信息光學(xué)(傅里葉光學(xué))Chap3-1

1、第三章 標(biāo)量衍射理論 Scalar Theory of Diffraction衍射: 不能用反射或折射來(lái)解釋的光對(duì)直線(xiàn)光路的任何偏離衍射理論實(shí)際上就是光波傳播的規(guī)律標(biāo)量衍射理論: 是對(duì)矢量理論的簡(jiǎn)化. 條件:1. 衍射孔徑波長(zhǎng)2. 衍射場(chǎng)(觀(guān)察區(qū)域)不太靠近孔徑首先要對(duì)標(biāo)量波進(jìn)行數(shù)學(xué)描述3-1 光波的數(shù)學(xué)描述單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示光場(chǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系: 由頻率n表征.光振動(dòng)是空間點(diǎn) (P)和時(shí)間(t)的實(shí)簡(jiǎn)諧函數(shù), 可表為:u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P)振幅頻率初位相可見(jiàn)光: n 1014Hz嚴(yán)格單色光: n為常數(shù)光場(chǎng)隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在: (1) 空間各點(diǎn)的振幅可能

2、不同(2) 空間各點(diǎn)的初位相可能不同, 由傳播引起.光場(chǎng)變化的空間周期為l.光場(chǎng)變化的時(shí)間周期為1/ n.將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示,有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算3-1 光波的數(shù)學(xué)描述單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示光場(chǎng)隨時(shí)間的變化e -j2pnt不重要: u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P) = ea(P)e-j2pnt -j(P) n 1014Hz, 無(wú)法探測(cè)n為常數(shù),線(xiàn)性運(yùn)算后亦不變對(duì)于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分.故引入復(fù)振幅U(P):將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示,有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算= ea(P) e jj(P). e -j2pnt 復(fù)數(shù)表示有利于將時(shí)空變量分開(kāi)U(P) = a(P) e jj(P)#3

3、-1 光波的數(shù)學(xué)描述單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示: 說(shuō)明 U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù), 描寫(xiě)光場(chǎng)的空間分布, 與時(shí)間無(wú)關(guān);U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對(duì)位相arg(U)= j(P) 方便運(yùn)算,滿(mǎn)足疊加原理 實(shí)際物理量是實(shí)量. 欲恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng):# 光強(qiáng)分布: I = UU* 光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值, 正比于電場(chǎng)振幅的平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnt) 即可3-1 光波的數(shù)學(xué)描述球面波 : 空間分布點(diǎn)光源或會(huì)聚中心球面波: 等相面為球面, 且所有等相面有共同中心的波k = | k |=2p /l

4、, 為波數(shù). 表示由于波傳播, 在單位長(zhǎng)度上引起的位相變化, 也表明了光場(chǎng)變化的“空間頻率”(P(x,y,z)0zyx源點(diǎn)S(rk設(shè)觀(guān)察點(diǎn)P(x, y, z)與發(fā)散球面波中心的距離為r, k: 傳播矢量#球面波的等位相面: kr=c 為球面jkreraPU0)(則P點(diǎn)處的復(fù)振幅:j(P) = k . rk : 傳播矢量球面波: k/ra0: 單位距離處的光振幅3-1 光波的數(shù)學(xué)描述球面波 : 空間分布會(huì)聚球面波jkreraPU0)(距離 r 的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn): 222zyxr(P(x,y,z)會(huì)聚點(diǎn)S(r若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyx

5、xr#0zyxk光波的數(shù)學(xué)描述球面波 : 在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿 z 軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z 軸令點(diǎn)光源位于z = 0的平面上坐標(biāo)(x0, y0)處. 考察與其距離為z的x - y平面上的光分布Sx0zxy0y02/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近軸近似#光波的數(shù)學(xué)描述球面波 : 近軸近似只考慮 x - y平面上對(duì)源點(diǎn)S張角不大的范圍, 即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展開(kāi)(1+D)1/2 1+ D /2一級(jí)近似二級(jí)近似對(duì)振幅中r 的可作一級(jí)近似. 但因?yàn)?k 很大, 對(duì)

6、位相中的 r 須作二級(jí)近似#3.1 光波的數(shù)學(xué)描述二、球面波 : 近軸近似已將球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 軸正方向傳播.如果 z 0, 上式代表從 S 發(fā)散的球面波.如果 z l, 觀(guān)察距離 r (2)一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式1. 惠更斯包絡(luò)作圖法 (1678): 從某一時(shí)刻的波陣面求下一時(shí)刻波陣面的方法.把波陣面上每一面元作為次級(jí)子波的中心,后一時(shí)刻的波陣面是所有這些子波的包絡(luò)面.惠更斯原理不僅能解釋光的反射和折射, 也能預(yù)見(jiàn)光在通過(guò)簡(jiǎn)單孔徑時(shí)的衍射現(xiàn)象.但它只能判斷光的傳播方向,不能定量計(jì)算.#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾

7、霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉說(shuō) (1818): 子波間應(yīng)當(dāng)互相干涉,并且應(yīng)當(dāng)考慮不同方向子波的差異. 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理: 波陣面上任意未受阻擋的點(diǎn),產(chǎn)生一個(gè)與原波頻率相同的子波. 此后空間任何一點(diǎn)的光振動(dòng)是這些子波疊加的結(jié)果. 其數(shù)學(xué)表述為:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常數(shù)幅相因子傾斜因子球面子波表達(dá)式源點(diǎn)光擾動(dòng)U(P0)ds: 球面子波的振幅相干疊加觀(guān)察點(diǎn)(場(chǎng)點(diǎn))復(fù)振幅# 球面子波源3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點(diǎn)處的面元法線(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離所考慮的傳播方向與面元法線(xiàn)的夾角源點(diǎn)dsreKPUcPUjkr

8、)()()(0q成功: 可計(jì)算簡(jiǎn)單孔徑的衍射圖樣強(qiáng)度分布.局限:難以確定K(q ).無(wú)法引入-p /2的相移#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3. 基爾霍夫衍射公式的導(dǎo)出(1882)光場(chǎng)振動(dòng)應(yīng)滿(mǎn)足的波動(dòng)方程應(yīng)用數(shù)學(xué)工具格林定理光場(chǎng)復(fù)振幅必須滿(mǎn)足的亥姆霍茲方程對(duì)格林函數(shù)和光場(chǎng)復(fù)振幅函數(shù)施加一定的限制條件基爾霍夫邊界條件用格林定理解亥姆霍茲方程導(dǎo)出嚴(yán)格的衍射公式#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3. 基爾霍夫衍射公式的導(dǎo)出基爾霍夫邊界條件1. 在開(kāi)孔上各點(diǎn), 場(chǎng)分布U及其一階導(dǎo)數(shù) 與屏不存在時(shí)相同.2. 在不透明屏后各點(diǎn), U

9、及其一階導(dǎo)數(shù) 恒為0.3. 孔徑l, 觀(guān)察距離 r nUnU#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式在單色點(diǎn)光源照明平面孔徑的情況下:P0nPPrrdsreKPUcPUjkr)()()(0qdsrereajPUjkrjkr2) cos()cos(1)(0rn,rn,l過(guò)渡到惠-菲原理常數(shù)幅相因子 1/jl 自動(dòng)出現(xiàn)K(q)函數(shù)形式確定#3-2 基爾霍夫衍射理論 一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式對(duì)于更普遍的照明情況:1. 可以把任意復(fù)雜的光波分解為簡(jiǎn)單球面波的線(xiàn)性組合2. 波動(dòng)方程的線(xiàn)性性質(zhì), 允許對(duì)單個(gè)球面波應(yīng)用基爾霍夫公

10、式, 然后再把它們對(duì)P點(diǎn)的貢獻(xiàn)疊加起來(lái).普遍情形下用U(P0)代替 , 得:a0e jkrrdsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l#3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)考察基爾霍夫衍射公式與線(xiàn)性系統(tǒng)的關(guān)系第一步: 將基爾霍夫衍射積分?jǐn)U展到無(wú)窮故基爾霍夫衍射積分可寫(xiě)為:根據(jù): 對(duì)開(kāi)孔的假定基爾霍夫邊界條件1. 在開(kāi)孔上各點(diǎn), 場(chǎng)分布U及其一階導(dǎo)數(shù) 與屏不存在時(shí)相同.2. 在不透明屏后各點(diǎn), U及其一階導(dǎo)數(shù) 恒為0.nUnUdsreKPUjPUjkr)()(1)(0ql#3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)考察基爾霍夫衍射公式與線(xiàn)性系統(tǒng)的

11、關(guān)系第二步: 將基爾霍夫衍射積分表示成線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加積分2. 考慮x0- y0平面上的孔徑, ds = d x0 d y0, 觀(guān)察平面為x-y平面,則基爾霍夫衍射積分可寫(xiě)為:1jl e jkrrK(q )1. 令 h(P, P0) =代表孔徑上P0點(diǎn)的擾動(dòng)在觀(guān)察點(diǎn)P點(diǎn)處產(chǎn)生的貢獻(xiàn), 或者說(shuō)是P0點(diǎn)的子波源在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅分布#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)這正是描述線(xiàn)性系統(tǒng)輸入- 輸出關(guān)系的疊加積分: 輸入函數(shù): 孔徑平面上的復(fù)振幅分布 U(x0,y0) 輸出函數(shù): 觀(guān)察平面上的復(fù)振幅分布 U(x, y) 脈沖

12、響應(yīng): (x0,y0)點(diǎn)的子波源發(fā)出的球面波在觀(guān)察平 面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布h(x, y; x0,y0) 輸入U(xiǎn)(x0, y0)輸出U(x, y)傳播、衍射（h）光波傳播的規(guī)律,可以用一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)描述.但這個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)是否空不變的系統(tǒng)?#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)傳播現(xiàn)象看成線(xiàn)性空不變系統(tǒng)的條件： (1) 照明點(diǎn)光源足夠遠(yuǎn)，并且是近軸的 cos(n,r) -1 (對(duì)任何r都成立) (2) 觀(guān)察平面與孔徑的距離z , 并且仍考慮近軸近似 cos(n,r) 1由此可導(dǎo)出:K(q ) 11jl e jkrrh(P, P0) =#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基爾霍夫衍射理論 二、光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)將 r (源點(diǎn)-場(chǎng)點(diǎn)距離)展開(kāi):20202)()(yyxxzr對(duì)于固定的觀(guān)察平面,即固定的z, r僅決定于(x-x0, y-y0), 故脈沖響應(yīng)函數(shù)成為空不變的:),( )()()()(exp1),;,(00202022020200yyxxhyyxxzyyxxzjkjyxyxhl基爾霍夫衍射公式的疊加積分形式可進(jìn)一步寫(xiě)成卷積積分000000),(),(),(dydxyyxx