第5章-彎曲變形1

1、F撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程F按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角F梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算F簡(jiǎn)單超靜定簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法梁的求解方法第五章、彎曲變形F梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分研究范圍：梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究范圍：梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：研究目的：對(duì)梁作剛度校核；對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.1.撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移線位移。用用 y 表示。表示。 與與 y 軸同向?yàn)檎?，反之為?fù)

2、。軸同向?yàn)檎?，反之為?fù)。2.2.轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度動(dòng)的角度。用。用 表示，逆時(shí)表示，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。反之為負(fù)。二、二、撓曲線：撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為： y = y(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量dtg dyyx小變形小變形第5-1節(jié)、撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程FxyC C1yy 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分1( )

3、( )M xxEI一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程()()MxyxE I 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程yxM0( )0y xyxM0( ) 0y x()()MxyxEI適用：線彈性、小變形、平面彎曲適用：線彈性、小變形、平面彎曲)(xyy 撓曲線撓曲線: :曲曲 率率: :2/32)1 ()(1yxy )(1xy 小變形小變形1y撓曲線方程的其它形式撓曲線方程的其它形式)(xMyEI S( )EIyF x (4)( )EIyq x梁的（梁的（2階）彎矩方程階）彎矩方程梁的（梁的（3階）剪力方程階）剪力方程梁的（梁的（4階）載荷方程階）載荷方程求解以上微分方程分別需要幾個(gè)邊界

4、條件？求解以上微分方程分別需要幾個(gè)邊界條件？()()MxyxEI等截面直梁等截面直梁 EI = 常數(shù)常數(shù))()(xFxMS)()(xqxM 二、求撓曲線方程（彈性曲線）二、求撓曲線方程（彈性曲線）( )( )EIy xM x1( )( )dEIy xM xxC12( )( ( )d )dEIy xM xx x C x C 1.1.微分方程的積分微分方程的積分2.2.位移邊界條件（變形的幾何相容條件）位移邊界條件（變形的幾何相容條件）FABCFD轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程兩兩次次積積分分法法支座位移約束條件：梁的某些截面位移已知支座位移約束條件：梁的某些截面位移已知連續(xù)條件：連續(xù)條件：光滑

5、條件：光滑條件：0Ay0By0Dy0DCCyyCC右左或?qū)懗蒀CCCyy左右或?qū)懗蛇B續(xù)光滑性：連續(xù)光滑性：相鄰梁段的相鄰梁段的交接處交接處，相鄰兩截面應(yīng)具有，相鄰兩截面應(yīng)具有相同的撓相同的撓度和轉(zhuǎn)角度和轉(zhuǎn)角。FABCFD積分常數(shù)積分常數(shù)C1、C2的確定的確定在固定端，在固定端，撓度撓度和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角都等于零。都等于零。yxx0，y=0， 0在鉸支座上，撓度等于零。在鉸支座上，撓度等于零。yx0，y=0 x在彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)上，轉(zhuǎn)在彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)上，轉(zhuǎn)角等于零。角等于零。xa， 0yx討論：討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面

6、彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面等截面或或變截面梁的位移變截面梁的位移。 積分常數(shù)積分常數(shù)由撓曲線變形的由撓曲線變形的幾何相容條件幾何相容條件( (邊界條件邊界條件) )確定。確定。 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求解，較精確；使用范圍廣，直接求解，較精確； 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。計(jì)算較繁。例例 求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程( )()M xF xL寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)(

7、 )()EIyM xF xL 211()2EIyF xLC 3121()6EIyF xLC xC321(0)06EIyFLC 211(0)(0)02EIEIyFLC231211 ; 26CFLCFL 解：解：FLxy寫出彈性曲線方程并畫出曲線寫出彈性曲線方程并畫出曲線2323( )()(3)6266FFLFLFxy xxLxLxEIEIEIEI3max( )3FLyy LEI 2max( )2FLLEI 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xyFL3121()6EIyF xLC xC231211 ; 26CFLCFL 2)2(2)(2222xLxFFLLxFEIy解：解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方

8、程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程() (0)( )0 ()F xaxaM xaxL寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分2111()2F xaCEIyD 312121()6F xaC xCEIyD xD() (0)0 ()F xaxaEIyaxL xyFLa例例 求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)321(0)06EIyFaC 211(0)02EIFaC23112211 ; 26CDFaCDFa ()()y ay a)()(aa11DC 2121DaDCaCyFLa2111()2

9、F xaCEIyD 312121()6F xaC xCEIyD xD寫出撓曲線方程并畫出曲線寫出撓曲線方程并畫出曲線32332()3 (0)6( )3 ()6Fxaa xa xaEIy xFaa x axLEI2max( )36Fayy LLaEI 2max( )2FaaEI 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角FLaxy312121()6F xaC xCEIyD xD2111()2F xaCEIyD 例：求均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁的撓度和轉(zhuǎn)角。例：求均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁的撓度和轉(zhuǎn)角。 2122qlEIyM xxqx 341224qlqEIyxxCxDqmaxyAB2ql2qll2346qlqEI

10、yxxC 寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分3:024qlxlyC 0:00 xyD由邊界條件求積分常數(shù)由邊界條件求積分常數(shù)3(0)24AqlyEI 4max5( )2384lqlyyEI 令( )0yx，得2lx ，即max()2lyy 341224qlqEIyxxCxD2346qlqEIyxxC qmaxyAB2ql2qll323( )4624qlqqly xxxEIEIEI334( )122424qlqqly xxxxEIEIEI3( )24Bqly lEIax 1023222222126FaEIyFaxxC xDllxa21111FbEIyMxxl21112FbEIyxCl

11、3111 116FbEIyxC xDl222222FaEIyFaxxCl maxyFblFallab1x2xABCDFx222)(xlFaFaaxFxlFbIE 例、集中力作用下梁的變形分析例、集中力作用下梁的變形分析1、列出平衡方程，求出支反力、列出平衡方程，求出支反力2、列出梁的撓度的微分方程并積分、列出梁的撓度的微分方程并積分待定常數(shù)待定常數(shù)22, DC21, CC邊界條件邊界條件：10:x 10y 2:xl20y 連續(xù)條件：連續(xù)條件：12:xxa12yy12:xxa12yy解出：解出：221212()600FbCClblDD maxyFblFallab1x2xABCDFxba 若求最大

12、撓度和轉(zhuǎn)角求最大撓度和轉(zhuǎn)角max06BFablaEIl令10y 即22211026FbFbxlbEIll3221blx322max9 3FblbyEIl 當(dāng)2lba3max48FlyEI 時(shí)時(shí)由030622baEIlFabblEIlFbCA 在中間必有極值ymaxyFblFallab1x2xABCDFx積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)： 分段列彎距方程 尋找邊界條件分段分段 : AB、BC、CD三段，共六個(gè)積分常數(shù)三段，共六個(gè)積分常數(shù)邊界條件邊界條件 0 ; 0AAy ;右左右左ccccyyPDABC 右左BByy0 Dy邊界條件：邊界條件：BCBAlyy , 0集中力集中力作用點(diǎn)，作用點(diǎn)，集中力偶集中

13、力偶作用點(diǎn)，作用點(diǎn)，分分布力布力的起、終點(diǎn)，的起、終點(diǎn)，鉸接點(diǎn)鉸接點(diǎn)為分段點(diǎn)。為分段點(diǎn)。支承條件支承條件、連續(xù)條件連續(xù)條件、光滑條件光滑條件。有。有多少積分常數(shù)就需要多少邊界條件。多少積分常數(shù)就需要多少邊界條件。ABC第第5-25-2節(jié)、按疊加原理求梁的節(jié)、按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角積分法優(yōu)點(diǎn)：積分法優(yōu)點(diǎn)：可得到撓度方程可得到撓度方程y(x)和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角方程方程 (x) 。因而可求出任意。因而可求出任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。積分法缺點(diǎn)：積分法缺點(diǎn)：疊加原理疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的

14、代數(shù)和每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和121122()()()()nnnFFFFFF121122()()()()nnny FFFy Fy FyF適用：線彈性、小變形適用：線彈性、小變形若干類荷載所引起的變形若干類荷載所引起的變形( (撓度或轉(zhuǎn)角撓度或轉(zhuǎn)角) ) 各單一類荷載引起的變形各單一類荷載引起的變形( (查表查表) )之和之和zBEIqLy33zBEIqL22LAPBABLqzBEIqLy84zBEIqL63APBzCEIPLy483zAEIPL162zCEIqLy38454zAEIqL243ABqL/2L/2CL/2L/2C幾種常見(jiàn)梁的撓度和轉(zhuǎn)角（附錄幾種常見(jiàn)梁的撓度和轉(zhuǎn)角（

15、附錄C）例例6 6 按疊加原理求按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)點(diǎn) 撓度。撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。36FCFayEI 24FAFaEI4524qCqLyEI 33qAqaEI qqFF=+AAABBB CaaqFAB CqF=+AABBaa疊加疊加AFAqA2(34)12aFqaEI 435246CqaFayEIEI 36FCFayEI 24FAFaEI4524qCqLyEI 33qAqaEI 例例求By? ?EIaPyBP323BMy?ayCMCMEIaMyCCM22EIaMCCMEIa

16、MyCBM232EIPaEIaMyCB382332aaPCMABCPBPyCMCMyBMyCMBMBPByyy求圖示梁截面求圖示梁截面B B的撓度的撓度解：為了利用附錄C的結(jié)果，可將原荷載視為圖(1)和圖(2)兩種情況的疊加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)zBEIqLf841ABcLq圖（圖（1 1）圖圖(2) CB段段M=0，所以所以CB為直線為直線zCEIqaf842zCEIqa632)( 222aLffCCB)(68 342aLEIqaEIqafzzBABcLqa2cf2cBBBBfff21 由疊加原理由疊加原理4436434aLaLEIqz第二類疊加原理第二類疊加原理-結(jié)構(gòu)疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)疊加（逐段剛化法) )。=+FL1L2ABCBCFL2y1y2等價(jià)等價(jià)等價(jià)等價(jià)12yyyyFL1L2ABC剛化剛化AC段段FL1L2ABC剛化剛化BC段段FL1L2ABCM逐段剛化逐段剛化法法-應(yīng)用于彈性支承與簡(jiǎn)單剛架應(yīng)用于彈性支承與簡(jiǎn)單剛架求梁求梁AB中點(diǎn)中點(diǎn)E 的撓度的撓度E處的撓度與下列各處的撓度與下列各部分變形有關(guān)：部分變形有關(guān)：梁梁AB自身的變形；自身的變形；剛架橫梁剛架橫