第三章矩陣標(biāo)準(zhǔn)型

1、教學(xué)目的教學(xué)目的理解理解 矩陣的定義及不變因子矩陣的定義及不變因子掌握用初等變換的方法化掌握用初等變換的方法化 矩陣為矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形理解行列因子、初等因子及相關(guān)理論理解行列因子、初等因子及相關(guān)理論掌握求矩陣的掌握求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解了解Cayley -Hamilton定理定理 第三章第三章 矩陣與矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（ -matrix and Jordan Canonical Form） 標(biāo)準(zhǔn)型的理論源自矩陣的相似性，因?yàn)橄嗨凭仃囉性S多標(biāo)準(zhǔn)型的理論源自矩陣的相似性，因?yàn)橄嗨凭仃囉性S多相似不變量：特征多項(xiàng)式、特征值（包括代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重相似不變

2、量：特征多項(xiàng)式、特征值（包括代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆數(shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似變換矩陣互相求出。這自然導(dǎo)出了尋找相似矩陣集合的相似變換矩陣互相求出。這自然導(dǎo)出了尋找相似矩陣集合中的中的“代表矩陣代表矩陣”的問(wèn)題。的問(wèn)題。“代表矩陣代表矩陣”當(dāng)然越簡(jiǎn)單越好。當(dāng)然越簡(jiǎn)單越好。對(duì)于可對(duì)角化矩陣，對(duì)于可對(duì)角化矩陣，“代表矩陣代表矩陣”就是特征值組成的對(duì)角矩就是特征值組成的對(duì)角矩陣。但是令人非常遺憾的是：陣。但是令人非常遺憾的是：一般矩陣未必與對(duì)角矩陣相一般矩陣未必與對(duì)角矩陣相似！似！預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：若存在多項(xiàng)式若存在多項(xiàng)式

3、h( )，使得，使得f( ) =d( ) h( )， 稱稱d( )整除整除f( )，用用d( )| f( )表示；表示；設(shè)f( ) 與g( ) 為數(shù)域P上的兩個(gè)一元多項(xiàng)式，若存在d( )滿足d( )| f( )，d( )| g( )，稱，稱d( )為為f( )與與g( )的的公因公因式式；若若f( )與與g( )的任一公因式都是的任一公因式都是d( ) 的因式；稱的因式；稱d( )為f( )與與g( )的的最大公因式，并用（f( )，g( )）表示）表示f( )與與g( )的的首項(xiàng)系數(shù)為首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式的最大公因式.2 矩陣及其在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣及其在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型 由于一般矩陣與對(duì)

4、角矩陣不相似，因此我們由于一般矩陣與對(duì)角矩陣不相似，因此我們“退退而求其次而求其次”，尋找，尋找“幾乎對(duì)角的幾乎對(duì)角的”矩陣。這就引出矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題，其中了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題，其中Jordan標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型是準(zhǔn)型是最接近對(duì)角的矩陣最接近對(duì)角的矩陣，只在第只在第1條對(duì)角線上取條對(duì)角線上取1或或0。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計(jì)算上。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計(jì)算上以及應(yīng)用上的許多問(wèn)題就容易處理了，當(dāng)然花費(fèi)也以及應(yīng)用上的許多問(wèn)題就容易處理了，當(dāng)然花費(fèi)也大了。大了。定義定義1 1 元素為元素為 的多項(xiàng)式的矩陣稱為的多項(xiàng)式的矩陣稱為 -矩矩陣陣，記為，記為A

5、( ( ) )。即即A( )=(aij( )m n(i=1,2,m;j=1,2,.n),其中其中aij( )是數(shù)域是數(shù)域P上的多項(xiàng)式。多項(xiàng)式上的多項(xiàng)式。多項(xiàng)式aij( )的最高次數(shù)稱為的最高次數(shù)稱為A( )的的次數(shù)次數(shù)，數(shù)域數(shù)域P上全體上全體m n的 -矩陣記為記為P m n.注：注：數(shù)字矩陣是數(shù)字矩陣是 -矩矩陣的特例。陣的特例。 數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣A的特征矩陣的特征矩陣 I-A是是1次次 -矩矩陣。陣。1. 矩陣的基本概念矩陣的基本概念 矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)乘運(yùn)算同數(shù)字矩陣矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)乘運(yùn)算同數(shù)字矩陣的對(duì)應(yīng)運(yùn)算有相同的運(yùn)算定律。的對(duì)應(yīng)運(yùn)算有相同的運(yùn)算定律。數(shù)字矩陣行列式的

6、定義也可應(yīng)用到數(shù)字矩陣行列式的定義也可應(yīng)用到 矩陣，且性質(zhì)矩陣，且性質(zhì)相同相同。 n階階 矩陣的行列式是矩陣的行列式是 的多項(xiàng)式，且滿足的多項(xiàng)式，且滿足 | |A( )B( )|=|A( ) |B( )| 定義定義2 設(shè)A( ) P m n，如果A( )中有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子式全為零，稱A( )的秩為r，記為rank(A( )=r數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣A的特征矩陣的特征矩陣 I-A是是 的的n次行列式，所以是次行列式，所以是滿秩的。滿秩的。 矩陣的秩矩陣的秩 定義3 設(shè)A( ) P m n，如果存在一個(gè)存在一個(gè)n階階 矩陣B( )使得 A( )B( ) =B( ) A( )=I 則

7、稱A( )可逆， B( )為A( )的逆矩陣記作的逆矩陣記作A( )-1。定理1 設(shè)設(shè)A( ) P m n，A( )可逆的充要條件是可逆的充要條件是|A( ) |是非是非零常數(shù)零常數(shù)。 矩陣的逆矩陣的逆 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義4 4 初等變換初等變換(1)對(duì)換兩行（列）；對(duì)換兩行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常數(shù)某行（列）乘上非零的常數(shù)k；(3) 某一行某一行(列列)的的 ( )倍加到另一行，其中倍加到另一行，其中 ( )是是 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)三種初等變換，有三種初等矩陣對(duì)應(yīng)三種初等變換，有三種初等矩陣P(i,j).P(i(k),P(i,j( )(1)做一次初等行（列）變

8、換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等做一次初等行（列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣矩陣;(2)初等矩陣都是可逆的：初等矩陣都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k)-1=P(i(k-1)，P(i,j( )-1=P(i,j(- )相抵（等價(jià)）相抵（等價(jià)）定義定義5 設(shè)設(shè)A( ), B( ) P m n，若若A( )經(jīng)有限次行、列初等經(jīng)有限次行、列初等變換化為變換化為B( ),稱稱A( )與與B( )相抵相抵（等價(jià)）（等價(jià)） ，記為，記為A( ) B( )定理定理2 設(shè)設(shè)A( ), B( ) P m n，A( )與與B( )相抵的充要條件相抵的充要條件是存在是存在m階初等矩陣階初等

9、矩陣P1( ), P2( ), Pl( ),與與n階初等矩陣階初等矩陣 Q1( ), Q2( ), Qt( ), ，使得，使得 A( )=Pl( ) P1( )B( ) Q1( )Q2( ) Qt( ) 3. 矩陣在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型定義定義6 該標(biāo)準(zhǔn)型稱為該標(biāo)準(zhǔn)型稱為A( )在在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型或相抵下的標(biāo)準(zhǔn)型或Smith標(biāo)準(zhǔn)型；標(biāo)準(zhǔn)型；稱稱smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型“主對(duì)角線主對(duì)角線”上非零元上非零元d1( ),d2( ),dr( ) 為為A( )的的不變因子不變因子定理定理 對(duì)任意一個(gè)秩為對(duì)任意一個(gè)秩為r的的m n 階階 -陣陣A( )，都相抵于一個(gè)標(biāo)，都相抵于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型準(zhǔn)型d

10、i( )為首項(xiàng)系數(shù)為為首項(xiàng)系數(shù)為1的的 多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式，且di( ) |di+1( ) 00021)()()()( rdddA例例1 求求矩陣矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形 222211121 )(A解題思路： 經(jīng)過(guò)一系列初等行變換或初等列變換使得左上角的元素次數(shù)逐漸降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。 22322212122213121222211322213122220000100001000010012111012111121,)()()()()()(A 解解: 313323322322120000001000000100000100001)()()()()(1 d)(2 d)(3 d不變

11、因子：不變因子：將其化成將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形。例例2 2)1()1()( A解：解： 1)2()1()1()1()1()1()(3232)2(22 rrccA 22)2(323)1()1(11)1()1(1)2(02)1(2323 ccrr3 矩陣的行列式因子和初等因子定義1 設(shè)A( ) P m n，且rank(A( )=r，對(duì)于正整數(shù)k (1k r),A( )中的全部k階子式的最大公因式稱為A( )的k階行列式因子，記為Dk( ).定理定理1 相抵的相抵的 矩陣有相同的秩和相同的各階行列矩陣有相同的秩和相同的各階行列式因子式因子例1 求求 矩陣矩陣的各階行列式因子。 2)1()1(

12、)( A解 由于由于( +1)2, )=1,所以所以D1( )=1)1()()()1()1(00)1()()1()1(00),()1(00)1(233222212 D故最后最后 D3( ) = det (A( ) = 2( +1)3 行列式因子和不變因子的關(guān)系設(shè) 矩陣A( )的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為 001)()( rdd其中其中di( ) (i=1,2r)是首項(xiàng)系數(shù)是是首項(xiàng)系數(shù)是1的不變因子，的不變因子，則A( )的各階行列式因子如下： )()()()()()()()()( rrdddDddDdD2121211于是Di( )|Di+1( )，(i=1,2,r-1)di+1( )=Di+1 ( )

13、/Di( ), (i=1,2,r-1)定理2 矩陣A( )的Smith標(biāo)準(zhǔn)型唯一。定理3 設(shè)A( ), B( ) P m n，A( )與B( )相抵的充要條件是它們有相同的行列式因子，或它們有相同的不變因子。例2 求下列 矩陣的行列式因子和不變因子 一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用行列式因子求不變因子較復(fù)雜，但對(duì)一些特殊的矩陣先求行列式因子再求不變因子反而簡(jiǎn)單。mmiiiA 111)(其中 i是數(shù)域P中的常數(shù)。解 由于由于A( )的一個(gè)的一個(gè)m-1階子式階子式 故故Dm-1( )=1,根據(jù)行列式因子的依次整除性，有根據(jù)行列式因子的依次整除性，有 D1( )=D2( )=Dm-2( )=1 而而Dm( )=( -

14、i)m，因此，因此A( )的不變因子為的不變因子為 d1( )=d2( )=dm-1( )=1,dm( )=( - i)m1)1(111 mii 設(shè)設(shè) 矩陣矩陣A( )的不變因子為的不變因子為d1( ),d2( ),dr( ) ，在復(fù)數(shù)域內(nèi)將，在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的乘積它們分解成一次因式的乘積 rsrrsseseereseeeseeddd)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211 其中，其中， 1 s是互異的復(fù)數(shù)，是互異的復(fù)數(shù)， eij是非負(fù)整數(shù)，滿足是非負(fù)整數(shù)，滿足 rsssrreeeeeeeee212221212111000初等因子初

15、等因子定義定義2 在不變因子的分解式中，所有指數(shù)大于在不變因子的分解式中，所有指數(shù)大于0的因子的因子sjrieijejij,.2 , 1,.1, 0,)( 稱為稱為 矩陣矩陣A( )的初等因子。的初等因子。注：注：在在A( )的秩已知的情況下，不變因子和初等因子相互確的秩已知的情況下，不變因子和初等因子相互確定定例3 如果如果 矩陣矩陣A( )的不變因子為的不變因子為2,1, 2323(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,(2)則則A( )的初等因子為的初等因子為)2()1()1()()1()1()(),1()(, 1)(332422321 dddd , , 2, -1, ( -1)2, (

16、 -1)3, ( +1)2, ( +1)3, -2 反過(guò)來(lái)，如果知道了A()的秩和初等因子，因?yàn)锳()的秩確定了不變因子的個(gè)數(shù)，則同一個(gè)一次因式的方冪做成的初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的必在dr-1()的分解中，如此順推，可知屬于同一一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中唯一確定。例如 如果A( )的秩為4，且其初等因子為則A( )的不變因子依次不變因子依次為為d4( )= 2 ( -1)3 ( -i)3 ( +i)3d3( )= ( -1)2,d2( )= ( -1),d1( )=1 , , 2, -1, ( -1)2, ( -1)3, ( -i)2, ( +i

17、)3定理定理7 設(shè)設(shè) 矩陣矩陣為塊對(duì)角形矩陣，則B( )與C( )的初等因子的全體是A( )的全部初等因子。該定理可以推廣到n個(gè)分塊的情形定理定理6 設(shè)設(shè)A( ), B( ) P m n，A( )與與B( )相抵的充要條件是相抵的充要條件是它們有相同的秩和相同的初等因子。它們有相同的秩和相同的初等因子。 )()()( CBA例4 求22000000( )00(1)10022A的Smith標(biāo)準(zhǔn)型解 記那么21223( ),( )(1)1( )22AAA )()()()(321 AAAA因?yàn)?A1( )的初等因子為 , +1; A2( )的初等因子為 , A3( )的初等因子為 , -1, +1；

18、由上面的定理可知A( )的初等因子為 所以A( )的不變因子為 , , , -1, +1, +1d4( )= ( -1)( +1),d3( )= ( +1)d2( )= ,d1( )=1因此A( )的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為 )1)(1(0000)1(000000001)( A4 矩陣相似的條件矩陣相似的條件.定理定理1 數(shù)字方陣數(shù)字方陣A與與B相似的充分必要條件是它們的特征相似的充分必要條件是它們的特征矩陣矩陣 E-A與與 E-B相抵。相抵。定義定義1 n階數(shù)字方陣階數(shù)字方陣A的特征矩陣的特征矩陣 E-A的行列式因子，不的行列式因子，不變因子和初等因子分別稱為變因子和初等因子分別稱為矩陣矩陣A的行

19、列式因子，不變因的行列式因子，不變因子和初等因子。子和初等因子。4 矩陣相似的條件矩陣相似的條件.定理定理2 n階數(shù)字方陣階數(shù)字方陣A與與B相似的充分必要條件是他們滿足相似的充分必要條件是他們滿足如下條件之一：如下條件之一：（1）它們有相同的）它們有相同的行列式因子，行列式因子，（2）它們有相同的不變因子）它們有相同的不變因子,（3）它們有相同的初等因子。）它們有相同的初等因子。5 矩陣的矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型定義定義1 稱方陣稱方陣為為 階階Jordan 塊。塊。由若干個(gè)由若干個(gè)Jordan 塊組成的塊對(duì)角矩塊組成的塊對(duì)角矩陣陣稱為稱為Jordan 形矩陣。形矩陣。in1(),1,2

20、,1iiiiiiinnJis ni 階階Jordan 塊塊Ji的性質(zhì)：的性質(zhì)：（1） Ji由有唯一的特征值由有唯一的特征值 i（2）特征值）特征值 i的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為1，代數(shù)重?cái)?shù)為，代數(shù)重?cái)?shù)為ni （3） Ji 有唯一的初等因子有唯一的初等因子 ；()iniJordan 塊塊Ji的性質(zhì)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 僅有一個(gè)僅有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性無(wú)關(guān)的特征向量i （4）Jordan 塊塊Ji的性質(zhì)的性質(zhì)可使用歸納法證明可使用歸納法證明111122221111iiiiiink nkkkikikikink nkkikikinnkikkikikiCCCCCJCC 1122(),(),

21、()ssJdiag JJJ 設(shè)Jordan形矩陣其中，Ji= Ji( i)是ni階階Jordan塊，則塊，則（1）J的初等因子為的初等因子為（2）J恰有恰有s個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；注：注： Jordan形矩陣的全部初等因子由它的全部形矩陣的全部初等因子由它的全部Jordan塊的塊的初等因子決定初等因子決定 ，因此，因此Jordan形矩陣除去其中形矩陣除去其中Jordan塊的排塊的排列次序外被它的列次序外被它的初等因子初等因子唯一決定。唯一決定。,),.()( ,)(snsnn 2121定理定理1 設(shè)設(shè) ，則則A可經(jīng)過(guò)相似變換可化成唯一的可經(jīng)過(guò)相似變換可化成唯一的 Jord

22、an形矩陣形矩陣 (不計(jì)不計(jì)Jordan塊的排列次序塊的排列次序)，稱該，稱該Jordan形形矩陣矩陣1122(),(),()ssJdiag JJJ 為為A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型. Ji( i)為為A的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)初等因子初等因子 - i的的Jordan塊塊n nAC 求方陣求方陣的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。例例1 441301621A解： 首先用初等變換法求其首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：故故 A 的初等因子為的初等因子為 -1,( -1)2 2)1(1141131621 AI從而從而A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為 或初等因子法的缺點(diǎn)是初等因子法的缺點(diǎn)是不能求出

23、相似變換矩陣不能求出相似變換矩陣。 100010011J 100110001J定理定理2 設(shè)設(shè)T是復(fù)數(shù)域上是復(fù)數(shù)域上n維線性空間維線性空間V的線性變換，則在的線性變換，則在V中存在一組基使得中存在一組基使得T在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 Jordan形矩陣。形矩陣。定理定理3 設(shè)設(shè)A Cn n，則，則A于一個(gè)對(duì)角陣相似的充要條件是于一個(gè)對(duì)角陣相似的充要條件是A的初等因子都是一次的。的初等因子都是一次的。求相似變換矩陣的步驟求相似變換矩陣的步驟 由定理由定理1知道，方陣與標(biāo)準(zhǔn)型知道，方陣與標(biāo)準(zhǔn)型J 是相似的，即存在可逆是相似的，即存在可逆矩陣矩陣P，使得：，使得：A=PJP-1，即，即A

24、P=PJ,求法如下：求法如下：設(shè)nnnCpppP ,21nnnCjjjJ ,21即即,212121nnnjjjppppppA 所以所以： nnnnnjpppApjpppApjpppAp, ,2122121211解方程并選擇適當(dāng)?shù)慕夥匠滩⑦x擇適當(dāng)?shù)?即得。即得。12,np pp求方陣求方陣的相似變換矩陣的相似變換矩陣 。例例2 441301621A解：解：由例由例1知，矩陣的知，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為標(biāo)準(zhǔn)型為 100110001J求相似變換矩陣：求相似變換矩陣： 設(shè)所求矩陣為設(shè)所求矩陣為P，則，則AP=PJ ，對(duì)于，對(duì)于P 按列分塊記為按列分塊記為,321pppP ,100110001,32

25、21321321321pppppppTJApApAppppAAP 從而：從而： 3232211 ppAppAppAp2321)(, 0)(, 0)(ppAIpAIpAI 整理后得三個(gè)方程組為：整理后得三個(gè)方程組為：前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系：礎(chǔ)解系：,1 , 0 , 3,0 , 1 , 121TT 這是因?yàn)槿绻@是因?yàn)槿绻鹥2 選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程組無(wú)解。令：組無(wú)解。令： p2= k1 1+k2 2將將 其代入第三個(gè)方程，選取適當(dāng)?shù)钠浯氲谌齻€(gè)方程，選取適當(dāng)?shù)膋1， k2

26、使使(I-A)p3=-( k1 1+k2 2) 有解。有解?？梢匀】梢匀1= 1,但不能簡(jiǎn)單取但不能簡(jiǎn)單取p2= 2.TTpp) 1 0, , 2(,) 1 1, , 2(32 根據(jù)非齊次方程有解的條件：根據(jù)非齊次方程有解的條件： 系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的秩為秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩為，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩為1 令令k1 =k2 =1，由此得，由此得 212122113113113622)|(kkkkkkAI 那么所求相似變換矩陣為那么所求相似變換矩陣為 110011221,321pppP 10011

27、00011JAPP三、三、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用對(duì)于方陣對(duì)于方陣A，求，求An,若若A=P-1JP, An =P-1JnP應(yīng)用：應(yīng)用：1）一階差分方程）一階差分方程Uk+1=AUk=AkU0,例如：例如：Fibonacci數(shù)列數(shù)列Fk+2=Fk+1+Fk, 寫(xiě)成寫(xiě)成Uk+1=AUk形式形式21111112=+=1111A01011+ 51- 5=0.618=-0.61822,kkkkkkkkkkFFFFUFFFUU由由方方程程組組，令令則則，的的特特征征值值分分別別為為，三、三、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題，特征值決定增長(zhǎng)速度，是無(wú)限增

28、長(zhǎng)這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題，特征值決定增長(zhǎng)速度，是無(wú)限增長(zhǎng)還是趨于穩(wěn)定還是趨于穩(wěn)定An0，稱，稱A是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的，如果所有的特征值如果所有的特征值1,且且A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則則A是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。1000112210010010010011122211=00 618,.FUFUC xC xFCxCxC 寫(xiě)寫(xiě)成成特特征征向向量量的的線線性性組組合合形形式式則則三、三、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用例例3 對(duì)于方陣對(duì)于方陣 441301621A求A10解：解：由例由例1知，矩陣的知，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為標(biāo)準(zhǔn)型為 100110001J由例由例2知，矩陣的相似變換矩陣為知，矩陣的相似變換矩陣為 110011221P從而從而 311010309106020193112011201100101000111001122111010PPJA6 Cayley- Hamilton定理與最小多項(xiàng)式定理與最小多項(xiàng)式定義1 任給數(shù)域 P 上一個(gè)n 級(jí)矩陣 A，若存在數(shù)域 P 上一個(gè)