數(shù)學(xué)建模+停車場設(shè)計問題

1、Word格式案例16停車場的優(yōu)化設(shè)計隨著城市車輛的增加，停車位的需求量也越來越大，停車困難已逐漸成為市民們頭疼的問題。要解決停車難問題，除了盡可能的增加停車場以外，對停車場進行優(yōu)化設(shè)計也能在一定程度上緩解這一供需矛盾。停車場的優(yōu)化設(shè)計就是在停車場大小確定的情況下，對停車區(qū)域進行優(yōu)化設(shè)計，以便容納更多的車輛。本文的目的就是希望分析一下這一情況，找出緩解停車困難的有效辦法。假設(shè)某公共場所附近有一塊空地，如果不考慮建設(shè)地下或多層結(jié)構(gòu)，我們該如何有效的設(shè)計停車位置呢？一般來說，想盡可能的把車塞進停車場，最好的辦法就是以垂直?？康姆绞綄④囈惠v擠一輛地排成行，但是這樣停放的后果就是車輛不能自由出入，只有后

2、進入的車輛全部先出去了，先進入的車才可以離開停車場，顯然不符合實際的需求。因而，為了使汽車能夠自由地出入停車場，必須設(shè)立一定數(shù)量具有足夠?qū)挾鹊耐ǖ?，并且每個通道都應(yīng)該有足夠大的“轉(zhuǎn)彎半徑”，而通道越寬越多，就會使得容納的車輛數(shù)越少。所以我們的問題就是要確定在滿足車輛能夠自由進出的實際需求下，如何進行停車位置和車行通道的設(shè)計，才能夠停放更多的車輛，從而做到既方便停車又能獲得最大的經(jīng)濟效益。我們先來看看生活中非貨運車輛大小的種類。根據(jù)實際調(diào)查和經(jīng)驗數(shù)據(jù)，這類車輛一般可分為小轎車，中型客車和大型客車三類。其中小轎車約占九成，大型客車約占一成，而中型客車一般不多于1%根據(jù)這樣的情況，我們可以免去對中型

3、客車的車位設(shè)計，即便有中型客車停車的需要，可以使用大型車的車位，這也符合現(xiàn)實生活中絕大多數(shù)停車場的車位設(shè)計情況。我們設(shè)小轎車所占的比例為a=0.9，大型客車所占的比例為1-口=0.1,當然現(xiàn)實中也有不少全為小轎車設(shè)計的停車場，例如小區(qū)的地下車庫。再來看看車位的大小。根據(jù)實際的調(diào)查，城市內(nèi)比較普通的小轎車長度一般不超過4.7米，寬度一般不超過1.7米，而一般大型客車長度不超過12米，寬度不超過2.2米。另外，經(jīng)實際考察可知，停車場中標志線的寬度大約為0.1米，所以我們可以假設(shè)停車場中停放轎車需要的車位長Cl=5米，寬Cw=2.5米,這其中包括了0.1米的標志線寬度和至少0.3米的汽車間的橫向間距

4、。設(shè)停放大客車需要長Bl=12.5米，寬Bw=3米，其中包括0.1米的標志線寬度和必要的汽完美整理Word格式車之間的橫向間距。考慮到汽車從通車道駛?cè)胲囄灰话愕棉D(zhuǎn)彎，所以車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑也是停車場設(shè)計所要考慮的重要參數(shù)。所謂最小轉(zhuǎn)彎半徑，就是汽車轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)向中心到汽車外側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離。根據(jù)實際調(diào)查，可設(shè)小轎車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為Ci=5.5米，與此同時，汽車轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)向中心到汽車內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離為C2=C1-1.7=3.8米，如圖1所示。圖1對于大客車，我們設(shè)其最小轉(zhuǎn)彎半徑為B=10米，與此同時，大型車轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)向中心到內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離為B2=B-2.2=7.8米。

5、本文的目的就是討論應(yīng)當整體設(shè)計車位的排布。對于給定的停車場，我們的目標就是盡可能多地增加車位數(shù)，或者說，使每輛車占據(jù)的停車場面積盡可能小。一僅有一種車型的局部車位位置大型客車和小轎車在停車時占地面積相差很大，一般都是分區(qū)停泊的。現(xiàn)在,讓我們先來看看只限于停放小轎車的簡單情況，并且先不考慮停車場的實際大小，只是來研究一下應(yīng)當如何給出局部設(shè)計，才能使每輛車占據(jù)的停車場地面積最小。對于每一個車位，為了便于該車位上的小轎車自由進出，必須有一條邊是靠通道的，設(shè)該矩形停車位的長邊與通道的夾角為6(0<9<-),其中日=三便是車22輛垂直從通道駛?cè)胲囄唬?=0就是車輛從通道平行駛?cè)胲囄唬雌綍r所

6、說的平行泊車。為了留出通道空間和減少停車面積，顯然，我們可以假設(shè)該通道中的所完美整理Word格式有車位都保持著和該車位相同的角度平行排列，如圖2所示。圖2上圖中，小轎車是自東向西行駛順時針轉(zhuǎn)彎日角度駛?cè)胲囄坏摹Ｎ覀儊砭唧w研究一下小轎車駛?cè)胲囄坏那闆r，見圖3,其中Ci為最小轉(zhuǎn)彎半徑，R為通道的最小寬度。我們假定小轎車的最外端在半徑為Ci的圓周上行駛，且此時轎車的最內(nèi)端在半徑為C2的圓周上隨之移動，然后以日角度進入停車位，所以通道的最小寬度R=C1-C2cos6。在保證車輛能夠自由進出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，我們來看一下一排車位之間的各個數(shù)據(jù)，見圖4。圖3完美整理Word格式圖4每

7、輛車均以角度日停放，用W表示小轎車停車位寬度，L表示小轎車停車位長度（這里L(fēng)的最上方并沒有取到最上端是考慮到車身以外的小三角形區(qū)域可以留給對面停車位使用），Lo表示停車位末端的距離，易見他們分別是停車角日的函數(shù)，且有Wsin1,八.1八L=CLsin1Cwcos12一1一.、L0-（Cl-Cwcot）cos,1-Li=-CyyCos2現(xiàn)在按照圖4所示，計算一下每輛車占據(jù)的停車場面積S（e）.考慮最佳排列的極限情況，假設(shè)該排車位是無限長的，可以忽略該排車位兩端停車位浪費掉的一一1面積1L0L,因為它們被平均到每個車位上去的公攤面積很小，可以不計。從2車輛所占的停車位來看，它占據(jù)的面積為WL,另外

8、，它所占的通道的面積為W，R。考慮到通道對面（也就是圖4的下部）也可以有類似的一排車位可以相互借用此通道，所以可以對占用的通道面積減半，于是我們得到:1S二-WL-WR=CwCl2Cwcos口CiCwCwC2cos二2sin-2sin-2sin-(D我們的目標就是求出S（9）的最小值。#C1=5.5*,C2=3.8米，Cl=5米，Cw=2.5米代人（1）式，可得完美整理Word格式c1.625-6.875cos-S'（吁,sin?力寸，S（e）達到最小，且minS（6）=19.18c“6.8751.625cos-Si-12.5-sin?sin?所以當cose：1625：13,即8%73

9、6.87555平方米。需要說明的是，當日=0時車位與車道平行，此時每輛車都得采用平行泊車的方式進入車位，這是現(xiàn)實生活中馬路邊的停車位常見的情況，在一般的停車場中幾乎很少看到。平行泊車對駕駛員的技術(shù)要求較高，所以我們不考慮這樣的情況。事實上，即便要計算在這種情況下每單位車輛所占據(jù)的停車場面積S（e）也不困難，只不過對于平行泊車，所要求的每個車位的長和寬不應(yīng)再是上面所說的Cl和Cw,特別是停車位的長度Cl將變得更長（否則，停泊的車輛將無法進出），其所要求的行車道的最小寬度也得足夠大，以便能讓泊車車輛通過，車位圖形需按小轎車路線重新繪制，讀者可以自行計算并得到這些數(shù)據(jù)，計算結(jié)果表明，平行泊車是每輛車

10、所占的平均面積明顯地大于19.18平方米。上述對車位的局部分析表明，當停車位與通道夾角776.33口時，可以使每單位車輛占據(jù)停車場的面積達到最小。二僅有一種車型的全局車位排列上面的局部分析告訴我們，如果保持一排車位方向一致，且與單向通道的火角為日5t76.33;可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時寬度為R的單向通道分別提供給其兩邊的停車位使用。在通道兩邊都各安排一排小轎車車位時，考慮到路線的單行性質(zhì)，通道兩邊的停車位角度日應(yīng)該相對，如圖5所示。完美整理Word格式/圖5對每一排停車位，其一邊為通道，另一邊則可以是另一排停車位或者是停車場的邊緣。所以停車排數(shù)Pc最多只能是通道數(shù)Pi的兩倍，即：pc&

11、lt;2P1（2）另一方面，如果按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形式加以組合，依次排列，確實也可以達到R=2P1。即（2）式中的等號是可以成立的。此時，車位數(shù)可以達到停車位位置的最大值，排列情況同樣可以見圖5.圖5顯示，在每排車位數(shù)相當大或者說，在不考慮整個停車場四角浪費的那些面積時，我們可以使每單位車輛占用的停車場面積最小，并且對于小轎車來說，此最小值在車位角度日常76.33口時達到。我們再來計算一下停泊車輛均為大型客車時的最佳角度，將模型（1）修改為：S(e尸BwBl+琢®殂+型U-BW空空史(3)2sin-2sin-2sin-7.2-15cosusin2并且將

12、相應(yīng)數(shù)據(jù)代人（3）得到：S（e）=37.5+蔡-7,S'（日產(chǎn)sinsin72取8使SO=0,即cos日=72=0.48,求得當日定61.31,此時每單位大型客車15占據(jù)的停車場面積最小，每輛車占據(jù)的面積為S（日）=50.66（平方米）。綜上所述，對于只有一種車型的足夠大的停車場，按照現(xiàn)有的車輛尺寸大小完美整理Word格式計算，我們將采用圖5的排列方式設(shè)計停車位。對于小轎車，設(shè)計車位角度為76.33：單位車輛占據(jù)的停車場面積為19.18平方米。對于大型客車，設(shè)計的車位角度為61.31：單位車輛占據(jù)的停車場面積為50.66平方米。三兩種車型的停車場設(shè)計的理想情況對于兩種車型，即小轎車和大

13、型客車同時存在的情況，如果對于足夠大的停車場地，我們可以根據(jù)“：（1-支）=9:1的比例要求，計算出所需的小轎車車位排數(shù)和大型客車車位排數(shù)，以及每排的停車數(shù)目。根據(jù)第二部分的討論，我們可以按一排停車位，一行通車道，一排停車位這樣三排為一組的方式組合出停車場的結(jié)構(gòu)，設(shè)小轎車有Cg組，大型客車有Bg組，每組的一排長度為G米。根據(jù)第一部分，對于小轎車的停車位置寬度W=J=2.5=2.573sinsin76.33（米）,而對于大型客車，其停車位置的寬度W=-B"=3一.=3.420（米）。sin二sin61.31所以，對于小轎車，每一組可以停放的車輛數(shù)目為工二G,該停車場中總共可以2.537

14、停放2；C；G輛小轎車'而對于大型客車，同樣可以得總車位數(shù)為粵£。根Cg:Bg=6.77:1。gg12*Cn，G2祖，G.，據(jù)g:g=9:1的比例要求，我們可以得到2.5373.420綜上所述，對于足夠大的停車場地，我們可以用一排停車位，一條通車道，一排停車位為一組的形式來平行設(shè)計車位，大體結(jié)構(gòu)可參見圖5.至于小轎車組和大型客車組的比例，可以按照近似于6.77:1的形式，例如，取近似值7:1,13:2,20:3,27:4,34:5等比例建造。四具體停車場車位設(shè)計上面我們討論的都是理想情況，現(xiàn)實中很多停車場的占地面積并不一定很大，而且從圖5的設(shè)計安排來看，理想情況下的每一組車位

15、都必須為車輛能夠自由進出而設(shè)置一個入口和一個出口，這樣的設(shè)計既不經(jīng)濟也不安全。特別是對于某些收費的停車場或者要重點考慮安全設(shè)施的停車場，將不得不在眾多的出入口設(shè)置收費點或關(guān)卡而增加成本，這顯然不是最好的安排，那么對于一個具體形狀完美整理Word格式以得到更合理和面積給定的停車場，我們將根據(jù)前面理想情況的討論做出改進，的設(shè)計規(guī)劃。圖6為某公共場所附設(shè)的停車場，它是一個長90米，寬45米的矩形區(qū)域，該矩形區(qū)域的四個角落有照明燈設(shè)置，其占據(jù)矩形角上的形狀為邊長2.5米正方形，見圖6的星號區(qū)域。區(qū)域南邊，西邊，北邊是圍墻，東邊是馬路，這是可以作為停車場出入口的唯一的一條邊。根據(jù)對當?shù)貙嶋H情況的調(diào)查，該

16、停車場位設(shè)計應(yīng)考慮5至6個大型客車車位，其余都作為小轎車車位設(shè)計。現(xiàn)在我們就按照上述要求來對這塊停車場進行車位的具體安排。90米的停車場長邊可以當作足夠長的邊來看待，我們將90米為一排來設(shè)計小轎車的車位，即每排車位與矩形的長邊平行。在理想情況下，根據(jù)第一部分討論可知，最佳設(shè)計下的車位長度為：1一L=CLsin8+CWcos=5sin76.33+1.25cos76.33=5.154（米）2停車場通道寬度為：R=Ci-C2cos8=5.5-3.8cos76.33'=4.602（米），所以，理想情況下的一組（即兩排車位中間加一條行通車道）的寬度約為：2L+R=14.91（米）于是，45米寬可

17、以考慮安置三組這樣的車位，如圖6的I,II和田。完美整理Word格式在小轎車的總體布局確定下來后，我們再來具體確定大型客車的車位?？紤]到大型車的轉(zhuǎn)彎半徑比較大，借用專門為小轎車車位設(shè)計的通道是肯定不行的。相對來說，大型客車停車位只占總停車位的很小一部分，在設(shè)計停車場的位置市，為了節(jié)省面積以增加車位數(shù)，應(yīng)該將所有大客車位置放在一塊，同樣以矩形并排的形式放置。大客車在停車場中的停放方式也可以采用直角停放的停車方式，并按照其特殊的位置設(shè)置特殊寬度的通道。另外考慮到其進出上的困難情況，一般可安置在停車場的出口部分，例如，將其安排在東邊靠馬路處（注：東邊臨街，沒有圍墻），且垂直東邊的馬路橫向占用小轎車的

18、車位設(shè)置6個大型客車車位，大客車可直接由馬路開進停車位，見圖6的右邊6個橫向車位。剩下的事情就是得解決出入口問題了，由于只能在東邊設(shè)置出入口，并且I,n,田三組區(qū)域為相互能借助對方區(qū)域的車位排列位置設(shè)置，通道形式方向應(yīng)該間隔，即I向東，II向西，田向東，或者I向西，II向東，田向西。為此，必須在停車場的最西邊設(shè)置南北走向的一排通道，以便讓I,田區(qū)車位的車輛都能夠換向出入，具體可以參照圖6的設(shè)置。最后，考慮到既然在最西邊已經(jīng)設(shè)置了南北走向的一排通道，我們可以在該通道的西邊設(shè)置一排車位，此時該車位設(shè)計的車輛出入可以占用南北通道，所以這排車位的設(shè)計是最合理的，如圖6中的區(qū)域IV.根據(jù)如上的分析，我們

19、對該停車場的車位大致設(shè)計成圖6.東邊的中部為入口，北部和南部為出口，這樣，即使在車輛較多的時候不至于難以駛出，通道方向也如圖6所示。大型客車的車位已經(jīng)確定為6個，小轎車車位的個數(shù)我們將根據(jù)I,H,田的車位角度6進行變化。由于東西走向的通道和南北走向通道已經(jīng)是垂直拐彎，所以毫無疑問，區(qū)域IV的車位將垂直排列，去掉兩邊照明燈設(shè)置后西邊寬度為40米，正好可以設(shè)置16個車位（2.5米寬和5米長），垂直于西邊。我們可以計算出西邊通道的寬度為R=C1-C2cos3=5.5（米）?？紤]到對稱性質(zhì)，我們設(shè)橫向的6排的小轎車位個數(shù)分別是Xi,X2,X2,X2,X2,Xi個，并建立如下的小轎車車位個數(shù)模型：max

20、X=2X14X216完美整理Word格式3BW<2L5+X1W+L0+2.5<905+5.5+X2W+2L0+Bl<90s.t6L+3R+CWCOse<45Xi>0,i=1,2>為整數(shù)冗0<0<-、2C1_一1一將公式W=,L=CLsinH+CWcos日，L0=(CL+CWcotH)cosH,sin22R=C1C2cos9和數(shù)據(jù)CL=5,CW=2.5,C1=5.5,C2=3.8,Bl=12.5,BW=3分別代人（4）式，化簡后可得:maxX=2X14X21618<20sin6+5cos9X1<33sin日-2sinccos6-0.5c

21、os26X2<26.8sin9-4sin8cos日-cos2日s.t4300sin9-14cos6<285（5）Xi>0,i=1,2且為整數(shù)不冗0<9<2對于模型（5）,如直接利用計算機編程求解會遇到一些麻煩，先是涉及9的變化，然后又涉及Xi和X2。為此，我們先用微積分知識來討論一下。對于第一個限制條件18W20sin8+5cosH,設(shè)f1（日）=20sin8+5cosH,易求f11-20cos1-5sin當tan9=1時，函數(shù)有唯一的駐點，所以t步）在：|0,-內(nèi)的最大值為4_4，吊一衿184）14力1maxf0,f/arctan-JIJI4于是，日的取值范圍應(yīng)限制在區(qū)間.|土二1內(nèi)，容易發(fā)現(xiàn)當Z戶,I時,_42,IL4220sin-5cos-,33sin:一2sincos二一0.5cos2完美整理Word格式一一一一一.2.26.8sin0-4sin6cos9-cos9,300sin日-14cos9都為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，這是求上面模型解的關(guān)鍵所在。只要求出18<20sln0+5cos6和300sin8-14cos6<