第三章復(fù)變積分

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念2 柯西積分定理柯西積分定理(復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理)3 柯西積分公式柯西積分公式4 高階求導(dǎo)公式高階求導(dǎo)公式5 幾個重要定理幾個重要定理3.1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念一、有向曲線一、有向曲線 規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的光滑曲線或分段光滑曲線稱為有向曲線. 對于曲線C，若規(guī)定端點(diǎn) A 為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)，則把從A到B的方向稱為曲線C的正向，從B到A的方向稱為負(fù)向并記為 .C 若曲線是簡單閉曲線若曲線是簡單閉曲線，通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)向，若閉曲線作為某區(qū)域的若閉曲線作為某區(qū)域的邊界邊界，規(guī)定其正向?yàn)椋寒?dāng)點(diǎn)沿閉曲線

2、前進(jìn)時(shí)，鄰近點(diǎn)的區(qū)域總在閉曲線左側(cè).顯然，區(qū)域外邊界正向是逆時(shí)針方向，區(qū)域內(nèi)邊界正向是順時(shí)針方向.積分的定義：積分的定義： x y 0za 1kz kz k nzb 圖 3 .1 111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)(若C為閉曲線，則沿C的積分為 ，若C為 x 軸上區(qū)間，此時(shí) ，該定義即為定積分定義. Cdzzf)()()(xfzfA1z2z1 kzkzk 1 nzB說明：說明： (1) 當(dāng)當(dāng) 是連續(xù)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，且L是光滑曲是光滑曲線時(shí)，積分線時(shí)，積分 一定存在；一定存在； (2) 可以通過兩個二元實(shí)變函可以通過兩個二元實(shí)變函數(shù)的線

3、積分來計(jì)算數(shù)的線積分來計(jì)算.( )d(i )(did )ddi( dd )f zzuxyu xyxu yvvv( )fz( )dLf zz( )dCfzz（與實(shí)函數(shù)中二元線積分類比與實(shí)函數(shù)中二元線積分類比）線積分線積分復(fù)積分復(fù)積分,ccF x yM x y iN x y jdrdxidyjF drMdxNdy ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,F x ty trt dt ,f x ty tz t dt xx ttyy t 一個復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是一個復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個實(shí)二元線積分兩個實(shí)二元線積分 ,A xy ,B

4、xydxdycdrdz典型實(shí)例典型實(shí)例 公式提供了一種復(fù)積分的計(jì)算方法，即把復(fù)積分的計(jì)公式提供了一種復(fù)積分的計(jì)算方法，即把復(fù)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個二元實(shí)函數(shù)的曲線積分當(dāng)曲線積分的積分算轉(zhuǎn)化為兩個二元實(shí)函數(shù)的曲線積分當(dāng)曲線積分的積分路徑路徑C由參數(shù)方程給出時(shí)，復(fù)積分又可以轉(zhuǎn)化為單變量的由參數(shù)方程給出時(shí)，復(fù)積分又可以轉(zhuǎn)化為單變量的定積分定積分 例例 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段的直線段 dCzz【解】【解】 直線的方程可寫成直線的方程可寫成 或或 于是于是 3 ,4 , 01xt ytt ( ) 3i4 , 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3

5、 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t例題3 0I(Z),()nCdznzz計(jì)算積分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i 這個結(jié)果以后經(jīng)常要用到，它的特點(diǎn)是這個結(jié)果以后經(jīng)常要用到，它的特點(diǎn)是與積分路與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān)線圓周的中心和半徑無關(guān)，應(yīng)記住。，應(yīng)記住。復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分的性質(zhì) ：上連續(xù)在逐段光滑的有向曲線、設(shè)Czgzf)()(1 線性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(為常數(shù)、baCC2 設(shè)為 的逆向曲線，則(

6、 )( )CCf z dzf z dz 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z ds( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：為 的長度.)ML 3.2 柯西積分定理柯西積分定理定理定理1（柯西（柯西古薩基本定理）古薩基本定理） 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, 則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線 C 的積分為零:( )d0.Cf zz 注注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。 注注2：如果曲線C是D的邊界, 函數(shù) f (z)在D內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域 D+

7、C上解析, 甚至 f (z)在D內(nèi)解析, 在閉區(qū)域D+C 上連續(xù), 則 f (z)在邊界上的積分仍然有( )d0.Cf zz 二、原函數(shù)與不定積分二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D， f z dzc則與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。其中C： 。01zz于是 0zCCzf z dzfdfd 0zzF zfd 變上限積分。定理定理2 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, 則 在D內(nèi)也是解析的，且 。 F z Fzf z 0zzF zfd 變上限積分。證明： 001zzzzzF zzF zfdfdzz 1zzzfdz 1zzzff zdz 11zz

8、zzzzF zzF zf zfdf z dzzz 1zzzF zzF zf zff zdzz 1zzzff zdz因f(z)在D內(nèi)解析，故f(z)在D內(nèi)連續(xù) 0,0,zff z 使當(dāng)時(shí)，有特別地 110010.zzzzfdF zF zF z例如：23331133z dzz注：以上討論中D為單連通域。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)內(nèi)解析，在區(qū)域azDazzf01)(0211idzazaz這里D為復(fù)連通域?？蓪⒖挛鞣e分定理推廣到多連通域的情況定理定理2 假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則 1.

9、CCf z dzf z dzC1CDAB證明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。 -閉路變形原理閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：推論（復(fù)合閉路定理）：為簡單閉曲線設(shè)nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的簡單閉曲線，為包含nCCCC,21nCCCCD21為由邊界曲線所圍成的多連通區(qū)域， 內(nèi)解析，在Dzf)(則上連續(xù)在,DD0)(dzzf1( )( ).inCCif z dzf z dz或CiCD 從以上例子可以看出，復(fù)合閉路定理可以把沿任意簡單閉曲線上的積分化為以所圍奇點(diǎn)為中心的圓周上的積分，也就是

10、說，閉曲線任意變形，只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，則不會改變解析函數(shù)沿閉曲線的積分值，這種性質(zhì)稱為閉路變形原理。 3.3 柯西積分公式柯西積分公式0,zD設(shè)若 f (z) 在D內(nèi)解析，則000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz閉路變形原理DC0z 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：.定理定理 (柯西積分公式) 如果 f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析, C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D, z0為C內(nèi)的任一點(diǎn), 則001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz-解析函數(shù)可用復(fù)積分表

11、示。 證 由于f (z)在 z0連續(xù), 任給 0, 存在 () 0, 當(dāng) |zz0| 時(shí), | f (z)f (z0)| . 設(shè)以 z0為中心, R 為半徑的圓周K : |zz0|=R全部在C的內(nèi)部, 且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsR00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz根據(jù)閉路變形原理, 該積分的值與R無關(guān), 所以只有在對所有的R 積分值為零才有可能。推論推論1

12、 如果C是圓周z=z0+Rei, 則柯西積分公式成為2000(e )1()e d2eiiif zRf ziRiR2001(e )d2if zR0Reif z- 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于 它在圓周上的平均值.推論2 設(shè) f (z)在二連域 D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C 3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)

13、數(shù)存在了.定理定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導(dǎo)數(shù)為:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0的任何一條正向簡單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即 因此就是要證0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定義0.z 在時(shí)也趨向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西積分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf z

14、zzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz現(xiàn)要證當(dāng)z0時(shí)I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取 |z| 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 |z| 1

15、.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cosz在C內(nèi)卻是處處解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i0( )RRf zCzzRC在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則)(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCauchy不等式： 證明：RCnndzzzzfinzf100)()()(2!)(RCnndzzzzfnzf100)()(2!)(nnRnMRRMn!22!1注1：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小有關(guān)；注2： )(max)(00zfMzfnRCLiouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對復(fù)平面上任一點(diǎn)z ， RRCzRCint, ,)()(21)(2RCdzfizfMf)(RCdzfzf2)(21)(0)(0)(222RzRRM0)(zf.)(constzf( )Re