D8_6極值與最值

1、 第八章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值問題二、最值問題三、條件極值三、條件極值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有xyzxyz機(jī)動(dòng) 目錄

2、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A

3、0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 ACB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 02 ACB時(shí), 沒有極值.3) 當(dāng)02 ACB時(shí), 不能確定 , 需另行討論.證明見 第六節(jié)(P112) . 例例1(1(類似書例類似書例2).2).求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632

4、 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12A,0B,6C,06122 ACB5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy在點(diǎn)(1, 2) 處6,0,12CBAABC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0)6(122 ACB)2, 1 (f不是極值;在點(diǎn)(3, 0) 處,12A,0B,6C,06)12(2 ACB)0,3( f不是極值;在點(diǎn)(3, 2) 處6,0,12CBA,0)6(

5、)12(2 ACB,0A31)2,3( f為極大值.例例2. 討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z|(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 ACB33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在有界閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可能點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最小(

6、大大)值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)駐點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值, 且)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.3.解解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn) 某廠要用鐵板做一體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2xy2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)2(22xyAx0)2(22yxAy因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機(jī)

7、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin

8、2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元

9、函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy0yxyxffyyf有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則, 0 xxf0yyf引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F (x, y) 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0),(yx利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(),(yxyxfyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件

10、的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可能極值點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(),(21zyxzyxzyxfzyxF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF0),(zyx0),(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5 (書例書例6). 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyx0Vzyx試問水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開口水箱, 0Vz

11、yxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對(duì)稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .例例6 (習(xí)題8 ).22yxz求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最

12、短距離.解：解：2261zyxd設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)， 則 P ),(zyxP22yxz的距離為022zyx問題歸結(jié)為(min)22(2zyx約束條件:022zyx目標(biāo)函數(shù):22 zyx作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxzyxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得唯一駐點(diǎn)02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實(shí)際意義最小值存在 ,241414161mind647故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 沿著A( 1, 1, 1) 到 B( 2, 0

13、 , 1) 方向的方向?qū)?shù)具有在最大值.上求一點(diǎn), 使得,2yyf例例7. 在球面21222zyx解解:),0, 1, 1 ( ABl2|l,2xxfzzf2)0, 1, 1 ()2 ,2 ,2(21zyxlu)(2yxlu).(2yx再求在21222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 下的最大值)21()(2),(222zyxyxzyxF令222),(zyxzyxf)21()(2),(222zyxyxzyxF. 0,21,21zyx令21222zyx解此方程組, 得022yFy02zFz022xFx駐點(diǎn)為),0,21,21().0,21,21(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由所求

14、問題知, 最大方向?qū)?shù)存在.)0,21,21(maxlulu. 2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值

15、問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0),(yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P121 1(3), 3, 5, 8習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

16、束 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題例例4.4.在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小, 并求切點(diǎn). 解解: 設(shè), 1),(222222czbyaxzyxF切點(diǎn)為),(000zyxM則切平面的法向量為,220ax,220by202czM即zczybyxax2

17、020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(zyxFFFn 問題歸結(jié)為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設(shè)拉格朗日函數(shù)222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由

18、實(shí)際意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 唯一駐點(diǎn)題題 (習(xí)題習(xí)題5 ). 在第一卦限內(nèi)作橢球面1222222czbyax的切平面, 使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小, 求此體積.提示提示: 設(shè)切點(diǎn)為, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘數(shù)法可求出. ),(000zyx則切平面為所指四面體圍體積1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等價(jià)于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函數(shù) 例4 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (見例見例4)備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin