經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-二階常系數(shù)差分方程

1、一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解二、二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 第八節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程第八節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程三、小結(jié) 1.1.定義定義 )(12xfbyayyxxx 形如形如)(0,(為為已已知知函函數(shù)數(shù)均均為為常常數(shù)數(shù)，其其中中xfba 常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程的的差差分分方方程程，稱(chēng)稱(chēng)為為二二階階稱(chēng)稱(chēng)為為齊齊次次的的時(shí)時(shí)稱(chēng)稱(chēng)為為非非齊齊次次的的，否否則則0)( xf稱(chēng)稱(chēng)為為相相應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程012 xxxbyayy2.解的結(jié)構(gòu)定理解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)線性差分方程的通解

2、二階常系數(shù)線性差分方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解.即. xxxyYy一一 、二、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解，代代入入得得為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程一一個(gè)個(gè)解解設(shè)設(shè))0( xxY012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程稱(chēng)稱(chēng)為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方,24,242221baabaa .稱(chēng)稱(chēng)為為相相應(yīng)應(yīng)方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符號(hào)號(hào)來(lái)來(lái)確確定定其其通通解解形形現(xiàn)現(xiàn)根根據(jù)據(jù)ba 如如下下形形式式：，此此時(shí)時(shí)的的通通解解具具有有與與有有兩兩個(gè)個(gè)相相異異的的實(shí)實(shí)特特征征根根21 ),(21

3、2211為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCCCYxxx (2)第二種情形第二種情形時(shí)時(shí)ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此時(shí)時(shí)征征根根方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)相相等等的的實(shí)實(shí)特特221a ),()2)(2121為任意常數(shù)為任意常數(shù)CCaxCCYxx (1)第一種情形第一種情形時(shí)時(shí)ba42 (3)第三種情形第三種情形時(shí)時(shí)ba42 ,征征根根方方程程有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛的的復(fù)復(fù)特特 i2ab4ia21i2ab4ia212221：把把它它們們化化為為三三角角表表示示式式)0 , 0(tan,r22 sin,cosrr 則則)sin(cos),sin(cos21 irir )xsinix(cosr

4、y)xsinix(cosryxx2)2(xxx1)1(x 解可以證明解可以證明都是對(duì)應(yīng)齊次方程的特都是對(duì)應(yīng)齊次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常數(shù)數(shù)CCxCxCrYxx 解解2560特征方程特征方程(2)(3)0即即122,3解解得得1223xxxyCC解解210250特征方程特征方程2(5)0 即即125 解解得得12()( 5)xxyCC x解解2109 特征方程特征方程1,23i 即即1,32r 于于是是121( ) (cossin)3

5、22xxyCxCx通通解解：二、二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項(xiàng)項(xiàng)是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項(xiàng)項(xiàng)是是該該方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特的的和和組組成成：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項(xiàng)項(xiàng)二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的通解為）的通解為即差分方程（即差分方程（(1) ( )( )nf xP x 21( )xxxnyaybyP x20ab )10iab ，( )xnyQx 令令可改寫(xiě)成：可改寫(xiě)成： 2(2)(1)( )xxxnyayab yP x特征方程為：特征方程為：

6、即即1 1不是特征方程的根時(shí)不是特征方程的根時(shí) 代入方程求解代入方程求解 )102iiiaba 且且)102iiaba 且且即即1 1是特征方程的單根時(shí)是特征方程的單根時(shí) ( )xnyxQx 令令即即1 1是特征方程的重根時(shí)是特征方程的重根時(shí) 2( )xnyx Qx 令令將上式代入方程，比較等式兩邊系數(shù)，求出將上式代入方程，比較等式兩邊系數(shù)，求出 ( )nQx解解022 0)1)(2( 即即1, 221 解得解得21)2(AAYxx 1 是是特特征征方方程程根根（不不是是重重根根）4xxyCxyx代代入入得得21)2(4AAxyxx 所所給給方方程程通通解解為為42,240,212112121

7、0 AAAAyAAAAy即即即即由由34,3421 AA可得可得34)2(344 xxxy故故此此時(shí)時(shí)特特解解為為解解12=-1=-4.1特特征征根根，不不是是特特征征根根xBByx10 可設(shè)可設(shè)xxBBxBBxBB 10101044)1(55)2(代入方程代入方程比比較較兩兩端端同同次次項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)有有 1100710110BBB101,100710 BBxyx1011007 則則1271( 1)( 4)10010 xxxyxCC 故故通通解解解解1212=-4=1.( 4)xxYCC，)(10 xBBxyx :代入方程得代入方程得xxBxBxBxBxBxB 21021021044)1(3)

8、1(3)2()2(101,50710 BB可得可得1271(),5010( 4),xxxyxxCC 又又Y Y通通解解為為1271()( 4)5010 xxyxxCCxxxyz 令令(2) ( )( )(1)xnf xP x 是是常常量量 ，即即方方程程21( )xxxxnyaybyP x 方程化為方程化為2121( )xxxxxxxnzazbzP x即即221( )xxxnza zbzP x由前面所討論方法求出由前面所討論方法求出xz 從而從而xxxyz 解解（1）對(duì)應(yīng)特征方程為）對(duì)應(yīng)特征方程為260特征根為特征根為122,3 故故123( 2)xxxYCC（2）3xxxyz 令令代入原方程

9、代入原方程2193621xxxzzzx對(duì)應(yīng)特征方程為對(duì)應(yīng)特征方程為29360特征根為特征根為1221,3 1是特征方程單根，令是特征方程單根，令()xzx AxB 代入原方程，比較系數(shù)，得代入原方程，比較系數(shù)，得12,1525AB 2121525xzxx 因此因此2123 ()1525xxyxx 原方程通解為原方程通解為212123( 2)3 ()1525xxxxyCCxx三、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解二階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解2.二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解練習(xí)題)2, 2( , 022)2()1, 1( , 0164)1(. 110121