D8_6極值與最值

1、 第八章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值問題二、最值問題三、條件極值三、條件極值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某去心鄰域內(nèi)有xyzxyz機動 目錄

2、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且令則: 1) 當A

3、0 時取極小值.2) 當若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 ACB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02 ACB時, 沒有極值.3) 當02 ACB時, 不能確定 , 需另行討論.證明見 第六節(jié)(P112) . 例例1(1(類似書例類似書例2).2).求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632

4、 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12A,0B,6C,06122 ACB5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy在點(1, 2) 處6,0,12CBAABC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0)6(122 ACB)2, 1 (f不是極值;在點(3, 0) 處,12A,0B,6C,06)12(2 ACB)0,3( f不是極值;在點(3, 2) 處6,0,12CBA,0)6(

5、)12(2 ACB,0A31)2,3( f為極大值.例例2. 討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z|(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 ACB33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最值應用問題二、最值應用問題函數(shù) f 在有界閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可能點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內(nèi)部最小(

6、大大)值存在, 且只有一個只有一個駐點P 時, )(Pf為極小 值, 且)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.3.解解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點 某廠要用鐵板做一體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2xy2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)2(22xyAx0)2(22yxAy因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機

7、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin

8、2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元

9、函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy0yxyxffyyf有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則, 0 xxf0yyf引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F (x, y) 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0),(yx利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(),(yxyxfyxF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件

10、的情形. 設解方程組可得到條件極值的可能極值點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(),(21zyxzyxzyxfzyxF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF0),(zyx0),(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 (書例書例6). 要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyx0Vzyx試問水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱, 0Vz

11、yxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為,340Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價最省, 應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .例例6 (習題8 ).22yxz求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最

12、短距離.解：解：2261zyxd設為拋物面上任一點， 則 P ),(zyxP22yxz的距離為022zyx問題歸結(jié)為(min)22(2zyx約束條件:022zyx目標函數(shù):22 zyx作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxzyxF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得唯一駐點02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實際意義最小值存在 ,241414161mind647故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 沿著A( 1, 1, 1) 到 B( 2, 0

13、 , 1) 方向的方向?qū)?shù)具有在最大值.上求一點, 使得,2yyf例例7. 在球面21222zyx解解:),0, 1, 1 ( ABl2|l,2xxfzzf2)0, 1, 1 ()2 ,2 ,2(21zyxlu)(2yxlu).(2yx再求在21222zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 下的最大值)21()(2),(222zyxyxzyxF令222),(zyxzyxf)21()(2),(222zyxyxzyxF. 0,21,21zyx令21222zyx解此方程組, 得022yFy02zFz022xFx駐點為),0,21,21().0,21,21(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由所求

14、問題知, 最大方向?qū)?shù)存在.)0,21,21(maxlulu. 2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值

15、問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0),(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P121 1(3), 3, 5, 8習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設 C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考與練習 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

16、束 設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題例例4.4.在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點. 解解: 設, 1),(222222czbyaxzyxF切點為),(000zyxM則切平面的法向量為,220ax,220by202czM即zczybyxax2

17、020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(zyxFFFn 問題歸結(jié)為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設拉格朗日函數(shù)222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 切平面在三坐標軸上的截距為,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由

18、實際意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 唯一駐點題題 (習題習題5 ). 在第一卦限內(nèi)作橢球面1222222czbyax的切平面, 使與三坐標面圍成的四面體體積最小, 求此體積.提示提示: 設切點為, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘數(shù)法可求出. ),(000zyx則切平面為所指四面體圍體積1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等價于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函數(shù) 例4 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (見例見例4)備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對應的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin