線性空間與線性變換習(xí)題

1、第六章第六章 習(xí)題課習(xí)題課 定義定義: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合, R為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域. 如果對(duì)于如果對(duì)于任意兩個(gè)元素任意兩個(gè)元素 , V, 總有唯一的一個(gè)元素總有唯一的一個(gè)元素 V與之與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 稱稱 為為 與與 的和的和(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱加法運(yùn)算加法運(yùn)算), 記作記作 = + . 若對(duì)于任一數(shù)若對(duì)于任一數(shù) R與任一元素與任一元素 V, 總有唯一的總有唯一的元素元素 V與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 稱稱 為為數(shù)數(shù) 與與 的積的積(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算), 記作記作 = . 如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律, 那那么么, 就稱就稱V為為數(shù)域數(shù)域R上的

2、向量空間上的向量空間(或或線性空間線性空間):設(shè)設(shè) , , , O O V, 1, l, k R, (1) 加法交換律加法交換律: + + = = + + ; (2) 加法結(jié)合律加法結(jié)合律: ( ( + + )+)+ = = +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O O V, 對(duì)任一向量對(duì)任一向量 , 有有 +O= ; (4) 負(fù)元素負(fù)元素: 對(duì)任一對(duì)任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + = =O O , 記記 = = ; (5) 1 = ; (6) 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律: k(l ) = (l k) ; (7) 數(shù)乘對(duì)加法的分配律數(shù)乘對(duì)加法的分配律: k(

3、 + )= k +k ; (8) 數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律: (k+l) = k +l .1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.2. 負(fù)元素是唯一的負(fù)元素是唯一的.3. 0 =0; (1) = ; 0=0.4. 如果如果 = 0, 則則 = 0 或或 = 0. 定義定義2: 設(shè)設(shè)V是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間, L是是V的一個(gè)非空子的一個(gè)非空子集集, 如果如果L對(duì)于對(duì)于V中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間成一個(gè)線性空間, 則稱則稱L為為V的的子空間子空間. 定理定理: 線性空間線性空間V的非空子集的非空子集L構(gòu)成子空間的充分構(gòu)成子空

4、間的充分必要條件是必要條件是: L對(duì)于對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉. 定義定義: 在線性空間在線性空間V中中, 如果存在如果存在n個(gè)元素個(gè)元素 1, 2, , n V, 滿足滿足: (1) 1, 2, , n 線性無關(guān)線性無關(guān); (2) V中任意元素中任意元素 總可以由總可以由 1, 2, , n線性表示線性表示,則稱則稱 1, 2, , n為線性空間為線性空間V的一個(gè)的一個(gè)基基, 稱稱n為線性空為線性空間間V的的維數(shù)維數(shù).當(dāng)一個(gè)線性空間當(dāng)一個(gè)線性空間V中存在任意多個(gè)線性無關(guān)的向中存在任意多個(gè)線性無關(guān)的向量時(shí)量時(shí), 就稱就稱V是是無限維的無限維的.維數(shù)為維數(shù)為n的線性空間的線性空間V

5、稱為稱為n維線性空間維線性空間, 記作記作Vn.若若 1, 2, , n為為Vn的一個(gè)基的一個(gè)基, 則則Vn可表示為可表示為:Vn = = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R 定義定義: 設(shè)設(shè) 1, 2, , n為線性空間為線性空間Vn的一個(gè)基的一個(gè)基, 對(duì)對(duì)任意任意 V, 總有且僅有一組有序數(shù)總有且僅有一組有序數(shù)x1, x2, , xn, 使使 = x1 1+x2 2+xn n ,則稱有序數(shù)組則稱有序數(shù)組 x1, x2, , xn 為為元素元素 在基在基 1, 2, , n下的坐標(biāo)下的坐標(biāo), 并記作并記作 = (x1, x2, , xn)T. 線性空間線性空間V的

6、任一元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是的任一元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的唯一的, 在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同. 在向量用坐標(biāo)表示后在向量用坐標(biāo)表示后, 它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo)它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo)的運(yùn)算的運(yùn)算, 因而對(duì)線性空間因而對(duì)線性空間Vn的討論就歸結(jié)為線性空間的討論就歸結(jié)為線性空間Rn的討論的討論. 定義定義: 設(shè)設(shè)U, V是兩個(gè)線性空間是兩個(gè)線性空間, 如果它們的元素之如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 那末就稱線性空間那末就稱線性空間U與與V同構(gòu)同構(gòu). 結(jié)論結(jié)論1.

7、同一數(shù)域同一數(shù)域P上的同維數(shù)線性空間都同構(gòu)上的同維數(shù)線性空間都同構(gòu); 結(jié)論結(jié)論2. 同構(gòu)的線性空間之間具有同構(gòu)的線性空間之間具有等價(jià)性等價(jià)性.同構(gòu)的意義同構(gòu)的意義: 在對(duì)抽象線性空間的討論中在對(duì)抽象線性空間的討論中, 無論構(gòu)成線性空間無論構(gòu)成線性空間的元素是什么的元素是什么, 其中的運(yùn)算是如何定義的其中的運(yùn)算是如何定義的, 我們所關(guān)心我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)的只是這些運(yùn)算的代數(shù)(線性運(yùn)算線性運(yùn)算)性質(zhì)性質(zhì). 從這個(gè)意義從這個(gè)意義上可以說上可以說, 同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的, 而有限而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它

8、的維數(shù). + + + += =+ + + += =+ + + += =nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111 設(shè)設(shè) 1, 2, , n及及 1, 2, , n是是n維線性空間維線性空間Vn的的兩個(gè)基兩個(gè)基, 且有且有稱以上公式為稱以上公式為基變換公式基變換公式. 在基變換公式中在基變換公式中, 矩陣矩陣P稱為由基稱為由基 1, 2, , n到到基基 1, 2, , n的的過渡矩陣過渡矩陣, 過渡矩陣過渡矩陣P是是可逆的可逆的.( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P將上式用矩陣形式表示為將上式用矩陣形式表示為: 定理定理1: 設(shè)設(shè)n維線性空

9、間維線性空間Vn中的元素中的元素 , 在基在基 1, 2, , n下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (x1, x2, , xn)T, 在基在基 1, 2, , n 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (x1 , x2 , , xn )T, 若兩個(gè)基滿足關(guān)系式若兩個(gè)基滿足關(guān)系式: ( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P.則有則有坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式:,2121 = = nnxxxPxxx.21121 = = nnxxxPxxx或或 反之反之, 若任一元素的兩種坐標(biāo)滿足上述坐標(biāo)變換若任一元素的兩種坐標(biāo)滿足上述坐標(biāo)變換公式公式, 則兩個(gè)基滿足基變換公式則兩個(gè)基滿足基變換公式:( 1, 2, , n)=(

10、 1, 2, , n)P. 定義定義: 設(shè)有兩個(gè)非空集合設(shè)有兩個(gè)非空集合A, B, 如果對(duì)于如果對(duì)于A中任一中任一元素元素 , 按照一定按照一定規(guī)則規(guī)則, 總有總有B中一個(gè)確定的元素中一個(gè)確定的元素 和它和它對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 那么那么, 這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合A到集合到集合B的的變變換換(或稱或稱映射映射), 記作記作 =T( ) 或記作或記作 =T ( A). 設(shè)設(shè) A, T( )= , 就說變換就說變換T把元素把元素 變?yōu)樽優(yōu)?, 稱稱 為為 在變換在變換T下的下的象象, 稱稱 為為 在變換在變換T下的下的源源(或或象源象源), 稱稱A為變換為變換T的的源集源集, 象的全體

11、所構(gòu)成的集合稱為象的全體所構(gòu)成的集合稱為象集象集, 記作記作T(A), 即即變換概念是函數(shù)概念的推廣變換概念是函數(shù)概念的推廣. T(A)= =T( ) | A . 顯然顯然, T(A) B. 定義定義: 設(shè)設(shè)Vn, Um分別是實(shí)數(shù)域分別是實(shí)數(shù)域R上的上的n維和維和m維線維線性空間性空間, T是一個(gè)從是一個(gè)從Vn到到Um的變換的變換, 如果變換如果變換T滿足滿足:(1) 任給任給 1, 2 Vn , 都有都有T( 1+ 2)=T( 1)+T( 2);(2) 任給任給 Vn , k R, 都有都有T(k )= kT( ).則稱則稱T為從為從Vn到到Um的的線性變換線性變換. 一個(gè)從線性空間一個(gè)從線

12、性空間Vn到其自身的線性變換稱為線性到其自身的線性變換稱為線性空間空間Vn中的線性變換中的線性變換.零變換零變換O: O( )=0恒等變換恒等變換(或稱單位變換或稱單位變換)E: E( )= , V,1. T(0)=0, T( )=T( ).2. 若若 =k1 1+k2 2+km m , 則則 T =k1T 1+k2T 2+kmT m . 3. 若若 1, 2, , m 線性相關(guān)線性相關(guān), 則則T 1, T 2, , T m亦線性相關(guān)亦線性相關(guān). 注意注意: 若若 1, 2, , m 線性無關(guān)線性無關(guān), 則則T 1, T 2, , T m不一定線性無關(guān)不一定線性無關(guān). 4. 線性變換線性變換T

13、的象集的象集T(Vn)是線性空間是線性空間Vn的一個(gè)子的一個(gè)子空間空間, 稱稱T(Vn)為線性變換為線性變換T的的象空間象空間. 5. ST= | T 1=0, Vn(經(jīng)經(jīng)T變換到變換到0的全體元素的全體元素構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合)是是Vn的子空間的子空間. 稱稱ST為線性變換為線性變換T的的核核.對(duì)對(duì)Rn上的線性變換上的線性變換: T(x)=Ax, x Rn, 則有則有 (1) T(x)=Ax的的象空間象空間T(Rn)就是由就是由 1, 2, , n 所所生成的向量空間生成的向量空間: 即即T(Rn)= y = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R (2) T(x)=

14、Ax的的核核ST就是齊次線性方程組就是齊次線性方程組Ax=0的解的解空間空間.表示表示, 其中其中A = (T(e1), T(e2), , T(en)Rn中任何線性變換中任何線性變換T, 都可用關(guān)系式都可用關(guān)系式T(x)=Ax (x Rn),212222111211 = =nnnnnnaaaaaaaaae1, e2, ,en為單位坐標(biāo)向量組為單位坐標(biāo)向量組. + + + += =+ + + += =+ + + += =nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 22112222112212211111)()()( 定義定義: 設(shè)設(shè)T是線性空間是線性空間Vn中的線性變換中的線性變換, 在在Vn

15、中取中取定一個(gè)基定一個(gè)基 1, 2, , n, 如果這個(gè)基在變換如果這個(gè)基在變換T下的象為下的象為其中其中T( 1, 2, , n)=(T( 1), T( 2), , T( n), 則上式可表示為則上式可表示為記記T( 1, 2, , n)= ( 1, 2, , n)A,212222111211 = =nnnnnnaaaaaaaaaA則稱則稱A為為線性變換線性變換T在基在基 1, 2, , n下的矩陣下的矩陣. 結(jié)論結(jié)論: 在在Vn中取定一個(gè)基后中取定一個(gè)基后: 由線性變換由線性變換T可唯一可唯一地確定一個(gè)矩陣地確定一個(gè)矩陣A; 反之反之, 由一個(gè)矩陣由一個(gè)矩陣A也可唯一地確也可唯一地確定一個(gè)

16、線性變換定一個(gè)線性變換T. 在給定一個(gè)基的條件下在給定一個(gè)基的條件下, 線性變換與矩陣是一一線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的.定理定理1: 設(shè)線性空間設(shè)線性空間Vn中取定兩個(gè)基中取定兩個(gè)基:由基由基 1, 2, , n到基到基 1, 2, , n的過渡矩陣為的過渡矩陣為P, Vn中的線性變換中的線性變換T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和和B, 那那末末B=P-1AP. 1, 2, , n;, 定義定義: 線性變換線性變換T的象空間的象空間T(Vn)的維數(shù)的維數(shù), 稱為線性稱為線性變換變換T的秩的秩.若若A是線性變換是線性變換T的矩陣的矩陣, 則則T的秩就是的秩就是R(A).

17、若線性變換若線性變換T的秩為的秩為r, 則則T的核的核ST的維數(shù)為的維數(shù)為nr. (1) 如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算通常實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算, 則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性. (2) 一個(gè)集合一個(gè)集合, 如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的常的實(shí)數(shù)間的加加, 乘運(yùn)算乘運(yùn)算, 則則必需必需檢驗(yàn)是否滿足檢驗(yàn)是否滿足八條線八條線性運(yùn)算規(guī)律性運(yùn)算規(guī)律. 例例1: 正實(shí)數(shù)的全體記作正實(shí)數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為數(shù)運(yùn)算為:a b = a+b, a =

18、a , ( R, a, b R+)問問R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成(實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的)線性空間線性空間. 解解: 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證, 所定義的運(yùn)算是上的運(yùn)算所定義的運(yùn)算是上的運(yùn)算. 但對(duì)于但對(duì)于八條運(yùn)算規(guī)律并不都成立八條運(yùn)算規(guī)律并不都成立. 對(duì)對(duì)(7), (8)兩條不成立兩條不成立.例如例如,(8) (k+l)a = ak+l = ak al 所以所以, R+對(duì)所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間對(duì)所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間. ak+al = ak al = ka l a . 例例1: 設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣, 問在什么條件下滿足問在什么條件下滿足xA

19、xT=0的的n維實(shí)向量維實(shí)向量 x=(x1, x2, , xn)構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間的子空間?解解: 記記V= x=(x1, x2, , xn) | xAxT= 0 顯然顯然0 V, 所以所以V非空非空.對(duì)任意的對(duì)任意的 x V, k R, 有有xAxT=0.(kx)A(kx)T= k2(xAxT) = 0,則則所以所以 kx V. 因此因此, V構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間的條件為的子空間的條件為:對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y V, 有有(x+y)A(x+y)T = 0.而而 (x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT由于由于x, y V, 則有則有x

20、AxT=0, yAyT=0. 所以所以,(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT=2xAyT=0故故,V構(gòu)成構(gòu)成Rn的子空間需要再增加條件的子空間需要再增加條件:對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y V, 有有xAyT=0. 證一證一: 因?yàn)橐驗(yàn)镻x2是是3維線性空間維線性空間, 所以所以Px2中任意中任意三個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基三個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基. 例例3: 證明證明: 1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基, 并并求向量求向量 1+x+x2 在這組基下的坐標(biāo)在這組基下的坐標(biāo).而而 1, x1, (x2)(x1) Px2, 令令k11+k2(x1)+k3

21、(x2)(x1)=0(k1k2+2k3)+(k23k3)x +k3x2=0整理得整理得比較等式兩邊得比較等式兩邊得,00302332321 = = = = =+ + kkkkkk 由方程組易得由方程組易得 k1=k2=k3=0, 于是于是1, x1, (x2)(x1)線性無關(guān)線性無關(guān), 所以所以1, (x1), (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基.設(shè)設(shè)1+x+x2在給定基在給定基1, (x1), (x2)(x1)下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為:(a1, a2, a3)T.則有則有1+x+x2 = a11+a2(x1)+a3(x2)(x1),整理得整理得比較等式兩邊得比較等式兩邊得: :1+x+x

22、2 = (a1a2+2a3)+(a23a3)x +a3x2,11312332321 = = = = =+ + aaaaaa,143321 = = = =aaa解得解得:所以所以 1+x+x2 在給定基下的坐標(biāo)為在給定基下的坐標(biāo)為: (3, 4, 1)T. 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).即即 證二證二: 已知已知 1, x, x2 是是Px2的一組基的一組基, 而而 1, (x1), (x2)(x1) Px2, 所以所以, 1, (x1), (x2)(x1)由由1, x, x2 線線性表示性表示;又由于又由于 + + + + = = + + = = = =)1)(2(1)1

23、(311)1(1111112xxxxxx即即 1, x, x2 可以由可以由 1, (x1), (x2)(x1) 線性表示線性表示, 所以所以兩個(gè)向量組等價(jià)兩個(gè)向量組等價(jià). 故它們有相同的秩故它們有相同的秩, 而而1, x, x2線性線性無關(guān)無關(guān), 因此因此, 1, (x1), (x2)(x1)也線性無關(guān)也線性無關(guān). 從而從而1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一組基的一組基.(1) 又由又由(1)式得式得, 由基由基1, (x1), (x2)(x1)到到1, x, x2的的過渡矩陣為過渡矩陣為:,100310111 = =P即即顯然顯然, 1+x+x2在給定基在給定基1, x, x2下

24、的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (1, 1, 1)T.則則1+x+x2在基在基1, (x1), (x2)(x1)下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為: (1, x, x2)=(1, (x1), (x2)(x1)P .即即1+x+x2 = (1, x, x2)(1, 1, 1)T.= (1, (x1), (x2)(x1)P(1, 1, 1)T.= (1, (x1), (x2)(x1) 111100310111 143= (1, (x1), (x2)(x1).143 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).即即 例例4: 在在R3中中, 求由基求由基 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=

25、(1, 1, 1)T, 通過過渡矩陣通過過渡矩陣所得到的新基所得到的新基 1, 2, 3, 并求并求 = 12 2+ 3在基在基 1, 2, 3下的表達(dá)式下的表達(dá)式. = =100110011A解解: 由題設(shè)有由題設(shè)有( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)A=( 1, 2, 3) 100110011=( 1, 1+ 2, 2+ 3)再由再由 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 得得 1=(1, 0, 0)T, 2= (0, 1, 0)T, 3= (0, 0, 1)T,為所求的新基為所求的新基. 5211001100111 = 12 2+ 3=

26、( 1, 2, 3)(1, 2, 5)T=( 1, 2, 3)A-1(1, 2, 5)T =( 1, 2, 3) 521100110111,532 =( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)故故 =2 1+3 2+5 3.例例5: 設(shè)設(shè)R4的兩組基的兩組基:求由基求由基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的過渡矩陣的過渡矩陣, 并寫并寫出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式.;1110,1211,0011,01214321 = = = = = = = = .1234,2143,3412,43214321 = = = = = = = = 解一解一: 由過渡矩陣的定義有由過渡

27、矩陣的定義有 + + + += =+ + + += =+ + + += =+ + + += =)4()3()2()1(4443342241144443333223113344233222211224413312211111 aaaaaaaaaaaaaaaa整理得整理得 + + + + + + = = 1110121100110121432141312111aaaa由方程由方程(1)得得,432221413141311141312111312111 = = = =+ + + = =+ + + += =+ + +aaaaaaaaaaaa,26161141312111 = = = = = =aaaa

28、解得解得: 同理可以從方程同理可以從方程(2), (3), (4)求出其余的求出其余的aij , 從而確從而確定出過渡矩陣定出過渡矩陣.從上面的解法可以看到從上面的解法可以看到, 由定義出發(fā)由定義出發(fā), 利用解方程利用解方程組組, 求出線性表達(dá)式中的系數(shù)求出線性表達(dá)式中的系數(shù), 得到過渡矩陣得到過渡矩陣, 這種方這種方法計(jì)算量太大法計(jì)算量太大. 因此因此, 當(dāng)線性表達(dá)式不容易得到時(shí)當(dāng)線性表達(dá)式不容易得到時(shí), 可可采用下面的解法采用下面的解法.解二解二: 引入一組新的基引入一組新的基:.1000,0100,0010,00011111 = = = = = = = =eeee.11001201111

29、20111 = =A( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)A.于是于是其中其中.1234214334124321 = =B( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)B.又又其中其中( 1, 2, 3, 4)=( 1, 2, 3, 4)A-1B.從基從基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3, 4的過渡矩陣為的過渡矩陣為:.1234214334124321 11100120111120111 P=A-1B= 因此因此, 從基從基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的基變換的基變換公式為公式為: 對(duì)任意的對(duì)任意的 R4, 設(shè)其在基設(shè)

30、其在基 1, 2, 3, 4和基和基 1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)分別為下的坐標(biāo)分別為(x1, x2, x3, x4)T和和(y1, y2, y3, y4)T.則坐標(biāo)變換公式為則坐標(biāo)變換公式為:, 432114321 = = xxxxPyyyy. 43214321 = = yyyyPxxxx或或 例例6: 判斷下列變換是否為線性變換判斷下列變換是否為線性變換. (1) 在線性空間在線性空間V中中, 定義變換定義變換 1( )= + , V, 其中其中 是是V中的一個(gè)固定向量中的一個(gè)固定向量. (2) 在在R3中中, 定義變換定義變換 2(x1, x2, x3)=(x12, x2+ x3, x3

31、2), 其中其中 =(x1, x2, x3) R3.解解(1): 對(duì)任意的對(duì)任意的 , V, k R, 1( + )=( + )+ , 1( )+ 1( )=( + )+( + )=( + )+2 , 1(k )=k + ,k 1( )=k( + )=k +k ,當(dāng)當(dāng) 0時(shí)時(shí), 1不是線性變換不是線性變換;當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí), 1是線性變換是線性變換.所以所以,解解(2): 對(duì)任意的對(duì)任意的 =(x1, x2, x3), =(y1, y2, y3) V, 則則 2( + )=(x1+y1)2, (x2+y2)+(x3+y3), (x3+y3)2) 2( )+ 2( )=(x12, (x2+x3),

32、 x32)+(y12, (y2+y3), y32)=(x12+y12, (x2+x3)+(y2+y3), x32+y32)所以所以, 2( + ) 2( )+ 2( ),因此因此, 2不是線性變換不是線性變換.例例7: 全體二階實(shí)矩陣構(gòu)成實(shí)數(shù)域全體二階實(shí)矩陣構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間上的線性空間V, 取固定實(shí)數(shù)矩陣取固定實(shí)數(shù)矩陣, = =dcbaA在在V中定義變換中定義變換 : (X)=AXXA, X V.(1) 證明證明 是是V中的一個(gè)線性變換中的一個(gè)線性變換;(2) 證明對(duì)任意的證明對(duì)任意的X, Y V, 恒有恒有 (XY)= (X)Y+X (Y); (3) 在在V中取一組基中取一組基:,1

33、000,0100,0010,00014321 = = = = = = = =EEEE寫出寫出 在該基下的矩陣在該基下的矩陣.證明證明(1): 對(duì)任意的對(duì)任意的X, Y V, k R, (X+Y)=A(X+Y)(X+Y)A=AX+AYXAYA=(AXXA)+(AYYA) = (X)+ (Y). (kX)=A(kX)(kX)A=k(AXXA)=k (X)故故 是是V上的一個(gè)線性變換上的一個(gè)線性變換.證明證明(2): 對(duì)任意的對(duì)任意的X, Y V, (XY)=A(XY)(XY)A=(AX)YX(YA)=(AX)Y(XA)Y+X(AY)X(YA) =(AXXA)Y+X(AYYA) = (X)Y+X (

34、Y) = =dcbadcba00010001 (E1)=AE1E1A = =00cb=bE2+cE3.同理可得同理可得, (E2)=cE1+(ad)E2+cE4 (E3)=bE1+(da)E3bE4 (E4)=bE2cE4,000000 bccadcbdabbc.000000 = =bccadcbdabbcB (E1, E2, E3, E4)所以所以=(E1, E2, E3, E4)即即, 線性變換線性變換 在基在基E1, E2, E3, E4下的矩陣為下的矩陣為: 解解: 如果按定義直接寫出如果按定義直接寫出 ( i)( i = 1, 2, 3)被被 1, 2, 3線性表示出的表達(dá)式相當(dāng)麻煩

35、線性表示出的表達(dá)式相當(dāng)麻煩, 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算為了簡(jiǎn)化運(yùn)算, 可引可引入一組新基入一組新基: 例例8: 在線性空間在線性空間R3中取基中取基 1=(1, 0, 2)T, 2=(0, 1, 2)T, 3=(1, 2, 5)T,線性變換線性變換 使得使得 ( 1)=(2, 0, 1)T, ( 2)=(0, 0, 1)T, ( 3)=(0, 1, 2)T,求求 在基在基 1, 2, 3下的矩陣下的矩陣.e1=(1, 0, 0)T, e2=(0, 1, 0)T, e3=(0, 0, 1)T,則則,522210101 = =A( 1, 2, 3)=(e1, e2, e3)A,其中其中,211100002 = =B(e1,