根軌跡法知識(shí)題和答案解析

1、第四章根軌跡法習(xí)題及答案4-1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)(s 1)(s 2)(s 4)試證明s11 j值在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益K*和開(kāi)環(huán)增益K。解 若點(diǎn)si在根軌跡上，則點(diǎn) si應(yīng)滿(mǎn)足相角條件G(s)H(s)對(duì)于s1(2k 1),如圖所示。jJ3,由相角條件G(s)H(s)(1 j32)j3 1)j3 4)圖解47竽把點(diǎn)分布國(guó)滿(mǎn)足相角條件，因此si1 jJ3在根軌跡上。將 代入幅值條件:*G(si)H (s1K1 jv13 2解出：K 12 ,4-2已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下,試求參數(shù)b從零變化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡方程，并寫(xiě)出b 2時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。20 G(s

2、)(s 4)(s b)10(s 2b)(2) G(s) s(s 2)(s b)b(s 4)(s 2 j4)(s 2 j4).b(s 4)解(1) G (s)-s2 4s 20(s)G(s)1 G(s)20s2 6s 28(2) G b(s22s20)_ b(s 1j 19)(s 1j 19)2s(s22s10) s(s1 j3)(s 1j3)(s)G(s)1 G(s)10(s 4)s3 4s2 14s 40 一2s 4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s) ，試?yán)L制參數(shù)b從手變(s 4)(s b)解 G (s)b(s 4)s(s 6)化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡，并寫(xiě)出s=-2這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞

3、函數(shù)。根軌跡如圖。s 2 時(shí) b 4 ,，、 2s2s(s)s2 10s 16 (s 2)(s 8)4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 G(s)ks(0.2s 1)(0.5s 1)(2) G(s)k(s 1)s(2s 1)(3) G(s)*k (s 5)s(s 2)(s 3)k* (s 1)(s 2) G(s) 一、：s(s 1)解G(s)10Ks(0.2s 1)(0.5s 1) s(s 5)(s 2)三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p10,P22 ,P35實(shí)軸上的根軌跡:2,0漸近線:分離點(diǎn):解之得：d13(2k 1)與虛軸的交點(diǎn):特征方程為D (s) s3 7s2令 ReD(jIm

4、D(j)解得與虛軸的交點(diǎn)(0,根軌跡如圖所示。 G(s)K(s 1)s(2s1)根軌跡繪制如下:實(shí)軸上的根軌跡:分離點(diǎn):3,00.88 ,10s710d 2K(s 1)2s(s 2),1 ,1d 0.50.5,01d 1解之得：d 0.293,d1.707根軌跡如圖所示。根軌跡繪制如下：實(shí)軸上的根軌跡:5, 3 ,2,0漸近線:0 2 3 ( 5)a02(2k 1)a-22分離點(diǎn):1111d d 2 d 3 d 5用試探法可得 d 0.886。根軌跡如圖所示。4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)要求：（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡；（2）確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)

5、定時(shí)開(kāi)環(huán)增益k的值;（3）確定系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí)開(kāi)環(huán)增益k的值。解(1) G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)5000ks(s 50)( s 100)實(shí)軸上的根軌跡:分離點(diǎn):求解得d1漸近線:d d 50 d21.13, d2a 50,根軌跡如圖所示。(2) *系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)k系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí) k4-60 10078.8760o,180o750000, k 15048112.5, k 9.62已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)時(shí)開(kāi)環(huán)增益kG(s)H(s)s(s2 8s 20)實(shí)軸上的根軌跡:,0漸近線:0 ( 4 j2) ( 4 j2)分離點(diǎn):解之得:(2k

6、 1)2,d與虛軸交點(diǎn):D(s)4 j23.33s(s2 8s 20)的取值范圍。0d 4 j232s 8s 20s k把s j代入上方程，整理，令其實(shí)、虛部分別為零得:,要求繪制根軌跡并確Re(D(jIm(D(j)解得:20160起始角:由相角條件P2P363 。0.84-7單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)k(2s 1)(s 1)2ts 1)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。根軌跡如圖所示。所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，此時(shí)14.8 k16,所以0.74 k解：根軌跡繪制如下:實(shí)軸上的根軌跡:0.5,7/4漸近線:1 1 7/4 ( 0.5)2(2k 1)2與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)

7、特征方程為4 31 210、D(s) -s -s (2k -)s把s j代入上方程,Re(D(j令I(lǐng)m(D(j)解得:(2K根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為1 K 9. 7。4-8已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下,試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡（要求求出起始角）解根軌跡繪制如下:G(s)H(s)(s2 4s 9)2實(shí)軸上的根軌跡:漸近線:2 j 一 5 2 j 一 5 (2)(2k 1)3分離點(diǎn):解之得：d3.29 d0.71 (舍去)與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為_(kāi)2_ 2D(s) (s4s 9)把s j代入上方程,_ _4人 Re(D(j )令I(lǐng)m(D(j ) (72342）812K3 0解得:

8、21K 96起始角：90 (2 p1 2 90)(2k 1解出p1 45 , p2135根軌跡如圖所示。4-9已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a和T為變化參數(shù)的根軌跡。1/4(s a) -2.6丁 八(1) G(s) a 0; (2) G(s) , T 0,0)a60,180s (s 1)s(0.1s 1)(Ts 1)解(1) G (s)2s(s 0.5)實(shí)軸上的根軌跡：(漸近線：a1/3,分離點(diǎn)：d 1/6根軌跡如圖所示。 G (s)4s1s 10s 26實(shí)軸上的根軌跡：(，0)起始角終止角：C 1 11 12(180 tg 1-) tg 1- ( p 90) 180 55解得起始角p

9、 78.72 z 0 ( tg 11 tg 11) 18055解得終止角90根軌跡如圖所示。4-10已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡,并求出所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)開(kāi)環(huán)增益k的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的值。G(s)H(s)k (S 1)實(shí)軸上的根軌跡:4.22 ,漸近線：a7.5,(s18,d221) (s 18)16.28 與虛軸交點(diǎn)：s1,21.86j,o90*k37.7根軌跡如圖所示。d1 處k116.6, 2處女117.6,*k k /18結(jié)論：6.48 k 6.53時(shí)所有根為負(fù)實(shí)根，k 2.095時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-11已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，

10、并分析參數(shù)T的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。%)解：G(s)100Ts3 s2 20s _ * . . 作等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) G (s)1 T(s2 20s 100)3s 、 一* 根軌跡繪制如下：(注意：k 1/T)實(shí)軸上的根軌跡：(，10, 10,0一、一 32分離點(diǎn)： 解得d 30。d d 10根據(jù)幅值條件，對(duì)應(yīng)的 T 0.015。虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為_(kāi)32D (s) Ts s 20 s 1000把s j代入上方程，整理,Re(D(j ) 100Im(D(j ) 2010解得：T 0.2起始角：p1 60令實(shí)虛部分別為零得:3參數(shù)T從零到無(wú)窮大變化時(shí)的根軌跡如圖所示。(請(qǐng)注意根軌跡的方向！

11、)1從根軌跡圖可以看出，當(dāng)0 T 0.015時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收斂過(guò)程;0.015 T 0.2時(shí)，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過(guò)程；T 0.2時(shí)，有兩支根軌跡在 s右半 平面，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下:G(s)sdT三條根軌跡中兩條起于一條起于,均終止于原點(diǎn)實(shí)軸上的根軌跡:分離點(diǎn)：3dd 10其余步驟與上基本相同,10,10,0解得d30。根軌跡相同，只是-10處為兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，原點(diǎn)處為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，根軌跡方向與圖中一樣。 *4-12控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所不，試概略繪制其根軌跡(k 0)。解此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng),應(yīng)繪零度根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡:分離點(diǎn):解得 d 0.5起始角:根據(jù)相角條件,j 2kj 1P1P2以 180。p3根軌跡如圖所示。k (1 s)4-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) ()，試?yán)L制其根軌跡，并求出s(s 2)使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的 k值。解由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式知需繪制根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡:一、一 1分離點(diǎn)：d 2,0, 11,解得：d10.732,d2 2.732將s d10.732 ,s d22.732幅值條件得:K