第三章曲線曲面設(shè)計1

1、第三章 曲線曲面設(shè)計幾何造型技術(shù)幾何造型技術(shù)是一項研究在計算機中，如何表達(dá)物體模型形狀的技術(shù)。描述物體的三維模型有三種: 線框模型、曲面模型和實體模型線框模型、曲面模型和實體模型。l線框模型用頂點和棱邊來表示物體。l由于沒有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物體；l它不能明確地定義給定點與物體之間的關(guān)系（點在物體內(nèi)部、外部或表面上）。l表面模型用面的集合來表示物體，而用環(huán)來定義面的邊界。l表面模型能夠滿足面面求交、線面消隱、明暗色彩圖、數(shù)控加工等需要。l但在該模型中，只有一張張面的信息，物體究竟存在于表面的哪一側(cè)，并沒有給出明確的定義，無法計算和分析物體的整體性質(zhì)。如物體的表面積、體積、重心等

2、。l也不能將這個物體作為一個整體去考察它與其它物體相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，如是否相交等。l實體模型能完整表示物體的所有形狀信息，可以無歧義地確定一個點是在物體外部、內(nèi)部或表面上。是最高級的模型。l這種模型能夠進(jìn)一步滿足物性計算、有限元分析等應(yīng)用的要求。三維表面模型表示三維物體的信息并不完整，但它能夠表達(dá)復(fù)雜的雕刻曲面，在幾何造型中具有重要的地位，對于支持曲面的三維實體模型，表面模型是它的基礎(chǔ)幾何造型的歷史l曲面造型：60年代，法國雷諾汽車公司、Pierre Bzier、汽車外形設(shè)計的UNISURF系統(tǒng)。l實體造型：1973英國劍橋大學(xué)CAD小組的Build系統(tǒng)、美國羅徹斯特大學(xué)的PADL-1系統(tǒng)等。l

3、獨立發(fā)展起來，又合二為一。l主流：基于線框、曲面、實體、特征統(tǒng)一表示的造型設(shè)計系統(tǒng)3.1 參數(shù)曲線和曲面3. .1. .1 曲線曲面參數(shù)表示曲線曲面參數(shù)表示l顯式表示:y=f（x）l隱式表示:f（x，y）=0l參數(shù)表示:P(t)=x(t), y(t), z(t)顯式或隱式表示存在下述問題：（1）與坐標(biāo)軸相關(guān)；（2）會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形(如垂線)；（3) 不便于計算機編程。參數(shù)表示:曲線上任一點的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為： 空間曲線上任一三維點P可表示為：)(),()(tytxtP)(),(),()(tztytxtP參數(shù)表示例子：l直線l圓 1

4、 , 0,)()(121ttPPPtP 1 , 012,11)(222ttttttP參數(shù)表示的優(yōu)點：（1）以滿足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀（3）對曲線、曲面進(jìn)行變換，可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。（5）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率l曲線上任一點的位置矢量可表示為： P(t)=x(t), y(t), z

5、(t)；位置矢量切向量(切矢量)l切向量(切矢量)l選擇弧長s作為參數(shù)，則 是單位切矢l根據(jù)弧長微分公式有：l于是有 ，即為單位矢量sPdsdPTs0lim2222dzdydxds22222)(/tPdtdzdtdydtdxdtds0)(tPdtds)()(tPtPdsdtdtdPdsdP法矢量 T(S)與 垂直l法矢量l與 平行的法矢稱為曲線在該點的主法矢主法矢N Nl矢量積 是第三個單位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副副法矢量法矢量l我們可以推導(dǎo)出：dsdTNTB)()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPTBNtPtPtPtPB 密切面從切面法平

6、面TBN主法線圖3.1.2 曲線的法矢dsdTlT(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動坐標(biāo)架lN、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。密切面從切面法平面TBN主法線圖3.1.2 曲線的法矢 l曲率和撓率 即稱為曲率曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率曲率k的倒數(shù) 稱為曲率半徑曲率半徑。撓率撓率 的絕對值等于副法線方向(或密切平面)對于弧長的轉(zhuǎn)動率.ssTsTTss00limlimss0lim1sslim.對于一般參數(shù)t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計算公式如下：3)()()(tPtPtP 2)()()(),(),(tPt

7、PtPtPtP )(ssT)(sTTO圖3.1.3 曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B3.1.3 插值、擬合、逼近和光順給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進(jìn)行插值插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。 l線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個不同點x1和x2的值，用一個線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。l拋物線插值:已知在三個互異點 的函數(shù)值為 ，要求構(gòu)造一個函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點 處與 在 處的值相等cbxaxx2)()(x321,xxx321,yyy) 3 , 2 , 1( ixi)(xfixx

8、yo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b)圖3.1.4 線性插值和拋物插值擬合：擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(但未必通過這些點)，所構(gòu)造的曲線為擬合擬合曲線。在計算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計算機圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。光順(Firing)指曲線的拐點不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：la. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；lb. 不存在多余拐點和奇異點；lc. 曲率變化較小。3.1.4 參數(shù)化過三點P0、P1和P2構(gòu)造參數(shù)

9、表示的插值多項式可以有無數(shù)條，這是因為對應(yīng)地參數(shù)t, 在0, 1區(qū)間中有無數(shù)種取法。即P0、P1和P2可對應(yīng)不同的參數(shù)值，比如， 或 其中每個參數(shù)值稱為節(jié)點(knot)。, 1,21, 0210ttt, 1,21, 0210ttt對于一條插值曲線，型值點 與其參數(shù)域 內(nèi)的節(jié)點之間有一種對應(yīng)關(guān)系。對于一組有序的型值點，所確定一種參數(shù)分割，稱之這組型值點的參數(shù)化。nPPP,10,0nttt 參數(shù)化常用方法有：l均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)l節(jié)點在參數(shù)軸上呈等距分布， +正常數(shù)。l累加弦長參數(shù)化 這種參數(shù)法如實反映了型值點按弦長的分布情況，能夠克服型值點按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題

10、。iitt1 niPtttiii, 2 , 1,0110iiiPPP1l向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點分布。niPtttiii, 2 , 1,021110 l修正弦長參數(shù)化法弦長修正系數(shù)Ki=1。從公式可知，與前后鄰弦長及相 niPKtttiiii, 2 , 1,0110iiiiiiiiiPPPPPPK112122310,2,min111niiiiPPPPP比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角i-1和 i(不超過時)越大，則修正系數(shù)就K i 就越大。參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化我們

11、通常將參數(shù)區(qū)間 規(guī)格化為0, 1， ，只需對參數(shù)化區(qū)間作如下處理： , 0nttnittttnii, 1 , 0, 00 1 , 0, 0ntt3.1.5 參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。代數(shù)形式l上述代數(shù)式寫成矢量式是zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)( 1 , 0)()( 1 , 0)(012233tatatatatP幾何形式l對三次參數(shù)曲線，若用其端點位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。l將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡記為P0、P1

12、、P0和P1，代入 得 1 , 0)(012233tatatatatP1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPa 1 , 0)()2()32() 132()(123023123023tPttPtttPttPtttPl令：可將其簡化為：上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式幾何形式，幾何系數(shù)幾何系數(shù)是P0、P1、P0和P1。 稱為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)（或混合函數(shù)）1010,GGFF132)(230tttF23132)(tttFttttG2302)(231)(tttG 1 , 0)(11001100tPGPGPFPFtP 3.1.5 Ferguson曲線端點

13、位矢和切矢0P0P1P1P)(tP)(tP0Fto11to111Fto11to110G1G圖3.1.6 三次調(diào)和函數(shù)3.1.6 連續(xù)性曲線間連接的光滑度的度量有兩種：l函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或n階參數(shù)連續(xù)性。l幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同于 的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為 。nCnCnG反例：21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt0131)1 (VV 0132)1 (VV 若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)或 連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)：若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩

14、條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的切矢 當(dāng)a1時， 連續(xù)就成為 連續(xù)若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的曲率矢：0G0C)0() 1 (QP1G0G)0() 1 ()0(PQ1G1C2G1G這個關(guān)系可寫為： 為任意常數(shù)。當(dāng) ， 時， 連續(xù)就成為 連續(xù)。33)0()0()0() 1 () 1 () 1 ( QQQPPP) 1 () 1 ()0(2PPQ102G2C)(tP)(tQ) 0(P) 1 (P) 0(Q) 1 (Q圖3.1.7 兩條曲線的連續(xù)性我們已經(jīng)看到， 連續(xù)保證 連續(xù)， 連續(xù)能保證 連續(xù)，但反過來不行。也就是說 連續(xù)的條件比 連續(xù)的條件要苛刻。1G1C2G2CnCnG3.1.7 參數(shù)曲面基本概念一張定義在矩形域上的參數(shù)曲面可以表示為 可記為 1 , 0 1 , 0),(,),().(),(vuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(vuzvuyvuxvuP示意圖 P00P00P00P00 xyzw=wjPw(ui,wj)n(ui,wj)Pu(ui,wj)P(ui,wj)u=0w=0u=1