，

11、可用聲子的產(chǎn)生和消滅來表示。(5) 聲子的動量 由于格波波矢 q 為格波傳播方向，它也是聲子的波矢，代表了聲子的運動方向，我們稱 q 為聲子的準動量。7.4 晶格振動量子化 聲子7.4.2 聲子22(6) 聲子動量的不確定性。 聲子頻率 (q) 是 q 的周期函數(shù)， (q) 和 (q + G) 對應(yīng)完全相同的振動狀態(tài)， 即，(q) 和 (q + G)對應(yīng)完全相同的聲子，聲子動量不確定，可以是 q，也可以是 (q + G)。(7) 聲子是準粒子。 聲子具有能量 (q)，具有準動量 q，因此，視聲子為準粒子。聲子無自旋；同種聲子 i(q) 不可區(qū)分；聲子數(shù)目不守恒，可產(chǎn)生，可消滅。因此，聲子是玻色子。7.4 晶格振動量子化 聲子7.4.2 聲子關(guān)于稱 q 為聲子準動量的原因： 1、 q 代表晶格的振動，而晶體真實動量為零。 2、聲子與光子(電子等) 相互作用時，q 表現(xiàn)出動量屬性。23(8) 聲子的數(shù)目。 聲子 i(q)的數(shù)目 ni ，服從玻色-愛因斯坦分布。頻率為 i ，溫度為 T 時，聲子 i 的數(shù)目：