Ch5.2 中心極限定理 (浙大 4)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理中心極限定理中心極限定理例題例題課堂練習(xí)課堂練習(xí) 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和因素的綜合（或和)影響所形成的影響所形成的.例如：炮彈射擊的例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個(gè)每個(gè)隨機(jī)因隨機(jī)因素的對素的對彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小所

2、起的作用都是很小的的.那么那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪 ？ 如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對這種綜合素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對這種綜合影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見自然界中極為常見. 現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所

3、特有的規(guī)律性問題的規(guī)律性問題.高斯高斯 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？ 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量機(jī)變量. nkknknkkknXDXEXY111)()(正正態(tài)態(tài)分分布布的的極極限限分分布布是是否否為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)討討論論nY 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理. nkkkXnkX1), 1(的的和

4、和即即考考慮慮隨隨機(jī)機(jī)變變量量一、中心極限定理一、中心極限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）（獨(dú)立同分布下的中心極限定理），則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和方方差差布布，且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立，服服從從同同一一分分設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1滿足滿足對于任意對于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)(的標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkkX1 x-2t -dte212 )(x 注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkkn

5、kk近近似似地地近近似似地地有有和和與與其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量分分別別充充分分大大時(shí)時(shí)，隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之當(dāng)當(dāng)布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和、定定理理表表明明，獨(dú)獨(dú)立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或?yàn)闉槎ǘɡ砝淼牡牧砹硪灰环N種形形式式可可寫寫、獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布中中心心極極限限 nkkXnX11其中其中 3、雖然在一般情況下，我們很難求出、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分的分布的確切形式，但當(dāng)布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布很大時(shí)，可以求出近似分布. nkkX1定理定理2（李雅普諾夫（李雅普諾夫(Liapounov)定理定理)

6、, 2 , 1( ,)(,)(,221 kXDXEXXXkkkkn 有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差：相相互互獨(dú)獨(dú)立立，它它們們具具設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 nkknB122 記記 nkkknXEBn12201 時(shí)，時(shí)，使得當(dāng)，使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化變量：的標(biāo)準(zhǔn)化變量：則隨機(jī)變量之和則隨機(jī)變量之和 nkkX1nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111)()( ，滿足，滿足對于任意對于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xBXPxFnnknkkknnn11lim)(lim x-2t -dte212 )(x 請注意請注意 :分分別別近近似似服服從從很很大大時(shí)時(shí)在在及及

7、其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量、定定理理中中隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和,11nZXnnkk )1 , 0(;),(211NZBNXnnnkknkk近似地近似地近似地近似地 .21個(gè)個(gè)基基本本原原因因中中所所占占的的重重要要地地位位的的一一率率論論是是為為什什么么正正態(tài)態(tài)分分布布在在概概似似服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，這這就就很很大大時(shí)時(shí)，就就近近，當(dāng)當(dāng)和和定定理理?xiàng)l條件件，隨隨即即變變量量之之要要滿滿足足無無論論服服從從什什么么分分布布，只只、隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXXnkkk 定理定理3( (棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）定理）)1(limxpnpnpPnn 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變

8、量 (n=1,2,(n=1,2,)服從參數(shù)服從參數(shù)n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對任意的二項(xiàng)分布，則對任意x，有，有n dtext2221)(x 證證之和，之和，分布的諸隨機(jī)變量分布的諸隨機(jī)變量服從同一服從同一個(gè)相互獨(dú)立、個(gè)相互獨(dú)立、分解成為分解成為由第四章知識知可將由第四章知識知可將nnXXXn,)10(21 nkknX1 即有即有 1 , 0,)1(), 2 , 1(1 ippiXPnkXiikk的分布律為的分布律為其中其中 定理表明定理表明，當(dāng)，當(dāng)n很大，很大，0p1920).設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16例例1解答：解答：E(Y)=1600, D(

9、Y)=160000由中心極限定理由中心極限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119（1)解：設(shè)應(yīng)取球解：設(shè)應(yīng)取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心極限定理由中心極限定理nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 011例例2解答：解答：），（近似地近似地10N11. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n 95. 01)30(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得從中解得從中解得3458n即至少應(yīng)取球即至少應(yīng)取球3458次才次才能使能使“0”出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至之間的概率至少是少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為1001kkX由中心極限定理由中心極限定理,），（近近似似地地10N)()(100110011001 kkkkkkXDXEX)1 , 0(