2015年高考試題：正弦定理和余弦定理

1、溫馨提示：此題庫為Word 版，請按住Ctrl, 滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word 文檔返回原板塊?？键c 16 正弦定理和余弦定理一、選擇題1. （2015 ·廣東高考文科·T5）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C 的對邊分別為a,b,c. 若a=2,c=2 ,cosA= , 且 b<c, 則 b= （）A.B.2C.2D.3【解題指南】直接利用a2=b2+c2-2bccosA 即可求得b 的值 .2【解析】選 B 由余弦定理得：a2 b2 c2 2bccos ， 所以 22 b22 32 b 2 33 ，2即 b2 6b 8 0，解得：b 2或 b 4，因為 b

2、 c，所以 b 2二、填空題2. （2015 ·廣東高考理科·T11） 設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C 的對邊分別為a,b,c. 若 a = ,sinB= ,C= , 則 b =【解題指南】可先求出角B 的大小 , 再利用正弦定理求解.【解析】因為 sin B 1 且 B 0, ，所以 B 或 B 5 ，又 C ，所以 B ，26666A B C 2 ，又 a 3，由正弦定理得a b 即 3 b 解得 b 1.3sin A sin B 2sin sin36答案 : 13. （2015 ·北京高考理科·T12） 在ABC中 ,a=4,b=5,c=6, 則 sin

3、2A =.sinC利用二倍角公式展開sin2A, 再利用正、余弦定理角化邊222bcaa(b2 c2 a2)bc22asin2A 2sin AcosA2bcsinC sinCc2224 （5* 1 2 62 42）=21.5 62答案 : 14 .（2015 ·天津高考理科·T13） 在ABC中 , 內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c, 已知 ABC的面積為 3,b-c=2,cosA=-, 則 a 的值為又 S ABC理得22 ab0<A< , 所以 sin A 11 bc sin A 15 bc 3 15, 2822c 2bccosA 642 2 62

4、cos Abc24，解方程組15，464 所以bc2b c 2得b 6,c 4，由余弦定bc 24a=8.3答案 : 85.（2015T12） 若銳角ABC的面積為10 , 且 AB=5,AC=8, 則 BC等【解析】由正弦定理得36 , 所以 sin B 1 2 . 因為B (0,), 所以 B= .2 sin B234sin3答案 :48 ( 2015· 安徽高考文科·T12) 在 ABC中， AB 6 ， A 75 ， B 45 ， 則 AC【解題指南】根據(jù)正弦定理解三角形。ABAC0000【解析】由正弦定理可知：sin180 (7545 ) sin 45答案： 20

5、 sin 60AC0 sin 45AC 2三、解答題9.(2015 · 浙江高考文科·T16) 在ABC中 , 內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c. 已知 tan( +A)=2.(1) 求的值(2) 若 B= ,a=3, 求ABC的面積【解題指南】(1) 利用兩角和與差的正切公式, 得到 tan A 的值 , 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得到結(jié)論;(2) 利用正弦定理得到邊b 的值 , 根據(jù)三角形, 兩邊一夾角的面積公式計算得到三角形的面積 .(1) 由 tan( +A)=2 得 tan A= ,所以sin 2A2sin2A cos A2sin AcosA22sin

6、AcosA cos A2tan A 22tan A 1510.(2015 ·浙江高考理科·T16) 在ABC中 , 內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c, 已知3 101025110(2) 由 tan A 可得， sin A ,cos A310a 3, B ，由正弦定理知，b 3 54又 sin C sin( A B) sin AcosB cos Asin BA= ,b 2-a 2= c2.(1) 求 tan C 的值 .(2) 若ABC的面積為3, 求 b 的值 .(1) 根據(jù)正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系, 再將式子作三角恒等變形即可求解;(2

7、) 根據(jù)條件首先求得sin B 的值 , 再結(jié)合正弦定理以及三角形面積的計算公式即可求解( 1) 由b2212a= c及正弦定理得2sin B212sin A sin C22即 sin B1 sin2C ，2，2所以 cos2B sin C又因為 A 4 ，所以BC所以 cos2Bsin2C42sin C cosC2B 322C，2sin CcosCsin2CtanC 22)由tanC2， C0, 得 sin C2 5 ,cosC5又因為 sin BsinACsin(4C)sin cosC4cos sin C43 101022 b3A 4，1 bcsin A23 ，所以bc6 2 ，所以3.1

8、1.2015·安徽高考理科·T16). 在 ABC 中，, AB 46, AC 3 2, 點 D 在 BC 邊上，ADBD ，求 AD 的長。根據(jù)余弦定理解三角形。設(shè) AD=x, 由余弦定理得：BC2 AB2 AC2 2AB.AC.cosA62 (3 2)2 23 2 cos34 =90，所以BC=3 10 ，在 VABD 中，設(shè)ADB ，則ADC 1800設(shè) AD=x, 則 BD=x,DC=3 10 -x, 由余弦定理得：222AB AD BD 2AD .BD .cos ，2236 2x 2x cos (1)2220AC2 AD2 DC2 2AD.DC .cos(1800

9、)18 x2 (3 10 x)2 2x.(3 10 x).cos1 )(2)解得 x10 , 即 AD 10 。12. （ 2015·四川高考文科·T19）. 已知 A, B,C 為 VABC的內(nèi)角，tan A, tan B 是關(guān)于 x的方程 x2 3px p 1 0 （ p R） 的兩實根 .（ 1）求 C 的大小；（ 2）若AB 3,AC 6 ，求 p 的值 .【解題指南】（ 1）將三角函數(shù)與韋達(dá)定理結(jié)合，利用正切函數(shù)和角公式。（ 2）利用正弦定理和正切函數(shù)和角公式。本題將三角函數(shù)與韋達(dá)定理結(jié)合，考查正切函數(shù)和差角公式、解三角形基礎(chǔ)知識的運用. 題目較簡單，難度與題型與

10、全國卷相似，體現(xiàn)對考生基礎(chǔ)知識的運用能力，運算求解能力，較易拿分.【解析】13.（2015 ·四川高考理科·T19）如圖 ,A,B,C,D 為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角( 1) tan A, tan B 是關(guān)于 x的方程x23pxtanA tanB 3p ， tanA tan B 1 p ，tan A tan B3p所以 tan(A B)1 tan A tan BpC 60o.AB( 2)在VABC中，由正弦定理可得，ABsinC角形內(nèi)角和為180o 及誘導(dǎo)公式可知tan Atan A tan B 3 p ，解得 p 3 1 .p 1 0 的兩個根可得：3 ，則 A B

11、120o ，由三角形內(nèi)角和為180o 可知，AC2求得 sin B ，則 tanB 1. 又 tanC 3 ，由三sin B2tan( B C) ，解得 tan A 23 ，將 tan A, tan B 代入A(1) 證明 : tan A21 cosAsinAAB(2) 若A+ C=180° ,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5, 求 tan tanCD tan tan2(1) 利用二倍角公式, 分子分母同時展開.(2) 利用 (1) 的結(jié)果 , 再結(jié)合余弦定理求解.77(1) 右邊 =A sin2A cos22A 2sin2AA 2sin cosAtan =左邊,2故原式成立.

12、(2) 由 (1) 知 ,A 1 cosA tan2 sintan B21 cosBsinB,tan C21 cosCsinC, tan D21 cosDsinD又A+ C=180° , 所以B+ D=180° ,所以 sinA=sinC,cosC=-cosA,sinD=sinB,cosD=-cosB,1 cosA 1 cosB 1 cosC 1 cos D 所以 , 原式 =sinAsinBsinCsin D1 cosA1 cosA1 cosB1 cosBsinA 2sinA2sinBsin Bsin A sin B在三角形DAB中 ,BD2=AB2+AD2-2AB

13、83; ADcos DAB=36+25-2× 6× 5cos DAB=61-60cos DAB,在三角形BCD中 ,BD2=BC2+CD2-2BC· DCcos BCD=9+16-2× 3× 4cos BCD 所以 ,61-60cos DAB=25+24cos DAB32 102 10cos DAB ,sin DAB ,即 sin A 77sinB 6 1019224 10所以 , 原式 =.sin A sin B 314.(2015 · 新課標(biāo)全國卷文科·T18)(12 分 )已知 a,b,c 分別是ABC內(nèi)角A,B,C

14、的對邊 ,sin 2B=2sin Asin C.(1) 若 a=b, 求 cos B.(2) 若 B=90° , 且 a= , 求 ABC的面積 .【解題指南】(1) 根據(jù)正弦定理將sin 2 B=2sin Asin Ccos B.(2) 利用勾股定理及b2=2ac 求出c, 然后確定變?yōu)閎2=2ac, 再利用余弦定理求出ABC的面積.【解析】(1) 因為 sin 2B=2sin Asin C,所以 a=2c.b2=2ac, 因為a=b,222 acb cosB2ac2c c12ac 2a 42)因為B 90o，所以a2 c2b2，又b2 2ac，所以a2 c2 2ac，即 a c

15、2，所S ABC221215.(2015 ·新課標(biāo)全國卷理科·T17)(12 分 ) ABC中 ,D 是 BC上的點,AD 平分 BAC,ABD是ADC面積的2 倍 .(1)求 .(2) 若 AD=1,DC= , 求 BD和 AC的長.【解題指南】(1) 由正弦定理確定.(2) 由余弦定理求BD和 AC的長.【解析】(1)S ABD= AB· ADsin BAD,S ADC= AC· ADsin CAD,S ABD=2S ADC, BAD= CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得= = .(2) 因為S ABD S ADC=BD DC,所以BD= .在

16、ABD和ADC中 , 由余弦定理知,AB2=AD2 +BD2-2AD · BDcos ADB,AC2=AD2 +DC2-2AD · DCcos ADC, 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由 (1) 知 AB=2AC,所以 AC=1.16.(2015 · 新課標(biāo)全國卷文科·T17) ABC中 D是 BC邊上的點,AD 平分 BAC,BD=2DC.(1) 求 .(2) 若 BAC=60° , 求 B.【解題指南】(1) 由正弦定理求解.(2) 結(jié)合 , 求出 sin C, 從而確定B的值 .【解析】(1) 由正弦定理得= BD

17、 ,= DC , 因為AD平分BAC,BD=2DC,所以.(3) 因為C=180° -( BAC+ B), BAC=60° ,所以 sin C=sin( BAC+ B)= cos B+ sin B.由 (1) 知 2sin B=sin C, 所以 tan B= , B=30° .17. (2015 ·江蘇高考·T15) 在ABC中 , 已知 AB=2,AC=3,A=60 ° .(1) 求 BC的長.(2) 求 sin2C 的值 .【解題指南】(1) 利用余弦定理可求得BC的長.(2) 先利用正弦定理求出sinC 的值 , 再利用余弦定

18、理求出cosC 的值 , 最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C 的值 .【解析】(1) 在ABC中 , 由余弦定理可知,BC2= AC2+ AB2-2AC · AB· cosA, 即 BC2=32+22-23× 2× cos60 ° , 解得 BC= .(2) 由正弦定理可知AB BC 即 27sinC sinA sinC sin60o解得 sinC= 721 ; 由余弦定理可3得 ,cosC=BCABC 面積的最大值為19.(2015 ·山東高考文科·T17)( 本小題滿分12 分 ) AC2 AB2 = ( 7)2

19、32 22 = 2 72BC AC27 37所以 sin2C=2sinCcosC= 2 721 277=在ABC中 , 角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c. 已知 cosB 3 ,sin( A B)7 .18.(2015 ·山東高考理科·T16)( 本小題滿分12 分 ) 設(shè) f (x) sin xcosx cos2(x)4(1) 求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間.A(2) 在銳角ABC中 , 角 A,B,C 的對邊分別為a,b,c. 若 f (A) 0 ,a=1, 求ABC面積的最大2值.先將函數(shù)f(x) 化簡成一個角的一個三角函數(shù), 再結(jié)合面積公式和基本不等式求解 .(1

20、)f (x) sin xcosx cos2 (x)41 sin2x21 cos2(x )21 sin2x21sin 2x sin 2x2令22k令 2k22x232x22k2k所以f(x)(2)A f(A)2sin A,k,kZ ，得Z ，得0 ，且k ,k Z；,k Z.1，cosA222bca2bcS ABC1bc sin A2(23) 12k,4(k Z)，單減區(qū)間為ABC為銳角三角形，所以A63bc b2 c2 1 2bc 1 ，所以234bck ,34123k (k Z).23 ，所6.求 sin9A和c 的值 .【解題指南】先判斷A+B,再將其看作一個整體, 利用兩角和與差的三角公

21、式, 結(jié)合正弦定理求解.在ABC中 , cosB 3 ，則 sin B 6 .53933sin( A B) 66 ，所以 A B 為鈍角，cos(A B)所以 sin A sin( A B93B) sin( A B)cos B cos( A B)sin B63 ( 53)62 2.即 sinA 2 2.939333sin Csin(A B)6,sinA9223ac 2 3 ，22asin Asin CacsinA 2 csinC36 c22 3 ，所以 c 1 .20. (2015 ·陜西高考理科·T17)( 本小題滿分12 分 ) C的內(nèi)角, ,C 所對的邊 分別為 a,b,c. 向量 m=(a, b) 與 n=(cos ,sin ) 平行 .(1) 求 .(2) 若a=,b=2, 求C的面積 .【解題指南】(1) 先利用m n 得 asinB- bcosA=0, 再利用正弦定理轉(zhuǎn)化