第九章 多元函數(shù)微分法2015

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) (上冊P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別

2、異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)求導公式隱函數(shù)求導公式第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(0oPPUPP 00一、一、 區(qū)域區(qū)域鄰域鄰域點集, ),(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0目錄 上頁 下

3、頁 返回 結束 :長方形面積長方形面積xySxyS 00yx,:上半單位球面方程上半單位球面方程221yxzxyzo),(),(122yxyxDyx二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義1. 設非空點集,nDRDPPfu, )(或點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結

4、束 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設 n 元函數(shù),(nDPPfR),點 , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當 n =2 時, 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對一記作，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設 n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(li

5、m00PfPfPP0)(PPf在點如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時稱為間斷點 .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 結論結論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié)一、一、 偏導數(shù)概念及其計算偏導數(shù)概念及其計算二二 、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù) 偏 導 數(shù) 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、偏導數(shù)的定義及其計算法:一元函數(shù)一元函數(shù))(xfy :點導數(shù)點導數(shù)在在0 xxxfxxfxfx)()(lim)(0000?),(:怎樣定義偏導數(shù)怎樣定義偏導數(shù)對對問題問題yxfz 目錄 上頁 下頁 返回 結束

6、 定義定義1.),(yxfz 在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:一、一、 偏導數(shù)定義及其計算法偏導數(shù)定義及其計算法目錄 上頁 下頁 返回 結束 0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導數(shù) li

7、m0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù), 也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導數(shù)存在 ,yzyfyz目錄 上頁 下頁 返回 結束 0(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 0( ,)( , )( , )limyyf x yyf x yfx yy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2)

8、 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目錄 上頁 下頁 返回 結束 :偏導數(shù)的求法,.求多元函數(shù)對哪個自變量的偏導數(shù)就將其它自變量看作常數(shù) 用一元函數(shù)求導法則及公式求偏導目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 yyxx yz求證,1yxyxxylnz2目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數(shù)偏導數(shù)xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號

9、，不能拆分;有關偏導數(shù)的幾點說明：有關偏導數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)設 z = f (x , y)在域 D 內(nèi)具有偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) . 按求導順序不同, 有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似可以

10、定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關于 y 的一階) (yyxznn1偏導數(shù)為11nnxz目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求函數(shù)2exyz解解 :xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結論并不總成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二階偏導數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d全微分目錄 上頁 下頁 返回

11、 結束 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.AxBy目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微

12、可微 ,則該函數(shù)在該點的偏導數(shù)yzxz,dzzzdxd yxy必存在,且有函數(shù)可微偏導數(shù)存在 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 計算函數(shù)的全微分. zyyxue2sin解解: udxd1yyd)cos(221 zyzydezyze目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四節(jié)一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分多元復合函數(shù)的求導法則 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(),(ttfz一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法

13、則定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數(shù)且有鏈式法則vutt( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 )分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導單路全導, 叉路偏導叉路偏導目錄 上頁 下頁 返回 結束 例623,sin ,.xydzzext ytdt而求目錄 上頁 下頁 返回 結束 推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. , ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu例如,目錄

14、上頁 下頁 返回 結束 例例7. 設設,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx口訣口訣 :分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導數(shù)及其導數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導數(shù)及其導數(shù)隱函數(shù)的求導方法 1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02CyxC 0

15、 時, 不能確定隱函數(shù)2) 方程能確定隱函數(shù)時, 研究其連續(xù)性,可微性及求導方法問題.本節(jié)討論本節(jié)討論:目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)定理定理1.1. 設函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00( , )0(,)F x yxy在連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有yxFFxydd(隱函數(shù)求導公式) 具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件目錄 上頁 下頁 返回 結束 2sine0,xdyyxydx求例8 設目錄

16、 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應用問題二、最值應用問題 三、條件極值三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內(nèi)有xyzOxyzOxzyO(

17、極小值).目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導數(shù),0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在yxz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 時, 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfy

18、x),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9.9. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、最值應用問題二、最值應用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別,