統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法及預(yù)測(cè)模型

1、中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院第十章第十章 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法及預(yù)測(cè)模型統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法及預(yù)測(cè)模型 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的基本問題統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的基本問題1趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)2 時(shí)間序列的確定性因素分析時(shí)間序列的確定性因素分析3回歸預(yù)測(cè)法回歸預(yù)測(cè)法41多元線性回歸模型及其假定條件多元線性回歸模型及其假定條件510.1 10.1 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的基本問題統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的基本問題 10.1.2 10.1.2 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類及其選擇統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類及其選擇 10.1.3 10.1.3 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的原則和步驟統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的原則和步驟 10.1.1 10.1.1 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念和作用統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念和作用 1

2、0.1.1 10.1.1 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念和作用統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念和作用 ( (一一) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的概念 概念概念: : 預(yù)測(cè)就是根據(jù)過去和現(xiàn)在估計(jì)未來，預(yù)測(cè)未來。預(yù)測(cè)就是根據(jù)過去和現(xiàn)在估計(jì)未來，預(yù)測(cè)未來。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)屬于預(yù)測(cè)方法研究范疇，即如何利用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)屬于預(yù)測(cè)方法研究范疇，即如何利用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)事物的未來發(fā)展進(jìn)行定量推測(cè)方法對(duì)事物的未來發(fā)展進(jìn)行定量推測(cè). . 例例1 1 下表是我國下表是我國19521952年到年到19831983年社會(huì)商品零售總額年社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國社會(huì)商品零售總額 。110

3、6.7221973604.01119622849.43219831023.3211972607.71019612570.0311982929.2201971696.9919602350.0301981858.0191970638.0819592140.0291980801.5181969548.0719581800.0281979737.3171968474.2619571558.6271978770.5161967461.0519561432.8261977732.8151966392.2419551339.4251976670.3141965381.1319541271.124197563

4、8.2131964348.0219531163.6231974604.5121963276.811952總額總額（ yt ）時(shí)序時(shí)序（t）年份年份總額總額 （ yt ）時(shí)序時(shí)序（t）年份年份總額總額 （ yt ）時(shí)序時(shí)序（t）年份年份v 實(shí)際資料是預(yù)測(cè)的依據(jù)；實(shí)際資料是預(yù)測(cè)的依據(jù)；v 理論是預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)；理論是預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)；v 數(shù)學(xué)模型是預(yù)測(cè)的手段。數(shù)學(xué)模型是預(yù)測(cè)的手段。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的三個(gè)要素：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的三個(gè)要素：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法是一種具有通用性的方法。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法是一種具有通用性的方法。( (二二) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的作用統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的作用 在市場經(jīng)濟(jì)條件下，預(yù)測(cè)的作用是通過各個(gè)企業(yè)或在市場經(jīng)濟(jì)條件下，預(yù)測(cè)的作用

5、是通過各個(gè)企業(yè)或行業(yè)內(nèi)部的行動(dòng)計(jì)劃和決策來實(shí)現(xiàn)的行業(yè)內(nèi)部的行動(dòng)計(jì)劃和決策來實(shí)現(xiàn)的; ; 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)作用的大小取決于預(yù)測(cè)結(jié)果所產(chǎn)生的效益的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)作用的大小取決于預(yù)測(cè)結(jié)果所產(chǎn)生的效益的多少。多少。 影響預(yù)測(cè)作用大小的因素主要有：影響預(yù)測(cè)作用大小的因素主要有：預(yù)測(cè)費(fèi)用的高低；預(yù)測(cè)費(fèi)用的高低；預(yù)測(cè)方法的難易程度；預(yù)測(cè)方法的難易程度；預(yù)測(cè)結(jié)果的精確程度。預(yù)測(cè)結(jié)果的精確程度。10.1.2 10.1.2 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類和選擇統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類和選擇 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法可歸納分為定性預(yù)測(cè)方法和定量預(yù)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法可歸納分為定性預(yù)測(cè)方法和定量預(yù)測(cè)方法兩類，其中定量預(yù)測(cè)法又可大致分為趨勢(shì)測(cè)方法兩類，其中定量預(yù)測(cè)法又可

6、大致分為趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法、時(shí)間序列預(yù)測(cè)法和回歸預(yù)測(cè)法外推預(yù)測(cè)法、時(shí)間序列預(yù)測(cè)法和回歸預(yù)測(cè)法,;,; 按預(yù)測(cè)時(shí)間長短分為近期預(yù)測(cè)、短期預(yù)測(cè)、中期按預(yù)測(cè)時(shí)間長短分為近期預(yù)測(cè)、短期預(yù)測(cè)、中期預(yù)測(cè)和長期預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)和長期預(yù)測(cè); ; 按預(yù)測(cè)是否重復(fù)分為一次性預(yù)測(cè)和反復(fù)預(yù)測(cè)。按預(yù)測(cè)是否重復(fù)分為一次性預(yù)測(cè)和反復(fù)預(yù)測(cè)。 ( (一一) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的分類( (三三) )定量預(yù)測(cè)定量預(yù)測(cè) 定量預(yù)測(cè)的概念定量預(yù)測(cè)的概念: : 定量預(yù)測(cè)也稱統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)，它是根據(jù)已掌握的比較完備定量預(yù)測(cè)也稱統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)，它是根據(jù)已掌握的比較完備的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行科學(xué)的加工整的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)

7、行科學(xué)的加工整理，借以揭示有關(guān)變量之間的規(guī)律性聯(lián)系，用于預(yù)測(cè)和推理，借以揭示有關(guān)變量之間的規(guī)律性聯(lián)系，用于預(yù)測(cè)和推測(cè)未來發(fā)展變化情況的一類預(yù)測(cè)方法測(cè)未來發(fā)展變化情況的一類預(yù)測(cè)方法 ( (二二) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的選擇統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的選擇 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法時(shí)，主要考慮下列三個(gè)問題：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法時(shí)，主要考慮下列三個(gè)問題：v 合適性合適性v 費(fèi)用費(fèi)用v 精確性精確性只需要因變量的歷只需要因變量的歷史資料，但用趨勢(shì)史資料，但用趨勢(shì)圖做試探時(shí)很費(fèi)時(shí)圖做試探時(shí)很費(fèi)時(shí)必須收集歷史數(shù)據(jù)，必須收集歷史數(shù)據(jù)，并用幾個(gè)非線性模并用幾個(gè)非線性模型試驗(yàn)型試驗(yàn)為所有變量收集歷為所有變量收集歷史數(shù)據(jù)是此預(yù)測(cè)中史數(shù)據(jù)是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)

8、的最費(fèi)時(shí)的為兩個(gè)變量收集歷史為兩個(gè)變量收集歷史數(shù)據(jù)，此項(xiàng)工作是此數(shù)據(jù)，此項(xiàng)工作是此預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的預(yù)測(cè)中最費(fèi)時(shí)的需做大量的調(diào)查研需做大量的調(diào)查研究工作究工作應(yīng)做工作應(yīng)做工作與非線性回歸與非線性回歸預(yù)測(cè)法相同預(yù)測(cè)法相同在兩個(gè)變量情況在兩個(gè)變量情況下可用計(jì)算器，下可用計(jì)算器，多于兩個(gè)變量的多于兩個(gè)變量的情況下用計(jì)算機(jī)情況下用計(jì)算機(jī)在兩個(gè)自變量情況在兩個(gè)自變量情況下可用計(jì)算器，多下可用計(jì)算器，多于兩個(gè)自變量的情于兩個(gè)自變量的情況下用計(jì)算機(jī)況下用計(jì)算機(jī)計(jì)算器計(jì)算器計(jì)算器計(jì)算器計(jì)算機(jī)硬件計(jì)算機(jī)硬件最低要求最低要求當(dāng)被預(yù)測(cè)項(xiàng)目的有當(dāng)被預(yù)測(cè)項(xiàng)目的有關(guān)變量用時(shí)間表示關(guān)變量用時(shí)間表示時(shí)，用非線性回歸時(shí)，用非線性回

9、歸因變量與一個(gè)自變因變量與一個(gè)自變量或多個(gè)其它自變量或多個(gè)其它自變量之間存在某種非量之間存在某種非線性關(guān)系線性關(guān)系因變量與兩個(gè)或兩因變量與兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量之間個(gè)以上自變量之間存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系自變量與因變量之自變量與因變量之間存在線性關(guān)系間存在線性關(guān)系對(duì)缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料對(duì)缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或趨勢(shì)面臨轉(zhuǎn)折的事或趨勢(shì)面臨轉(zhuǎn)折的事件進(jìn)行預(yù)測(cè)件進(jìn)行預(yù)測(cè) 適用情況適用情況中期到長中期到長期期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中、短、中、長期長期時(shí)間范圍時(shí)間范圍趨勢(shì)外推法趨勢(shì)外推法非線性回非線性回歸預(yù)測(cè)法歸預(yù)測(cè)法多元線性回多元線性回歸預(yù)測(cè)法歸預(yù)測(cè)法一元線性回一元線性回歸預(yù)測(cè)法歸預(yù)

10、測(cè)法定性預(yù)測(cè)法定性預(yù)測(cè)法方法方法 只需要序列的歷史只需要序列的歷史資料資料計(jì)算器計(jì)算器適用于一次性的短適用于一次性的短期預(yù)測(cè)或在使用其期預(yù)測(cè)或在使用其他預(yù)測(cè)方法前消除他預(yù)測(cè)方法前消除季節(jié)變動(dòng)的因素季節(jié)變動(dòng)的因素短期短期分解分析法分解分析法計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣只需要因變量的歷史只需要因變量的歷史資料，但制定并檢查資料，但制定并檢查模型規(guī)格很費(fèi)時(shí)間模型規(guī)格很費(fèi)時(shí)間只需要因變量的歷史資只需要因變量的歷史資料，是一切反復(fù)預(yù)測(cè)中料，是一切反復(fù)預(yù)測(cè)中最簡易的方法，但建立最簡易的方法，但建立模型所費(fèi)的時(shí)間與自適模型所費(fèi)的時(shí)間與自適應(yīng)過濾法不相上下應(yīng)過濾法不相上下只需要因變量的歷史資只需要因變

11、量的歷史資料，但初次選擇權(quán)數(shù)時(shí)料，但初次選擇權(quán)數(shù)時(shí)很費(fèi)時(shí)間很費(fèi)時(shí)間應(yīng)做工作應(yīng)做工作計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)在用計(jì)算機(jī)在用計(jì)算機(jī)建立模型后建立模型后進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，只需計(jì)算器只需計(jì)算器就行了就行了計(jì)算器計(jì)算器計(jì)算機(jī)硬件計(jì)算機(jī)硬件最低要求最低要求適用于任何序列的適用于任何序列的發(fā)展型態(tài)的一種高發(fā)展型態(tài)的一種高級(jí)預(yù)測(cè)方法級(jí)預(yù)測(cè)方法適用于趨勢(shì)型態(tài)的適用于趨勢(shì)型態(tài)的性質(zhì)隨時(shí)間而變化，性質(zhì)隨時(shí)間而變化，而且沒有季節(jié)變動(dòng)而且沒有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)的反復(fù)預(yù)測(cè)具有或不具有季具有或不具有季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)測(cè)不帶季節(jié)變動(dòng)的不帶季節(jié)變動(dòng)的反復(fù)預(yù)測(cè)反復(fù)預(yù)測(cè) 適用情況適用情況短期短期短期短期短期短期

12、短期短期時(shí)間范圍時(shí)間范圍平穩(wěn)時(shí)間序列平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)法自適應(yīng)過濾法自適應(yīng)過濾法指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法方法方法方法方法時(shí)間范圍時(shí)間范圍 適用情況適用情況計(jì)算機(jī)硬件最計(jì)算機(jī)硬件最低要求低要求應(yīng)做工作應(yīng)做工作干預(yù)分析模干預(yù)分析模型預(yù)測(cè)法型預(yù)測(cè)法短期短期適用于當(dāng)時(shí)間序列適用于當(dāng)時(shí)間序列受到政策干預(yù)或突受到政策干預(yù)或突發(fā)事件影響的預(yù)測(cè)發(fā)事件影響的預(yù)測(cè)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī) 收集歷史收集歷史數(shù)據(jù)及影響數(shù)據(jù)及影響時(shí)間時(shí)間景氣預(yù)測(cè)法景氣預(yù)測(cè)法短、中期短、中期適用于時(shí)間趨勢(shì)延適用于時(shí)間趨勢(shì)延續(xù)及轉(zhuǎn)折預(yù)測(cè)續(xù)及轉(zhuǎn)折預(yù)測(cè)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)收集大量歷收集大量歷史資料和數(shù)史資料和數(shù)據(jù)并需大量據(jù)并需大量計(jì)算計(jì)算灰色

13、預(yù)測(cè)法灰色預(yù)測(cè)法短、中期短、中期適用于時(shí)間序列的適用于時(shí)間序列的發(fā)展呈指數(shù)型趨勢(shì)發(fā)展呈指數(shù)型趨勢(shì)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)收集對(duì)象的收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)歷史數(shù)據(jù)狀態(tài)空間模狀態(tài)空間模型和卡爾曼型和卡爾曼濾波濾波短、中期短、中期適用于各類時(shí)間序適用于各類時(shí)間序列的預(yù)測(cè)列的預(yù)測(cè)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)收集對(duì)象的收集對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)并歷史數(shù)據(jù)并建立狀態(tài)空建立狀態(tài)空間模型間模型 在統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)中的定量預(yù)測(cè)要使用模型外推法，使用這種方法在統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)中的定量預(yù)測(cè)要使用模型外推法，使用這種方法有以下有以下兩條重要的原則兩條重要的原則：連貫原則，是指事物的發(fā)展是按一定規(guī)律進(jìn)行的，在其發(fā)展過程連貫原則，是指事物的發(fā)展是按一定規(guī)律進(jìn)行的，在其發(fā)展過程

14、中，這種規(guī)律貫徹始終，不應(yīng)受到破壞，它的未來發(fā)展與其過去中，這種規(guī)律貫徹始終，不應(yīng)受到破壞，它的未來發(fā)展與其過去和現(xiàn)在的發(fā)展沒有什么根本的不同；和現(xiàn)在的發(fā)展沒有什么根本的不同；類推原則，是指事物必須有某種結(jié)構(gòu)，其升降起伏變動(dòng)不是雜亂類推原則，是指事物必須有某種結(jié)構(gòu)，其升降起伏變動(dòng)不是雜亂無章的，而是有章可循的。事物變動(dòng)的這種結(jié)構(gòu)性可用數(shù)學(xué)方法無章的，而是有章可循的。事物變動(dòng)的這種結(jié)構(gòu)性可用數(shù)學(xué)方法加以模擬，根據(jù)所測(cè)定的模型，類比現(xiàn)在，預(yù)測(cè)未來。加以模擬，根據(jù)所測(cè)定的模型，類比現(xiàn)在，預(yù)測(cè)未來。10.1.3 10.1.3 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的原則和步驟統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的原則和步驟 ( (一一) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的原則統(tǒng)計(jì)

15、預(yù)測(cè)的原則 ( (二二) )統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的步驟統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的步驟確定預(yù)測(cè)目的確定預(yù)測(cè)目的搜索和審核資料搜索和審核資料分析預(yù)測(cè)誤差，改進(jìn)預(yù)測(cè)模型分析預(yù)測(cè)誤差，改進(jìn)預(yù)測(cè)模型選擇預(yù)測(cè)模型和方法選擇預(yù)測(cè)模型和方法提出預(yù)測(cè)報(bào)告提出預(yù)測(cè)報(bào)告10.2 10.2 趨勢(shì)外推法趨勢(shì)外推法10.2.1 10.2.1 趨勢(shì)外推法概述趨勢(shì)外推法概述10.2.2 10.2.2 多項(xiàng)式曲線趨勢(shì)外推法多項(xiàng)式曲線趨勢(shì)外推法10.2.3 10.2.3 指數(shù)曲線趨勢(shì)外推法指數(shù)曲線趨勢(shì)外推法10.2.4 10.2.4 生長曲線趨勢(shì)外推法生長曲線趨勢(shì)外推法10.2.5 10.2.5 曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大

16、學(xué)中南大學(xué)趨勢(shì)外推法的基本思想趨勢(shì)外推法的基本思想( )yf t 某些客觀事物的發(fā)展變化相對(duì)于時(shí)間推移，常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性：某些客觀事物的發(fā)展變化相對(duì)于時(shí)間推移，常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性：如：經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，這如：經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，這時(shí)，若作為預(yù)測(cè)對(duì)象的該經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）變化又沒有明顯的季節(jié)性波動(dòng)時(shí)，若作為預(yù)測(cè)對(duì)象的該經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）變化又沒有明顯的季節(jié)性波動(dòng)跡象，理論上就可以找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢(shì)。跡象，理論上就可以找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢(shì)。 可建其變化趨勢(shì)模型（曲線方程）：可建其變化趨勢(shì)模型（

17、曲線方程）： 當(dāng)有理由相信這種趨勢(shì)可能會(huì)延伸到未來時(shí)，對(duì)于未來時(shí)點(diǎn)的某個(gè)當(dāng)有理由相信這種趨勢(shì)可能會(huì)延伸到未來時(shí)，對(duì)于未來時(shí)點(diǎn)的某個(gè) 值（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)未來值）就可由上述變化趨勢(shì)模型（直線方程）給出。值（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)未來值）就可由上述變化趨勢(shì)模型（直線方程）給出。這就是趨勢(shì)外推的基本思想。這就是趨勢(shì)外推的基本思想。 趨勢(shì)外推的條件有：變化趨勢(shì)的時(shí)間穩(wěn)定性、趨勢(shì)外推的條件有：變化趨勢(shì)的時(shí)間穩(wěn)定性、 曲線方程存在。曲線方程存在。統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)某家用電器廠某家用電器廠1998199820082008年利潤額數(shù)據(jù)年利潤額數(shù)據(jù)年份1993199419951996199719981999200

18、0200120022003利潤額yt2003003504005006307007508509501020yabx統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)某商場某種商品過去9個(gè)月的銷量數(shù)據(jù)某商場過去9年市場需求量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)051015202530354045012345678910銷售量（萬件）051015202530354045012345678910銷售量（萬件）010002000300040005000600070008000900010000012345678910總需求量（件）2yabxcxbtyae10.2.1 10.2.1 趨勢(shì)外推法概述趨勢(shì)外推法概述 一一、趨勢(shì)外推法概念和假定條件、

19、趨勢(shì)外推法概念和假定條件 趨勢(shì)外推法概念：趨勢(shì)外推法概念： 當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象依時(shí)間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，沒有明顯的當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象依時(shí)間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，沒有明顯的季節(jié)波動(dòng)，且能找到一個(gè)合適的函數(shù)曲線反映這種變化趨勢(shì)時(shí)，就季節(jié)波動(dòng)，且能找到一個(gè)合適的函數(shù)曲線反映這種變化趨勢(shì)時(shí)，就可以用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)。可以用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)。 運(yùn)用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)是基于兩個(gè)基本假設(shè)：運(yùn)用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)是基于兩個(gè)基本假設(shè)： 一是一是決定過去預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展的因素，在很大程度上仍將決定其未決定過去預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展的因素，在很大程度上仍將決定其未來的發(fā)展；來的發(fā)展； 二是二是預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展過程一般是漸進(jìn)變化，而

20、不是跳躍式變化。預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展過程一般是漸進(jìn)變化，而不是跳躍式變化。 趨勢(shì)外推法的突出特點(diǎn)是選用一定的數(shù)學(xué)模型來擬合預(yù)測(cè)變量的變趨勢(shì)外推法的突出特點(diǎn)是選用一定的數(shù)學(xué)模型來擬合預(yù)測(cè)變量的變動(dòng)趨勢(shì)，并進(jìn)而用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。動(dòng)趨勢(shì)，并進(jìn)而用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。 二二 、趨勢(shì)外推法經(jīng)常選用的數(shù)學(xué)模型、趨勢(shì)外推法經(jīng)常選用的數(shù)學(xué)模型根據(jù)預(yù)測(cè)變量變動(dòng)趨勢(shì)是否為線性，又分為線性趨勢(shì)外推法根據(jù)預(yù)測(cè)變量變動(dòng)趨勢(shì)是否為線性，又分為線性趨勢(shì)外推法和曲線趨勢(shì)外推法。和曲線趨勢(shì)外推法。 （一）（一）線性模型線性模型（二）曲線模型（二）曲線模型 1.多項(xiàng)式曲線模型多項(xiàng)式曲線模型 2.簡單指數(shù)曲線模型簡單指數(shù)曲線模型 3.修正指數(shù)曲線

21、模型修正指數(shù)曲線模型 4.生長曲線模型生長曲線模型 （龔珀資龔珀資曲線模型）曲線模型） 一般形式：一般形式：01tybb t2012ktkybb tb tb t 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)(一一) 直線趨勢(shì)外推法直線趨勢(shì)外推法 適用條件：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（觀察值）呈直線上升或適用條件：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（觀察值）呈直線上升或下降的情形。下降的情形。該預(yù)測(cè)變量的長期趨勢(shì)可以用關(guān)于時(shí)間的直線該預(yù)測(cè)變量的長期趨勢(shì)可以用關(guān)于時(shí)間的直線描述，通過該直線趨勢(shì)的向外延伸（外推），估計(jì)描述，通過該直線趨勢(shì)的向外延伸（外推），估計(jì)其預(yù)測(cè)值。其預(yù)測(cè)值。兩種處理方式兩種處理方式： 擬合直線方程與加權(quán)擬合直線方程統(tǒng)

22、統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)例例3.13.1 某家用電器廠某家用電器廠1993199320032003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.13.1所示。試預(yù)測(cè)所示。試預(yù)測(cè)20042004、20052005年該企業(yè)的利潤。年該企業(yè)的利潤。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利潤額利潤額y yt t20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020 ？

23、 ？統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)02004006008001000120019921993 19941995 19961997 19981999 20002001 20022003 20042005利潤額yt系列2線性(利潤額yt)?A 擬合直線方程法擬合直線方程法22yab x 11yab x 33yab x 11y a bx 使用最小二乘法擬合直線統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué) 概念：離差與離差平方eettteyy離差：11()nnttttteyy離差和：2211()nnitttteyy離差平方和最小擬合程度最好6y6 y最小二乘法原理統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大

24、學(xué)最小二乘法原理本 質(zhì):使歷史數(shù)據(jù)到擬合直線上的離差平方和最小，從而求得模型參數(shù)的方法。演 進(jìn)：法國數(shù)學(xué)家勒讓德于1806年首次發(fā)表最小二乘理論。事實(shí)上，德國的高斯于1794年已經(jīng)應(yīng)用這一理論推算了谷神星的軌道，但直至1809年才正式發(fā)表。應(yīng) 用：最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中有廣泛應(yīng)用。運(yùn)算過程：統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)2211()nnttttteyy離差平方和2211()()( , )nnttttttyyyabxQ a b11111122211111()()()()()()nnttttnnnnttttttttttnnnttttttaybxy

25、bxnnnx yxyxxyybnxxxx0QQab112()02()0ntttnttttQybxaaQx ybxab 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué) x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13代入相應(yīng)的x，得出預(yù)測(cè)值y yabx統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)解例解例3.13.1 某家用電器廠某家用電器廠1993200319932003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.13.1所示。試預(yù)所示。試預(yù)測(cè)測(cè)20042004、20052005年該企業(yè)的利潤。年該企業(yè)的利潤。年份年份19931993199419941995199519961996199719

26、97199819981999199920002000200120012002200220032003利潤額利潤額20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)年份年份利潤額利潤額yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020 xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780

27、490060007650950011220預(yù)測(cè)值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.310186650665064900011111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx108.3a 82.7b 108.382.7yx200412,1100.7xy年，200513,1183.4xy年，統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)111111nnnttttttaybxyynnn1111222111()()()nnnnttttttttttnnnttttttnx yxyx ybnxxx

28、對(duì)于時(shí)間序列，xt 的取值為1到 n , 即自變量 xt 的取值等于其下標(biāo) t。采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法可簡化計(jì)算。特別，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取其中位數(shù)的編號(hào)為0，可使 10nttx統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)擬合直線方程法的特點(diǎn)n 擬合直線方程的一階差分為常數(shù)（一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)） ty 1tybty n 只適用于時(shí)間序列呈直線上升（或下降）趨勢(shì)變化。n 對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，不論其遠(yuǎn)近都一律同等看待。n 用最小二乘原理擬合的直線方程消除了不規(guī)則因素的影響，使趨勢(shì)值都落在擬合的直線上。n基本過程如下圖:2211()nnttttteyy統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)根 據(jù) 模 型預(yù) 測(cè)求 解 模

29、型參 數(shù) ， 確定 模 型模 型 檢 驗(yàn)根 據(jù) 觀 察的 歷 史 數(shù)據(jù) 畫 出 散點(diǎn) 圖根 據(jù) 曲 線 形狀 選 擇 模 型(模 型 識(shí) 別）擬合直線方程法預(yù)測(cè)步驟圖開 始統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)在擬合直線方程時(shí)，按照時(shí)間先后，本著重今輕遠(yuǎn)的原則，對(duì)離差平方在擬合直線方程時(shí)，按照時(shí)間先后，本著重今輕遠(yuǎn)的原則，對(duì)離差平方和進(jìn)行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達(dá)到最小，求出加和進(jìn)行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達(dá)到最小，求出加權(quán)擬合直線方程。權(quán)擬合直線方程。由近及遠(yuǎn)的離差平方和的權(quán)重分別為其中由近及遠(yuǎn)的離差平方和的權(quán)重分別為其中 ，說明對(duì)最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為，說

30、明對(duì)最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為 1 ，而后有近及遠(yuǎn)，按，而后有近及遠(yuǎn)，按 比比例遞減。例遞減。各期權(quán)重衰減的速度取決于各期權(quán)重衰減的速度取決于 的取值。的取值。B：加權(quán)擬合直線方程法基本思想：加權(quán)擬合直線方程法基本思想0121,n 001,11取值越大（越接近于 ）衰減速度越慢衰減速度越慢0取值越?。ㄔ浇咏?）衰減速度越快衰減速度越快1？統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型ttyabx設(shè)加權(quán)擬合直線方程為：0121,n 由近及遠(yuǎn)的離差平方和的權(quán)重分別為：20211122222111)()()()(nnnnnnyyyyyyyy ntt

31、ttnnttttnbxayyyQ1212)()( 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué) nttttnnttttnbxayyyQ1212)()( 求導(dǎo)求導(dǎo)和和對(duì)對(duì)ba0111 ntttnnttnntttnxbayaQ 01211 ntttntnttnnttttnxbxayxbQ ba？加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)使用加權(quán)擬合直線方程法解前例使用加權(quán)擬合直線方程法解前例3.1 3.1 某家用電器廠某家用電器廠1993200319932003年利潤額數(shù)據(jù)資料如下表所示。試預(yù)測(cè)年利潤額數(shù)據(jù)資料如下表所示。試預(yù)測(cè)20042004、2

32、0052005年該企業(yè)的利潤。年該企業(yè)的利潤。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利潤額利潤額200200300300350350400400500500630630700700750750850850950950102010200.8統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)年份年份x xt t利潤額利潤額y yt tn-tn-ta a(n-t(n-t) )a a(n-1)(n-1)y yt ta a(n-1)(n-1)x xt ty yt ta a

33、(n-1)(n-1)x xt ta a(n-1)(n-1)x xt t2 2199319931 120020010100.1074 0.1074 21.474836521.474836521.4748364821.474836480.1073740.1073740.1073741820.107374182199419942 23003009 90.1342 0.1342 40.265318440.265318480.530636880.53063680.2684350.2684350.5368709120.536870912199519953 33503508 80.1678 0.1678 5

34、8.72025658.720256176.160768176.1607680.5033160.5033161.509949441.50994944199619964 44004007 70.2097 0.2097 83.8860883.88608335.54432335.544320.8388610.8388613.35544323.3554432199719975 55005006 60.2621 0.2621 131.072131.072655.36655.361.310721.310726.55366.5536199819986 66306305 50.3277 0.3277 206.4

35、384206.43841238.63041238.63041.966081.9660811.7964811.79648199919997 77007004 40.4096 0.4096 286.72286.722007.042007.042.86722.867220.070420.0704200020008 87507503 30.5120 0.5120 384384307230724.0964.09632.76832.768200120019 98508502 20.6400 0.6400 544544489648965.765.7651.8451.842002200210109509501

36、 10.8000 0.8000 760760760076008 88080200320031111102010200 01.0000 1.0000 10201020112201122011111211214.5705 4.5705 3536.5769 3536.5769 31302.7410 31302.7410 36.7180 36.7180 329.5381 329.5381 0111 ntttnnttnntttnxbay 01211 ntttntnttnnttttnxbxayx 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)3536.5784.5736.720ab 31302.7436.7232

37、9.540ab 83.66101.70ab預(yù)測(cè)模型為：101.7083.66ttyx統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)使用加權(quán)擬合直線方程法解題使用加權(quán)擬合直線方程法解題結(jié)論分析結(jié)論分析 由于時(shí)間序列線性趨勢(shì)比較明顯，又由于加權(quán)系數(shù)較大(0.8)，使得，加權(quán)與不加權(quán)擬合結(jié)果相近。 加權(quán)的重近輕遠(yuǎn)原則，使其預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)際觀察值。統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué) 擬合直線方程法的特殊運(yùn)用擬合直線方程法的特殊運(yùn)用 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到比線性（直線）發(fā)展趨勢(shì)更在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到比線性（直線）發(fā)展趨勢(shì)更為復(fù)雜的問題。為復(fù)雜的問題。例

38、子：例子：某商品過去九年的市場總需求量時(shí)間（年）123456789總需求量（件）16527045074012202010312054609000作圖觀察其變化趨勢(shì)（圖中公式為趨勢(shì)線函數(shù)方程）：作圖觀察其變化趨勢(shì)（圖中公式為趨勢(shì)線函數(shù)方程）：統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品總需求量010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品總需求量tbxtyae某商品過去九年的市場總需求量統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大

39、學(xué)0100020003000400050006000199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004某公司1991到2003年銷售額txtyab又例又例2:某公司某公司19912003年銷售額（單位：萬元）年銷售額（單位：萬元）統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)擬合直線方程的特殊運(yùn)用擬合直線方程的特殊運(yùn)用 -非線性問題的線性化非線性問題的線性化上述特別的變化趨勢(shì)在實(shí)際生活中，常常會(huì)遇到比上述特別的變化趨勢(shì)在實(shí)際生活中，常常會(huì)遇到比線性發(fā)展趨勢(shì)線性發(fā)展趨勢(shì)更為復(fù)雜更為復(fù)雜的描述問題。的描述問題。但在某些情況下，我們可以通

40、過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為但在某些情況下，我們可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為線性的形式。線性的形式。 如：如： 在滿足在滿足 的變量關(guān)系中，的變量關(guān)系中， a、b， 均為與均為與 t 無關(guān)的未知參無關(guān)的未知參數(shù)，數(shù)， 只要令只要令 ，即可將其化為線性形式關(guān)系：，即可將其化為線性形式關(guān)系：sinttyabxsinttxx ttyabx統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)ta bxtyetbxtyaelnty tylnlntyatyattyabx ttyabx變換變換常用轉(zhuǎn)換模型（常用轉(zhuǎn)換模型（3-1）統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)常用轉(zhuǎn)換模型常用轉(zhuǎn)換模型（3-

41、2）txtyab模型：對(duì)于上式兩邊取對(duì)數(shù)：lnlnlnlnlntxttyabaxb令：ty lntyalnab lnb則有：ttyab x統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)常用轉(zhuǎn)換模型（常用轉(zhuǎn)換模型（3-3）運(yùn)用擬合直線方程法，可求得：11111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx11111221111lnln()(ln)()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnxyxybnxx 進(jìn)一步用正負(fù)編號(hào)法11211lnlnnttntttnttaynnxybnx 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)例子：某公司例

42、子：某公司19932005年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預(yù)測(cè)年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預(yù)測(cè)2006年的年的產(chǎn)品銷售額。產(chǎn)品銷售額。 （非線性變化趨勢(shì)）（非線性變化趨勢(shì)）觀察期銷售額1993181994721995901996210199727019983901999570200090020011500200223102003405020044800200554000100020003000400050006000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年銷售額01000200030004000500

43、06000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年銷售額統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)觀察期觀察期銷售額銷售額xtxt2lnytxt lnyt199318-6362.890 -17.342 199472-5254.277 -21.383 199590-4164.500 -17.999 1996210-395.347 -16.041 1997270-245.598 -11.197 1998390-115.966 -5.966 1999570006.346 0.000 20009001

44、16.802 6.802 20011500247.313 14.626 20022310397.745 23.235 200340504168.306 33.226 200448005258.476 42.382 200554006368.594 51.565 SUM18282.162 81.907 設(shè)：該趨勢(shì)的曲線模型為：設(shè)：該趨勢(shì)的曲線模型為：txtyab11211lnlnnttntttnttaynnxybnx ?ab 6.320.45ab 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)觀察期觀察期銷售額銷售額xt199318-63.620 37.334 199472-54.070 58.553

45、199590-44.520 91.833 1996210-34.970 144.029 1997270-25.420 225.892 1998390-15.870 354.283 199957006.320 555.649 200090016.770 871.466 2001150027.220 1366.787 2002231037.670 2143.636 2003405048.120 3362.027 2004480058.570 5272.922 2005540069.020 8269.924 200679.470 12970.350 設(shè)：該趨勢(shì)線的模型為：設(shè)：該趨勢(shì)線的模型為：txt

46、yab6.320.45ab tyttyab xty lnty?ty ty6.320.45ttyx 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué)0100020003000400050006000700080009000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年銷售額預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2006年的銷售額：年的銷售額：20066.320.4579.470y9.470200612970.35ye ( (二二) )指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型： 一般形式一般形式: : 修正的指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型修正的指數(shù)曲線

47、預(yù)測(cè)模型 ： 對(duì)數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：對(duì)數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型： 生長曲線趨勢(shì)外推法：生長曲線趨勢(shì)外推法： 皮爾曲線預(yù)測(cè)模型皮爾曲線預(yù)測(cè)模型 ：bttyaettyabclntyabt1tb tLya etbtyk a 三、趨勢(shì)模型的選擇三、趨勢(shì)模型的選擇 圖形識(shí)別法：圖形識(shí)別法： 這種方法是通過繪制散點(diǎn)圖來進(jìn)行的，即將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)繪制這種方法是通過繪制散點(diǎn)圖來進(jìn)行的，即將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時(shí)間成以時(shí)間t t為橫軸，時(shí)序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線為橫軸，時(shí)序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型。與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選

48、擇較為合適的模型。 差分法：差分法： 利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。 一階向后差分可以表示為：一階向后差分可以表示為： 二階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為： 1tttyyy1122ttttttyyyyyy 差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性差分特性使用模型使用模型一階差分相等或大致相等一階差分相等或大致相等一次線性模型一次線性模型二階差分相等或大致相等二階差分相等或大致相等二次線性模型二次線性模型三階差分相等或大致相等三階差分相等或大致相等三次線性模型三次線性模型一階差分比率相等或大致相等一階差分比率相等或大致

49、相等指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型修正指數(shù)曲線模型10.2.2 10.2.2 多項(xiàng)式曲線趨勢(shì)外推法多項(xiàng)式曲線趨勢(shì)外推法 背背 景：當(dāng)變量之間的關(guān)系由于受到眾多因素的影響，其景：當(dāng)變量之間的關(guān)系由于受到眾多因素的影響，其變動(dòng)趨勢(shì)并非總是一條直線方程形式，而往往會(huì)呈現(xiàn)出不變動(dòng)趨勢(shì)并非總是一條直線方程形式，而往往會(huì)呈現(xiàn)出不同形態(tài)的曲線變動(dòng)趨勢(shì)。并且這種變動(dòng)趨勢(shì)曲線方程（模同形態(tài)的曲線變動(dòng)趨勢(shì)。并且這種變動(dòng)趨勢(shì)曲線方程（模型）也很難化為線性形式。型）也很難化為線性形式。 曲線趨勢(shì)外推法曲線趨勢(shì)外推法 根據(jù)時(shí)間序數(shù)據(jù)資料的散點(diǎn)圖走

50、向趨勢(shì)，選擇恰當(dāng)?shù)那€根據(jù)時(shí)間序數(shù)據(jù)資料的散點(diǎn)圖走向趨勢(shì)，選擇恰當(dāng)?shù)那€方程，利用最小二乘法或擬合法（三點(diǎn)法、三和法）等來方程，利用最小二乘法或擬合法（三點(diǎn)法、三和法）等來確定待定的參數(shù)，建立曲線預(yù)測(cè)模型，并用它進(jìn)行預(yù)測(cè)的確定待定的參數(shù)，建立曲線預(yù)測(cè)模型，并用它進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。方法。統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè)中南大學(xué)中南大學(xué) 一、二次多項(xiàng)式曲線模型及其應(yīng)用一、二次多項(xiàng)式曲線模型及其應(yīng)用 二次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型為：二次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型為： 設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) ， ， ，令，令 即：即： 解這個(gè)三元一次方程就可求得參數(shù)。解這個(gè)三元一次方程就可求得參數(shù)。2012tybbtb t1y2yn

51、y22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby 例例 1 1下表是我國下表是我國19521952年到年到19831983年社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)年社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國社會(huì)商品零售總額算），分析預(yù)測(cè)我國社會(huì)商品零售總額 。 1106.71106.7222219731973604.0604.01111196219622849.42849.43232198319831023.31023.3212119721972607.7607.7101019

52、6119612570.02570.0313119821982929.2929.2202019711971696.9696.99 9196019602350.02350.0303019811981858.0858.0191919701970638.0638.08 8195919592140.02140.0292919801980801.5801.5181819691969548.0548.07 7195819581800.01800.0282819791979737.3737.3171719681968474.2474.26 6195719571558.61558.627271978197877

53、0.5770.5161619671967461.0461.05 5195619561432.81432.8262619771977732.8732.8151519661966392.2392.24 4195519551339.41339.4252519761976670.3670.3141419651965381.1381.13 3195419541271.11271.1242419751975638.2638.2131319641964348.0348.02 2195319531163.61163.6232319741974604.5604.5121219631963276.8276.81

54、119521952總額總額（ y yt t ）時(shí)序時(shí)序（t t）年份年份總額總額 （ y yt t ）時(shí)序時(shí)序（t t）年份年份總額總額 （ y yt t ）時(shí)序時(shí)序（t t）年份年份 （1 1）對(duì)數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會(huì)商品零售總額為）對(duì)數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會(huì)商品零售總額為y y 軸，年份軸，年份為為x x 軸。軸。 （2 2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個(gè)模型模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲線，則我們將分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參能更好地?cái)M合該曲線，則我們將分

55、別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。數(shù)擬合。 適用的二次曲線模型為：適用的二次曲線模型為： 適用的指數(shù)曲線模型為：適用的指數(shù)曲線模型為： 2012tybbtb tbttyae （3 3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列 ，然后運(yùn)，然后運(yùn)用普通最小二乘法對(duì)模型各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。得到估計(jì)模型用普通最小二乘法對(duì)模型各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。得到估計(jì)模型為：為： 其中調(diào)整的其中調(diào)整的 ， ，則方程，則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7151.7。 2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29

56、)FF (4) (4) 進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對(duì)模型進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對(duì)模型 ： 兩邊取對(duì)數(shù)：兩邊取對(duì)數(shù)： 產(chǎn)生序列產(chǎn)生序列 ，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型。，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型。最終得到估計(jì)模型為：最終得到估計(jì)模型為： bttyaelnlntyabtlntylnln 303.690.0627tyt0 .0 6 2 73 0 3 .6 9ttye 其中調(diào)整的其中調(diào)整的 ， 則方程則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37175.37。 （5 5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用）通過以上兩次模型的擬合分析，我

57、們發(fā)現(xiàn)采用 二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程：二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程： 進(jìn)行預(yù)測(cè)將會(huì)取得較好的效果。進(jìn)行預(yù)測(cè)將會(huì)取得較好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1,30)FF2577.2444.333.29tytt 二、三次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用二、三次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用 三次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型為：三次多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型為： 設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) ， ， ，令，令 即：即： 解這個(gè)四元一次方程就可求得參數(shù)。解這個(gè)四元一次方程就可求得參數(shù)。230123tybbtb tb t1y223 20123012311( , ,)()()nntt

58、tttQ b b b byyybbtb tbt最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby2yny10.2.3 10.2.3 指數(shù)曲線趨勢(shì)外推法指數(shù)曲線趨勢(shì)外推法 一、指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用一、指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用 指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為：指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為： 對(duì)函數(shù)模型對(duì)函數(shù)模型 做線性變換得：做線性變換得： 令令 ，則，則 這樣，就把指數(shù)曲線模型轉(zhuǎn)化為直線模型了。這樣，就把指數(shù)曲線模型轉(zhuǎn)化為直線模型了。 二、修正指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用二、修正指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用 修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為：修正指數(shù)曲

59、線預(yù)測(cè)模型為：bttyae0)( aaeybttlnlntyabtln,lnttYy AatYAbt) 10( cbcaytt10.2.4 10.2.4 生長曲線趨勢(shì)外推法生長曲線趨勢(shì)外推法 一、龔珀茲曲線模型及其應(yīng)用一、龔珀茲曲線模型及其應(yīng)用 龔珀茲曲線預(yù)測(cè)模型為：龔珀茲曲線預(yù)測(cè)模型為： 對(duì)函數(shù)模型對(duì)函數(shù)模型 做線性變換得：做線性變換得： 龔珀茲曲線對(duì)應(yīng)于不同的龔珀茲曲線對(duì)應(yīng)于不同的lglg a a與與b b的不同取值范圍而的不同取值范圍而具有間斷點(diǎn)。曲線形式如下圖所示。具有間斷點(diǎn)。曲線形式如下圖所示。tbtykalglglgtykbatbtyka(1) lg(1) lga a0 00 0b

60、 b11(2) lg(2) lga a0 11(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k kk kk kk k(1) lg(1) lga a0 00 0b b11k k 漸進(jìn)線（漸進(jìn)線（k k）意味著市場對(duì)某類產(chǎn)品的需求）意味著市場對(duì)某類產(chǎn)品的需求 已逐漸接近飽和狀態(tài)已逐漸接近飽和狀態(tài) 。(2) lg(2) lga a0 11k k 漸進(jìn)線（漸進(jìn)線（k k）意味著市場對(duì)某類產(chǎn)品的需求）意味著市場對(duì)某類產(chǎn)品的需求已由飽和狀態(tài)開始下降已由飽和狀態(tài)開始下降 。(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k k 漸進(jìn)線（漸進(jìn)線（k k）意味著市場對(duì)某