第8章 多重比較方差檢驗 (1)

1、8.2.1 效應(yīng)差的置信區(qū)間 如果方差分析的結(jié)果因子A顯著，則等于說有充分理由認(rèn)為因子A各水平的效應(yīng)不全相同，但這并不是說它們中一定沒有相同的。就指定的一對水平Ai與Aj，我們可通過求i - j的區(qū)間估計來進(jìn)行比較。 由于 ，故由此給出i - j的置信水平為1-的置信區(qū)間為 (8.2.1)其中 是 2的無偏估計。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里 2的估計使用了全部樣本而不僅僅是兩個水平Ai, Aj下的觀測值。2.11(,()ijijijyyNmm.()()()11()ijijeeijeyytfSmmf.11221111()(),()()ijeijeijijyytf

2、yytfmmmm2/eeSf例8.2.1 繼續(xù)例8.1.2， ，fe=21，取0.05 ，則t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796， 于是可算出各個置信區(qū)間為 可見第一個區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認(rèn)為1 小于2，其它二個區(qū)間包含0點，雖然從點估計角度看水平均值估計有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。 0.9751 1(21) 38.11438 8t121323:48.875038.1143 86.9893,10.7607:2038.1143 58.11433, 18.1143:28.875038.1143 9.2393, 66.9893 1343

3、.6171 36.65548.2.2 多重比較問題 對每一組(i, j)， (8.2.1) 給出的區(qū)間的置信水平都是1 ，但對多個這樣的區(qū)間，要求其同時成立，其聯(lián)合置信水平就不再是1 了。 譬如，設(shè)E1 , , Ek是k個隨機(jī)事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,k ，則其同時發(fā)生的概率 這說明它們同時發(fā)生的概率可能比1 小很多。 為了使它們同時發(fā)生的概率不低于1，一個辦法是把每個事件發(fā)生的概率提高到1 /k. 這將導(dǎo)致每個置信區(qū)間過長，聯(lián)合置信區(qū)間的精度很差，一般人們不采用這種方法。 111()1()1()1kkkiiiiiiPEPEP Ek 在方差分析中，如果經(jīng)過F檢驗拒絕原假設(shè)，表明因子

4、A是顯著的，即r個水平對應(yīng)的水平均值不全相等，此時，我們還需要進(jìn)一步確認(rèn)哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。 同時比較任意兩個水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時檢驗如下r(r1)/2個假設(shè)： （8.2.2） 0:,1,ijijHijr 直觀地看，當(dāng)H0ij成立時， 不應(yīng)過大，因此，關(guān)于假設(shè)(8.2.2)的拒絕域應(yīng)有如下形式 諸臨界值應(yīng)在（8.2.2）成立時由P(W)= 確定。下面分重復(fù)數(shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。 .1|ijijij rWyyc .|ijyy 8.2.3 重復(fù)數(shù)相等場合的T法 在重復(fù)數(shù)相等時，由對稱性自然可以要求諸ci

5、j相等，記為c. 記 ，則由給定條件不難有 2/eeSf. () /iiieytt fm 于是當(dāng) (8.2.2) 成立時，1= r = ，可推出 其中 ，稱為t化極差統(tǒng)計量，其分布可由隨機(jī)模擬方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的1 分位數(shù)，其值在附表8中給出。 ()( ,)/eP WP q r fmc.()()( ,)maxmin/jieijyyq r fmm1( ,)/ecqr fm 重復(fù)數(shù)相同時多重比較可總結(jié)如下：對給定的的顯著性水平 ，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計算 ，比較諸 與c的大小，若 則認(rèn)為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認(rèn)為水平A

6、i與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。 1( ,)/ecqr fm.|ijyy.|ijyyc 例8.2.2 繼續(xù)例8.1.2，若取 =0.05，則查表知q1-0.05(3, 21)=3.57，而 。所以 ，認(rèn)為1與2有顯著差別 ，認(rèn)為1與3無顯著差別 ，認(rèn)為2與3有顯著差別 這說明： 1與3之間無顯著差別，而它們與2之間都有顯著差異。 36.65543.57 36.6554/846.2659c 1.3.| 2046.2659yy2.3.| 46.87546.2659yy1.2.| 48.87546.2659yy在重復(fù)數(shù)不等時，若假設(shè) (8.2.2) 成立，則

7、或 從而可以要求 ，在此要求下可推出.() ()11ijijeijyytt fmm2.2()(1,)11()ijijeijyyFFfmm11ijijccmm21()(max( /) )ij rijP WPFc 可以證明 ，從而 亦即1max(1,)1ij rijeFF rfr 21(1,)( /)1eFrfcr2111(1)(1,)()ijeijcrFrfmm 例8.2.3 在例8.1.4中，我們指出包裝方式對食品銷量有明顯的影響，此處r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故27.671213243414233

8、 4.76 (1/2 1/3) 7.679.63 4.76 (1/2 1/2) 7.6710.53 4.76 (1/3 1/3) 7.678.5cccccc 由于 這說明A1 , A2 , A3間無顯著差異，A1 , A2與A4有顯著差異，但 A4與A3 的差異卻尚未達(dá)到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。 1.2.121.3.131.4.142.3.232.4.243.4.34| 2,| 4,| 12| 6,| 14,| 8yycyycyycyycyycyyc P387 3、4Bonferroni法法SNK法法Tukey法法 在進(jìn)行方差分析時要求r個方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明

9、，當(dāng)正態(tài)性假定不滿足時對F檢驗影響較小,即F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感。所以r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。 所謂方差齊性檢驗是對如下一對假設(shè)作出檢驗： （8.3.1） 22220121riHvsH：諸不全相等 很多統(tǒng)計學(xué)家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是： Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等的場合； Bartlett檢驗，可用于樣本量相等或不等 的場合，但是每個樣本量不得低于5； 修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較 大、相等或不等場合均可使用。 當(dāng)各水平下試驗重復(fù)次數(shù)相等時，即m1=m2=mr=m,Hartl

10、ey提出檢驗方差相等的檢驗統(tǒng)計量： （8.3.2） 這個統(tǒng)計量的分布無明顯的表達(dá)式，但在諸方差相等條件下，可通過隨機(jī)模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r 和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H (r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。 2221222212max,min,rrsssHsss 直觀上看，當(dāng)H0成立，即諸方差相等（12 =22=r2）時，H的值應(yīng)接近于1，當(dāng)H的值較大時，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時應(yīng)拒絕 (8.3.1)中的H0。由此可知，對給定的顯著性水平 ，檢驗H0的拒絕域為 W=H H1(r, f ) （8.3.3） 其中H1(r,

11、 f )為H分布的1 分位數(shù)。 例8.3.1 有四種不同牌號的鐵銹防護(hù)劑（簡稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。 這是一個重復(fù)次數(shù)相等的單因子試驗。我們考慮用方差分析方法對之進(jìn)行比較分析，為此，首先要進(jìn)行方差齊性檢驗。 本例中，四個樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即 由此可得統(tǒng)計量H的值 在 =0.05時，由附表10查得H0.95(4,9) =6.31，由于H d （8.3.4） Bartlett證明了，檢驗的拒絕域為 W=B 1- 2 (r-1) （8.3.8） 考慮到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時使用上述檢驗是適當(dāng)?shù)摹?例8.3.2 為研究各產(chǎn)地的綠

12、茶的葉酸含量是否有顯著差異，特選四個產(chǎn)地綠茶，其中A1制作了7個樣品， A2制作了5個樣品， A3與A4各制作了6個樣品，共有24個樣品，按隨機(jī)次序測試其葉酸含量，測試結(jié)果如表8.3.3所示。 為能進(jìn)行方差分析，首先要進(jìn)行方差齊性檢驗，從表8.3.3中數(shù)據(jù)可求得s12=2.14, s22=2.83, s32=2.41, s42=1.12，再從表8.3.4上查得MSe =2.09，由(8.3.6)，可求得 再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗統(tǒng)計量的值 對給定的顯著性水平 =0.05，查表知0.952 (41) =7.815。由于B7.815，故應(yīng)保留原假設(shè)H0，即可認(rèn)為諸水平下的方

13、差間無顯著差異。 11111111.08563(4 1)645520C 120 ln2.096 ln2.144 ln2.835 ln2.41 5 ln1.120.9701.0856B 針對樣本量低于5時不能使用Bartlett檢驗的缺點，Box提出修正的Bartlett檢驗統(tǒng)計量 （8.3.9） 其中B與C如（8.3.7）與（8.3.6）所示，且21()f BCBf ABC 2122211,(1)22/frfrfACCf 在原假設(shè)H0：12 =22=r2成立下，Box還證明了統(tǒng)計量 的近似分布是F分布F(f1, f2)，對給定的顯著性水平 ，該檢驗的拒絕域為 （8.3.10） 其中f2的值可能不是整數(shù)，這時可通過對F分布的分位數(shù)表施行內(nèi)插法得到分位數(shù)。 B112(,)WBFff 例8.3.3 對例8.3.2中的綠茶葉酸含量的數(shù)據(jù)，我們用修正的Bartlett檢驗再一次對等方差性作出檢驗。 在例8.3.2中已求得：C=1.0856，B=0.970，還可求得： 對給定的顯著性水平 =0.05，在F分布的分位數(shù)表上可查得 F0.95(3,682.4)= F0.9