選修二4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式 (1)

1、4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式 (1) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學習等比數(shù)列的前n項和公式數(shù)列是高中代數(shù)的主要內容，它與數(shù)學課程的其它內容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要地位。學生在已學習等差數(shù)列前n項和公式的基礎上，引導學生類比學習等比數(shù)列前n項和公式，讓學生經(jīng)歷公式的推導過程，體會化無限為有限，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力。發(fā)展學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應用

2、B會用錯位相減法求數(shù)列的和C能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.1.數(shù)學抽象：等比數(shù)列的前n項和公式2.邏輯推理：等比數(shù)列的前n項和公式的推導3.數(shù)學運算：等比數(shù)列的前n項和公式的運用4.數(shù)學建模：等比數(shù)列的前n項和公式重點：等比數(shù)列的前n項的運用難點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、 新知探究 國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子

3、.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質量為40克，據(jù)查，2016-2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.問題1：每個格子里放的麥粒數(shù)可以構成一個數(shù)列,請判斷分析這個數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個等比數(shù)列的通項公式.是等比數(shù)列,首項是1，公比是2，共64項. 通項公式為an=2n-1問題2：請將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學問題.求這個等比數(shù)列的前64項的和，即：1+2+22+23+263=？ 問題3：如何求解該問題.回顧：等差數(shù)列的前 n 項和公式的推導過程.等差數(shù)列 a1,a2, a3, an的前 n項

4、和是Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根據(jù)等差數(shù)列的定義an+1-an= dSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 + 得，2Sn=n(a1+an).所以Sn=n(a1+an).2問題4：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢？在等比數(shù)列中a1+ana2+an-1a3+an-2，所以2Snn(a1+an). 對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質，即求和的根本目的.問題5：求和的根本目的是什么？思路：為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示.Sn=a1+a1q+a2q2+

5、a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 問題6：觀察 式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？an=an-1q(n2,q0)問題7：如何構造另一個式子，與原式相減后可以消除中間項？Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn 設等比數(shù)列 an 的首項為a1 ，公比為q ，則an 的前n項和是SnSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-

6、2+a1qn-1+a1qn - 得, Sn -qSn=a1 -a1qn即Sn(1 -q)=a1( 1-qn)問題8：要求出Sn，是否可以把上式兩邊同時除以(1 -q) ？Sn(1 -q)=a1( 1-qn)當1 -q=0 時，即 q=1 時，Sn=na1當1 -q0 時，即 q1 時， Sn=a1( 1-qn) 1 -q等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項a1、公比q(q1)與項數(shù)n首項a1、末項an與公比q(q1)首項a1、公比q1求和公式Sn Sn Sn ; na1 問題3的解決： “請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4

7、顆麥粒依次類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”1+2+22+23+263a1=1,q=2，n=64S64=1× ( 1-264) 1 -2 =264 -1>1.84×1019一千顆麥粒的質量約為40g，據(jù)查，2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸.不能實現(xiàn)！二、典例解析例1.已知數(shù)列是等比數(shù)列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求.解：（1）因為，所以.（2）由，可得，即.又由，得 .所以 .（3）把，代入，得，整理，得 ，解得.例2 已知

8、等比數(shù)列的首項為，前項和為，若，求公比.解：若，則，所以.當時,由得，.整理，得 ，即 .所以 .在等比數(shù)列an的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達到整體消元的目的這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用跟蹤訓練1. 已知等比數(shù)列an滿足a312，a8，記其前n項和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若Sn93，求n.解：(1)設等比數(shù)列an的公比為q，則解得所以ana1qn148×n1.(2)Sn96.由Sn93，得9693，解得n5.例3 已知

9、等比數(shù)列的公比，前項和為.證明，成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.證明:(方法一)當時，所以，成等比數(shù)列，公比為1.當時，所以 .因為為常數(shù),所以，成等比數(shù)列，公比為.(方法二) ， ， .所以 .因為為常數(shù)，所以，成等比數(shù)列，公比為.結論：等比數(shù)列的公比，前項和為，則，成等比數(shù)列，公比為.注：當時，此結論不一定成立.例如，當時，此結論不成立.以國際象棋為背景，提出等比數(shù)列求和問題，激發(fā)學生探究欲望。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過問題串，層層遞進，引導學生探究等比數(shù)列的求和問題。發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。增強應用意識。通過典型例題，加深對等比數(shù)列求和

10、公式的理解和運用，體會等差與等比數(shù)列的內在聯(lián)系。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素。通過典型例題，加深學生對等比數(shù)列求和公式的綜合運用能力。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素三、達標檢測1等比數(shù)列an中，a11，公比q2，當Sn127時，n()A8 B7C6 D5B解析：由Sn，a11，q2.當Sn127時，則127，解得n7.故選B.2等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2S30，則公比q()A1 B1C2 D2 A解析：a2S3a2(a1a2a3)0，a12a2a3a1(12qq2)a1(1q)20.又a10，q1.故選A3已知等比數(shù)列an的公比為2，

11、且Sn為其前n項和，則()A5 B3C5 D3C解析：由題意可得：1(2)25，故選C4已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a13，S39，則S4()A12 B15C12或15 D12或15C解析：因為a13，S39，當q1時，滿足題意；故可得S44a112；當q1時，S39，解得q2，故S415.綜上所述S412或15.故選C5等比數(shù)列an中，公比為q，前n項和為Sn.(1)若a18，a32，求S4；(2)若S6315，q2，求a1.解：(1)由題意可得q2，所以q或q.當q時，S45；當q時，S415.綜上所述，S415或S45.(2)S6315，解得a15.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結（1）等比數(shù)列前項和公式，對于公比未知的等比數(shù)列，應用等比數(shù)列的前項和公式時，需討論公比是否為1；（2）等比數(shù)列前項和公式的推導：錯位相減法；（3）數(shù)學思想方法的應用:方程思想:等比數(shù)列求和問題中的“知三求二”問題就是方程思想的重要體現(xiàn)；分類討論思想：由等比數(shù)列前項和公式可知，解答等比數(shù)列求和問題時常常要用到分類討論思想.五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。由于教師不僅是知識的傳